信號與系統(tǒng)復(fù)習版

§

3.3典型周期信號的傅里葉級數(shù)周期矩形脈沖信號周期鋸齒脈沖信號周期三角脈沖信號周期半波余弦信號周期全波余弦信號我們重點討論周期矩形脈沖信號的頻譜，由

此得出的某些結(jié)論，適用于所有的周期信號。一.周期矩形脈沖信號的頻譜分析f

(t)

E02

21

1nT

t

nT

2

21

1nT

t

(n

1)T

2

2T1

P90(3-5)1.求f(t)的復(fù)數(shù)振幅和展開成傅立葉級數(shù)n1f

(t)

a0

an

cos(n1t

)TTnT2T21T2T212f

(t)e2Ee

jn1t

dt

jn1t

dt

a

2n

1sin

n

1T1]

2

E

S

a(

n

1

)T1

2

2

E

[2周期矩形脈沖頻譜的數(shù)學表達式上式中n=0，則為不定式利用羅必塔法則11022sin2TTE

n

1n

12

E

[]

a

1

limn

02111Tcos

n

t]n

sin

n1En

1

2[1

2

f

(t)

11T

2n2f

(t)

T1e

jn1t2n1sin

n1E2.畫頻譜圖由復(fù)振幅

Fn的表達式可知，頻譜譜線頂點的聯(lián)線所構(gòu)成的包絡(luò)是xsin

x的形式----稱為抽樣函數(shù)。1.找出諧波次數(shù)為零的點（即包絡(luò)與橫軸的交點）21

2sin

Tn包絡(luò)線方程為

a

2E與橫軸的交點由下式?jīng)Q定：2sin

2

02即：

,2

,3

0

2

4

6

2m,

...0

1

,

2

3

2

f

f

f

f01f

0

f

T

T

,

2T

,

3T

所以，包絡(luò)線與橫軸的交點應(yīng)滿足兩個條件：一是諧波條件。二是諧波為零的條件。(

f

0表示過零點的諧波頻率

)若這些頻率恰好是基波頻率的整數(shù)倍，則相應(yīng)的諧波為零。

(

f1表示基波頻率)2.粗略求出各次諧波的振幅值的表達式可知：由

an3當

T1

1

時，零時刻函數(shù)值為T1

3E

1

E 1

3即當T時，第一個零點內(nèi)含有二條譜線，依次類推，就大致畫出了振幅頻譜圖。C

n2

E34

2

3

f16

f12(

)n11(

)011T3.相位的確定

2代入

Cn

可知1nF

E

sin

n

(

p103

104)n

T1nT1當角度

n在第一、二象限時F

為正實數(shù)即相位為零。n當角度

T在第三、四象限時Fn

為負實數(shù)即相位為二.結(jié)論1.離散性2.諧波性3.收斂性1.頻譜是離散的,兩譜線間的距離為112T

10T2.由

F

E

知,當E變大、變大時，則各次諧波的幅度愈大.

T1變大時,則諧波幅度愈小.3.當21或n

21

m

n

m時，譜線的包絡(luò)經(jīng)過零值。4.頻帶問題(p164.3-17)a.對于單調(diào)衰減的信號，把零頻率到諧波幅度降到最大值十分之一的那個頻率間頻帶，稱為信號的帶寬1011fb.對于周期過零的信號常認為包絡(luò)線第一個零點以上的諧波可以忽略不計.

1

f

[例題]

試求周期矩形脈沖信號在其有效帶寬(0~2/)內(nèi)諧波分量所具有的平均功率占整個信號平均功率的百分比。其中E=1，T=1/4，=1/20。22

TtTfT

(t)E[解]

周期矩形脈沖的傅立葉復(fù)系數(shù)為2

1

1n

sin(

n1)E

n

E

T

2

TF

nSa(

)＝2將E=1，T=1/4，=1/20，1=2/T=8

代入上式Fn

0.2Sa(n1

/

40)

0.2Sa(n

/

5)包含在有效帶寬(0~2/)內(nèi)的各諧波平均功率為n=1204

42

201|

F

(n

)

|

)

|

F

(0)

2|

F

(nP

n=—4

0.1806P1

0.1806

90%P

0.200信號的平均功率為T

/

2T

/

2f

2

(t)dt

0.2TP

12nFn0840

40125周期信號的功率譜三.1T

的比值改變時，對頻譜結(jié)構(gòu)的影響。P105.圖(3-11)和p106.圖（3－12）1.T1不變，

變a.

T1不變，1不變，即譜線的疏密不變b.

,則Fn的收斂速度變慢不變，T1變時T1

,1

,譜線密集不變

2

不變，，包絡(luò)線的零值位置不變T1

時，時域波形和頻譜結(jié)構(gòu)會發(fā)生什么變化呢？§

3.4傅立葉變換一.頻譜密度函數(shù)二.非周期信號的頻譜分析----傅立葉變換三.傅立葉積分的其他形式四.傅立葉變換的存在五.周期和非周期矩形脈沖信號頻譜的對比一.問題的提出從物理概念考慮：信號的能量存在，其頻譜分布的規(guī)律就存在。從數(shù)學角度來看：無限多個無窮小量之和仍可等于一個有限量。211T2TT

nf

(t)e

dtTF

lim

jn

tn

nF

e1f

(t)

jn

t結(jié)論：信號的頻譜分布是不會隨著信號的周期的無限增大而消失的。T

時，信號的頻譜分布仍然存在。二.頻譜密度函數(shù)1.定義：令112

lim20(T

)FF(

j)

lim

F

TnnT

TTnT

T

2a.

lim

TF

limf

(t)e

jn1t

dt2b.這樣定義能確切的反映信號的頻譜分布特性。各個頻率分量振幅之間的相對比例關(guān)系是固定不變的。2.幾點說明a.F

(j

)代表了信號中各頻率分量振幅的相對大小。Tb.各頻率分量的實際振幅為

2

|

F

(

j)

|

|

F

(

j)

|

d|

F

(

j

)

|a(

)的振幅。是無窮小量。C.

F

(j

)具有單位頻率振幅的量綱。d.F(

j)

|

F(

j)

|

ej()

a()

jb()a2

(

)

b2

(

)為F

(j

)

(

)

arctg

b(

)

為F

(j

)的相位。且

|

F

(

j

)

|

和

a(

)

為的偶函數(shù)。

(

)

和jb(

)為的奇函數(shù)。補充：復(fù)數(shù)譜（又稱為幅相頻譜）復(fù)數(shù)譜的圖形通常用橫軸表示實部，縱軸表示虛部。頻率作為參變數(shù)，給定一個頻率值，便可得到曲線上一點。設(shè)TTk

1

tf

(t)

ee

e

dtkT

j

t

T

1

t1221(

)TeTT則

F

(

j

)

kk

arctg

(

)

1

j

TF

(

j

)

(

j

)00b(

)

0a(

)K21

a(

)

jb(

)

jK

K

KTjT

1

2T

2

1

2T

2

1F

(

j

)

a(

)[

b(

)

]2

1Ka(

)

a(

)

b(

)

T222Ka2

(

)

b2

(

)

Ka(

)

0

[a(

)

1

K

]2

b2

(

)

(

)三.非周期信號的頻譜分析----傅立葉變換1.由傅立葉級數(shù)到傅立葉積分2111T2nnTnf

(t)e

dtTF

F

ef

(t)

jn

tjn

t當T

時1

d,1

0,n

,n1

nT

T

f

(t)e

jt

dtF

(

j)

lim

TF

limT2T2f

(t)e

jn1t

dt1T

2

1Tf

(t)

lim

F

Tenjn

tnT

1

1當

T

時11

d

,

n

T

2jtf

(t)e

jt

dtF

(

j

)

F

(

)e

d

1

2f

(t)

反變換正變換2.幾點說明：a.正變換給出了非周期信號的頻譜的數(shù)學表達式。時間函數(shù)f(t)可以表示為頻率在區(qū)間(

)內(nèi)的指數(shù)函數(shù)的連續(xù)和。傅立葉變換提供了信號的頻率描述和時間描述之間相互變換的工具。正變換通常叫做分析運算，反變換通常叫做綜合運算。B.關(guān)于連續(xù)譜的說明具有離散頻譜的信號，其能量集中在一些諧波分量中。具有連續(xù)頻譜的信號，其能量分布在所有的頻率中，每一頻率分量包含的能量則為無窮小量。用梁上所承受的負荷來說明：xx1

2

7x

xF1

F2

F7x1xF

(x)/米7wT

Fr

離散r

17xx1x2F

(x)dx

連續(xù)w

3.傅立葉積分的三角形式j(luò)t)dt

(|

F()

|

sin[

1

2)d

jt

(|

F()

|

cos[

1

2|

F()

|

e

e

d

1

2F()e

d

1

2f

(t)

j

()

jt01

|

F

(

)

|

cos(

t

(

)]

d

非周期信號：周期信號：01

)]dt

(|

F

(

)

|

cos(f

(t)

f

(t)

C0

Cn

cos(nt

n

)n1周期信號與非周期信號都可以分解為許多不同頻率的正弦分量。對周期信號，是用實際振幅Cn

作出的。對非周期信號，是用密度函數(shù)F

(j

)作出的。四.傅立葉積分的其他形式j(luò)tF

(

j

)e

df

(t)

af

(t)e

jt

dtF

(

j

)

a2

1只要21

2a

a

11

1

1

2a

1

,

a

1a1

a2

22a1

1,

a2

2j

2ftF

(

f

)e

dff

(t)

f

(t)e

j

2ft

dtF

(

f

)

在最近的科技書中比較通用的形式有：五.傅立葉變換的存在F

(j

)存在的充分條件：f

(t)

dt|

f

(t)||e

|

dt|

f

(t)e

|

dt|

F(

j

jt

jt)|

由|

f

(t)dt

|

知而|

e

jt

|

1|

F

(

)

|

|

f

(t)

|

dt傅立葉變換存在的充分條件是：|

f

(t)|

dt

存在。六.周期和非周期矩形脈沖信號頻譜的對比的形式。x1.它們都具有抽樣函數(shù)

sin

x2.221n1nT2E

sinan

2sin2和F

(j

)

EA.2n

值較F

(j

)值多乘了Ta這是由于兩者的定義規(guī)定的。B.an

中的不連續(xù)變量n1在F

(j

)中變成了連續(xù)變量C.由非周期脈沖按一定的周期T重復(fù)后構(gòu)成的周期信號.F

(

j

)和

an

之間可以互求。3.非周期信號的頻譜也具有收斂性。脈寬的定義方法與周期信號相同。分析：周期信號的離散頻譜可以通過對非周期信號的連續(xù)頻譜等間隔取樣求得信號在時域有限，則在頻域?qū)o限延續(xù)。信號的頻譜分量主要集中在零頻到第一個過零點之間，工程中往往將此寬度作為有效帶寬。脈沖寬度越窄，有限帶寬越寬，高頻分量越多。即信號信息量大、傳輸速度快，傳送信號所占用的頻帶越寬。1.

非周期矩形脈沖信號的頻譜是連續(xù)頻譜，其形狀與周期矩形脈沖信號離散頻譜的包絡(luò)線相似。非周期信號頻域分析小結(jié)重要概念:非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜與周期信號的頻譜的區(qū)別非周期信號頻譜的物理意義非周期信號頻譜的分析方法分析問題使用的數(shù)學工具:傅里葉變換常用基本信號的頻譜與傅里葉變換的性質(zhì)工程應(yīng)用:調(diào)制、解調(diào)，頻分復(fù)用第三次作業(yè)點評：p85,2-18dtde(t)

6e3tu(t)

2e3t

(t)

3e(t)

2e2t

(t)解：e(t)＝2e3tu(t)2h(t)

1

e2tu(t)dt

3r(t)

2h(t)

3r(t)

e2tu(t)

3e(t)

2

(t)H

(

de(t))

H

[3e(t)

2

(t)]

點評:本題是求反卷積的問題。利用了e(t)

2e3t

u(t)求導(dǎo)后出現(xiàn)沖激函數(shù)和自身，具有這一特點的函數(shù)，求反卷積用本例的方法比較簡單。預(yù)習§3.5

§

3.6§

3.9作業(yè):3-19證明：當全波和半波兩個對稱條件都滿足時，求傅立葉級數(shù)的系數(shù)只要對四分之一波形積分即可。f

(t)

f

(t)（全波對稱）f

(t)

f

(t

T

)

半波對稱）

（208

4T證：an

T

f

(t)

cos

ntdt2

22

02

2002T2TTT

T2

2T

f

(t)

cos

ntdt

T

f

(t)

cos

ntd

(t)

an

T

f

(t)

cos

ntdt

T