新教材人教A版5.4.2正弦函數(shù)余弦函數(shù)的性質(一)課件（37張）

5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(一)必備知識·自主學習(1)周期函數(shù)：一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x+T∈D，且f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的_____，那么這個最小_____就叫做f(x)的最小正周期.(3)本質：隨著自變量的取值周期性出現(xiàn)相同的函數(shù)值.(4)應用：函數(shù)的周期性是函數(shù)重要性質，是高考的常見考查知識點，在生活中也有很多的應用.正數(shù)正數(shù)【思考】周期函數(shù)都有最小正周期嗎？提示：周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如，對于常數(shù)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù)，x∈R)，所有非零實數(shù)T都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常數(shù)函數(shù)沒有最小正周期.2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性函數(shù)y=sinxy=cosx周期2kπ(k∈Z且k≠0)2kπ(k∈Z且k≠0)最小正周期________奇偶性___函數(shù)___函數(shù)2π2π奇偶【思考】正弦曲線、余弦曲線各有怎樣的對稱性？提示：正弦曲線關于原點對稱，余弦曲線關于y軸對稱.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”，錯的打“×”)(1)若，則是函數(shù)y=sinx的一個周期. ()(2)若存在正數(shù)T，使f(x+T)=-f(x)，則函數(shù)f(x)的周期為2T. ()(3)函數(shù)y=是奇函數(shù). ()提示：(1)×.因為對任意x，sin與sinx并不一定相等.(2)√.f(x+2T)=f[(x+T)+T]=-f(x+T)=-[-f(x)]=f(x)，所以f(x)的周期為2T.(3)×.函數(shù)y=的定義域為{x|2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z}，不關于原點對稱，故非奇非偶.2.函數(shù)f(x)=sin2x為 ()【解析】選A.f(x)=sin2x的定義域為R，f(-x)=sin2(-x)=-sin2x=-f(x)，所以f(x)是奇函數(shù).3.(教材二次開發(fā)：例題改編)函數(shù)f(x)=cos的最小正周期是_____.

【解析】令u=，則cos=cosu是周期函數(shù)，且最小正周期為2π.所以cos(u+2π)=cosu，所以f(x)=的最小正周期為4π.答案：4π關鍵能力·合作學習類型一求函數(shù)的周期(數(shù)學運算)【題組訓練】

1.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)f(x)=-1，則f(x)的周期為()2.函數(shù)f(x)=sin的周期為 ()3.函數(shù)f(x)=|cosx|的周期為_______.

【解析】1.選B.因為f(x+2)f(x)=-1，所以函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，4是一個周期.所以周期為π.3.y=|cosx|的圖象如圖(實線部分)所示，

由圖象可知，y=|cosx|的周期為π.答案：π【解題策略】求三角函數(shù)周期方法(1)定義法：找一個非零常數(shù)T，使得定義域內的每一個x，都有f(x+T)=f(x)，那么這個函數(shù)的周期為T.(2)公式法：將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式，再利用T=求得；(3)圖象法，利用變換的方法或作出函數(shù)的圖象，通過觀察得到最小正周期.【補償訓練】下列是定義在R上的四個函數(shù)圖象的一部分，其中不是周期函數(shù)的是()

【解析】選D.對于D，x∈(-1，1)時的圖象與其他區(qū)間圖象不同，不是周期函數(shù).類型二三角函數(shù)奇偶性的判斷(邏輯推理)【典例】1.函數(shù)y=sin的圖象 ()C.關于原點對稱 D.關于直線對稱2.判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)=lg(1-sinx)-lg(1+sinx)；(2)f(x)=【思路導引】1.依據(jù)f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)推導函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)奇偶函數(shù)的性質判斷即可.2.先求函數(shù)的定義域，當定義域關于原點不對稱時，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，若定義域關于原點對稱，則用定義判斷函數(shù)的奇偶性.【解析】1.選B.因為y=sin=cosx，又因為cos(-x)=cosx，為偶函數(shù)，所以根據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質可知其圖象關于y軸對稱.2.(1)由得-1<sinx<1，解得定義域為

所以f(x)的定義域關于原點對稱.又因為f(x)=lg(1-sinx)-lg(1+sinx)，所以f(-x)=lg[1-sin(-x)]-lg[1+sin(-x)]=lg(1+sinx)-lg(1-sinx)=-f(x)，所以f(x)為奇函數(shù).(2)因為1+sinx≠0，所以sinx≠-1，所以x∈R且x≠2kπ-，k∈Z.因為定義域不關于原點對稱，所以該函數(shù)是非奇非偶函數(shù).【解題策略】函數(shù)奇偶性的判斷方法(1)判斷函數(shù)奇偶性應把握兩個方面：一看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱；二看f(x)與f(-x)的關系.(2)對于三角函數(shù)奇偶性的判斷，有時可根據(jù)誘導公式先將函數(shù)式化簡后再判斷.【跟蹤訓練】1.函數(shù)f(x)=cos是 ()【解析】選A.因為f(x)=cos=cos=sin，所以f(-x)=sin=-sin=-f(x).所以f(x)是奇函數(shù).2.若函數(shù)f(x)=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，則φ等于 ()【解析】選C.因為f(x)=sin(x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，所以φ=+kπ，k∈Z.又因為0≤φ≤π，所以φ=.類型三三角函數(shù)周期性、奇偶性的綜合應用(數(shù)學運算、邏輯推理)角度1三角函數(shù)周期性、奇偶性的判斷

【典例】下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是π的函數(shù)是 ()A.y=cos|2x| B.y=|sin2x|C.y=sin D.y=cos【思路導引】根據(jù)函數(shù)的圖象判斷選項A，B中函數(shù)的奇偶性，化簡選項C，D中函數(shù)的解析式，再判斷奇偶性、周期性.【解析】選D.y=cos|2x|是偶函數(shù)，y=|sin2x|是偶函數(shù)，y=sin=cos2x是偶函數(shù)，y=cos=-sin2x是奇函數(shù)，根據(jù)公式得其最小正周期T=π.【變式探究】設函數(shù)f(x)=sin，x∈R，則f(x)是 ()C.最小正周期為的奇函數(shù)D.最小正周期為的偶函數(shù)【解析】選B.因為sin=-sin=-cos2x，所以f(x)=-cos2x.又f(-x)=-cos(-2x)=-cos2x=f(x)，所以f(x)是最小正周期為π的偶函數(shù).角度2三角函數(shù)周期性、奇偶性的應用

【典例】定義在R上的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期為π，且當x∈時，f(x)=sinx，則f= ()A.- B. C.- D.【思路導引】先依據(jù)函數(shù)的周期為π化簡f；再依據(jù)f(x)是奇函數(shù)及當x∈時f(x)=sinx求值.【解析】選C.因為f(x)的最小正周期為π，所以f=f=f=f=f，因為f(x)為奇函數(shù)，所以f=-f，又因為當x∈時，f(x)=sinx，所以f=-f=-sin=-.【解題策略】利用周期性、奇偶性求函數(shù)值利用周期函數(shù)的性質求函數(shù)值時，先把函數(shù)加減正數(shù)個周期，把函數(shù)化簡，再結合函數(shù)的奇偶性求解.【題組訓練】1.若函數(shù)y=f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數(shù)且f(1)=3，則f(5)=_______.

2.若函數(shù)f(x)是以為周期的偶函數(shù)，且f=1，則f=_______.

【解析】1.由已知得f(x+3)=f(x)，f(-x)=-f(x)，所以f(5)=f(2)=f(-1)=-f(1)=-3.答案：-32.f=答案：1【補償訓練】定義在R上的函數(shù)f(x)周期為π，且是奇函數(shù)，f=1，則f的值為()【解析】選B.f=f=f=-f=-1.課堂檢測·素養(yǎng)達標1.函數(shù)f(x)=sin，x∈R的最小正周期為 ()【解析】選D.T==4π.2.(教材二次開發(fā)：練習改編)函數(shù)y=cos(x∈R)是 ()【解析】選A.y=cos=-sinx，所以此函數(shù)為奇函數(shù).3.函數(shù)y=4sin(2x+π)的圖象關于 ()C.y軸對稱 D.直線x=對稱【解析】選B.y=4sin(2x+π)=-4sin2x，所以原函數(shù)為奇函數(shù)，所以原函數(shù)圖象關于原點對稱.4.函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)，且f(2)=3，則f