人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修獨(dú)立性檢驗(yàn)

4.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)課標(biāo)闡釋思維脈絡(luò)1.通過(guò)對(duì)典型案例的探究,了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及初步應(yīng)用.2.通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的收集、整理和分析,增強(qiáng)學(xué)生的社會(huì)實(shí)踐能力,培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥我國(guó)相關(guān)法律規(guī)定:香煙盒上必須印上“吸煙有害健康”的警示語(yǔ).那么吸煙和健康之間有因果關(guān)系嗎?每一個(gè)吸煙者的健康問(wèn)題都是由吸煙引起的嗎?你認(rèn)為“健康問(wèn)題不一定是由吸煙引起的,所以可以吸煙”的說(shuō)法對(duì)嗎?要回答這個(gè)問(wèn)題,我們先一起來(lái)學(xué)習(xí)本課時(shí)的知識(shí)吧!激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥獨(dú)立性檢驗(yàn)1.如果隨機(jī)事件A與B的樣本數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表如下:記n=a+b+c+d.統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一個(gè)非常有用的統(tǒng)計(jì)量χ2(讀作“卡方”).

A

總計(jì)Baba+b

cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥2.任意給定一個(gè)α(稱(chēng)為顯著性水平,通常取為0.05,0.01等),可以找到滿(mǎn)足條件P(χ2≥k)=α的數(shù)k(稱(chēng)為顯著性水平α對(duì)應(yīng)的分位數(shù)).χ2是一個(gè)隨機(jī)變量,其分布能夠求出,上面的概率是可以計(jì)算的.因此,如果根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出χ2的值后,發(fā)現(xiàn)χ2≥k成立,就稱(chēng)在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α的前提下,可以認(rèn)為A與B不獨(dú)立(也稱(chēng)為A與B有關(guān));或說(shuō)有1-α的把握認(rèn)為A與B有關(guān).若χ2<k成立,就稱(chēng)不能得到前述結(jié)論.這一過(guò)程通常稱(chēng)為獨(dú)立性檢驗(yàn).3.A與B獨(dú)立時(shí),也稱(chēng)為A與B無(wú)關(guān).當(dāng)χ2<k成立時(shí),一般不直接說(shuō)A與B無(wú)關(guān),也就是說(shuō),獨(dú)立性檢驗(yàn)通常得到的結(jié)果,或者是有1-α的把握認(rèn)為A與B有關(guān),或者沒(méi)有1-α的把握認(rèn)為A與B有關(guān).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥4.獨(dú)立性的判斷方法(1)當(dāng)χ2<2.706時(shí),沒(méi)有充分的證據(jù)判定變量A,B有關(guān)聯(lián),可以認(rèn)為變量A,B是沒(méi)有關(guān)聯(lián)的;(2)當(dāng)χ2≥2.706時(shí),有90%的把握判定變量A,B有關(guān)聯(lián);(3)當(dāng)χ2≥3.841時(shí),有95%的把握判定變量A,B有關(guān)聯(lián);(4)當(dāng)χ2≥6.635時(shí),有99%的把握判定變量A,B有關(guān)聯(lián).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析

獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想來(lái)自統(tǒng)計(jì)上的假設(shè)檢驗(yàn)思想,它與反證法類(lèi)似,假設(shè)檢驗(yàn)和反證法都是先假設(shè)不成立,然后根據(jù)是否能推出“矛盾”來(lái)判斷是否成立,但二者“矛盾”的含義不同,反證法中的“矛盾”是指不符合邏輯的事件發(fā)生,而假設(shè)檢驗(yàn)中的“矛盾”是指不符合邏輯的小概率事件發(fā)生.小概率事件在一次試驗(yàn)中通常是不會(huì)發(fā)生的,如果在假設(shè)“兩個(gè)變量無(wú)關(guān)系”的前提下這個(gè)小概率事件發(fā)生,這只能說(shuō)明假設(shè)不成立,所以認(rèn)為原結(jié)論在很大程度上是成立的.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論是不是適用于總體中的所有個(gè)體?提示:獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論與實(shí)際問(wèn)題的差異:獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論是一個(gè)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)量,是用樣本來(lái)估計(jì)總體,雖然能較為真實(shí)地反映出總體的情況,但它與實(shí)際問(wèn)題的確定性是允許存在差異的,因?yàn)閷?shí)質(zhì)上它是一種統(tǒng)計(jì)關(guān)系,而不是一個(gè)確定的關(guān)系,我們不能期望所得的結(jié)論對(duì)于總體中的每一個(gè)個(gè)體都適用.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)分類(lèi)變量X和Y的2×2列聯(lián)表如下,則(

)A.其他值一定時(shí),ad-bc越小,說(shuō)明X與Y的關(guān)系越弱B.其他值一定時(shí),ad-bc越大,說(shuō)明X與Y的關(guān)系越強(qiáng)C.其他值一定時(shí),(ad-bc)2越大,說(shuō)明X與Y的關(guān)系越強(qiáng)D.其他值一定時(shí),(ad-bc)2越接近于0,說(shuō)明X與Y的關(guān)系越強(qiáng)

Y1Y2總計(jì)X1aba+bX2cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+d激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥解析:由

可知,其他值一定的情況下,(ad-bc)2越大,則χ2的值越大,則X與Y的關(guān)系越強(qiáng),故選C.答案:C探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)由χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)例1某校高三年級(jí)舉行一次全年級(jí)的大型考試,在數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學(xué)生中,物理、化學(xué)也為優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示,則我們能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與物理、化學(xué)優(yōu)秀有關(guān)系?注:該年級(jí)此次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有360人,非優(yōu)秀的有880人.分析首先分別列出數(shù)學(xué)成績(jī)與物理、化學(xué)的2×2列聯(lián)表,再正確計(jì)算χ2的值,然后由χ2的值和臨界值比較作出判斷.

物理優(yōu)秀化學(xué)優(yōu)秀數(shù)學(xué)優(yōu)秀228225數(shù)學(xué)非優(yōu)秀143156探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:根據(jù)已知數(shù)據(jù)列出數(shù)學(xué)與物理優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下:

物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀總計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀228b1360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀143d1880總計(jì)371b1+d11

240∴b1=360-228=132,d1=880-143=737,b1+d1=132+737=869.代入公式可得χ2≈270.114.按照上述方法列出數(shù)學(xué)與化學(xué)優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下:探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)

化學(xué)優(yōu)秀化學(xué)非優(yōu)秀總計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀225b2360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀156d2880總計(jì)381b2+d21

240∴b2=360-225=135,d2=880-156=724,b2+d2=135+724=859.代入公式可得χ2≈240.611.綜上,由于χ2的值都大于10.828,因此說(shuō)明都能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與物理、化學(xué)優(yōu)秀有關(guān)系.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

1.利用χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟(1)列表:列出2×2列聯(lián)表;(2)求值:求出χ2;(3)判斷:與臨界值比較,作出判斷.2.獨(dú)立性檢驗(yàn)的必要性列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是樣本數(shù)據(jù),它只是總體的代表,它具有隨機(jī)性,所以只能利用列聯(lián)表的數(shù)據(jù)和等高條形圖粗略判斷兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)系.而χ2給出了不同樣本容量的數(shù)據(jù)的統(tǒng)一評(píng)判標(biāo)準(zhǔn).利用它能精確判斷兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)系的可靠程度.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練為了探究學(xué)生選報(bào)文、理科是否與對(duì)外語(yǔ)的興趣有關(guān),某同學(xué)調(diào)查了361名高二在校學(xué)生,調(diào)查結(jié)果如下:理科對(duì)外語(yǔ)有興趣的有138人,無(wú)興趣的有98人,文科對(duì)外語(yǔ)有興趣的有73人,無(wú)興趣的有52人.能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下,認(rèn)為“學(xué)生選報(bào)文、理科與對(duì)外語(yǔ)的興趣有關(guān)”?探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表:根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)由公式計(jì)算得隨機(jī)變量的觀測(cè)值因?yàn)?.871×10-4<2.706,所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下,不能認(rèn)為“學(xué)生選報(bào)文、理科與對(duì)外語(yǔ)的興趣有關(guān)”.

理科文科總計(jì)有興趣13873211無(wú)興趣9852150總計(jì)236125361探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)獨(dú)立性檢驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用例2為了比較注射A,B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積,選200只家兔做試驗(yàn),將這200只家兔隨機(jī)地分成兩組,每組100只,其中一組注射藥物A,另一組注射藥物B.(1)甲、乙是200只家兔中的2只,求甲、乙分在不同組的概率;(2)表1和表2分別是注射藥物A和B后的試驗(yàn)結(jié)果.(皰疹面積單位:mm2)表1:注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)頻數(shù)30402010探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)表2:注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表完成下面2×2列聯(lián)表皰疹面積[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85]頻數(shù)1025203015

皰疹面積小于70

mm2皰疹面積不小于70

mm2總計(jì)注射藥物Aa=b=

注射藥物Bc=d=

總計(jì)

n=探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(2)2×2列聯(lián)表如下

皰疹面積小于70

mm2皰疹面積不小于70

mm2總計(jì)注射藥物Aa=70b=30100注射藥物Bc=35d=65100總計(jì)10595n=200探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

1.獨(dú)立性檢驗(yàn)在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用,是對(duì)實(shí)際生活中數(shù)據(jù)進(jìn)行分析的一種方法,通過(guò)這種分析得出的結(jié)論對(duì)實(shí)際生活或者生產(chǎn)都有一定的指導(dǎo)作用.2.近幾年高考中較少單獨(dú)考查獨(dú)立性檢驗(yàn),經(jīng)常與統(tǒng)計(jì)、概率等知識(shí)綜合,頻率分布表、頻率分布直方圖與獨(dú)立性檢驗(yàn)融合在一起是常見(jiàn)的考查形式,一般需要根據(jù)條件列出2×2列聯(lián)表,計(jì)算χ2,從而解決問(wèn)題.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究

本例條件不變,是否有99%的把握認(rèn)為注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異?由于χ2>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)規(guī)范解答典例

隨著工業(yè)化以及城市車(chē)輛的增加,城市的空氣污染越來(lái)越嚴(yán)重,空氣質(zhì)量指數(shù)API一直居高不下,對(duì)人體的呼吸系統(tǒng)造成了嚴(yán)重的影響.現(xiàn)調(diào)查了某市500名居民的工作場(chǎng)所和呼吸系統(tǒng)健康情況,得到2×2列聯(lián)表如下:

室外工作室內(nèi)工作總計(jì)有呼吸系統(tǒng)疾病150

無(wú)呼吸系統(tǒng)疾病

100

總

計(jì)200

探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(1)補(bǔ)全2×2列聯(lián)表;(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為感染呼吸系統(tǒng)疾病與工作場(chǎng)所有關(guān)?(3)現(xiàn)采用分層抽樣從室內(nèi)工作的居民中抽取一個(gè)容量為6的樣本,將該樣本看成一個(gè)總體,從中隨機(jī)地抽取兩人,求兩人都有呼吸系統(tǒng)疾病的概率.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:(1)列聯(lián)表如下:所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05的前提下認(rèn)為感染呼吸系統(tǒng)疾病與工作場(chǎng)所有關(guān).

室外工作室內(nèi)工作總計(jì)有呼吸系統(tǒng)疾病150200350無(wú)呼吸系統(tǒng)疾病50100150總

計(jì)200300500探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(3)采用分層抽樣從室內(nèi)工作的居民中抽取6名,其中有呼吸系統(tǒng)疾病的抽4人,無(wú)呼吸系統(tǒng)疾病的抽2人,設(shè)A為“從中隨機(jī)地抽取兩人,兩人都有呼吸系統(tǒng)疾病”,則方法點(diǎn)睛

(1)依題意補(bǔ)全列聯(lián)表;(2)結(jié)合χ2公式正確求解,對(duì)說(shuō)法作出判斷;(3)結(jié)合概率相關(guān)知識(shí)求解.探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.給出下列實(shí)際問(wèn)題:①一種藥物對(duì)某種病的治愈率;②兩種藥物治療同一種病是否有區(qū)別;③吸煙者得肺病的概率;④吸煙是否與性別有關(guān)系;⑤網(wǎng)吧與青少年的犯罪是否有關(guān)系.其中用獨(dú)立性檢驗(yàn)可以解決的問(wèn)題有(

)A.①②③ B.②④⑤

C.②③④⑤ D.①②③④⑤解析:獨(dú)立性檢驗(yàn)是判斷兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)系的方法,而①③都是概率問(wèn)題,不能用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決.答案:B探究一探究二素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)2.某班主任對(duì)全班50名學(xué)生進(jìn)行了作業(yè)量多少的調(diào)查,數(shù)據(jù)如下表:下列敘述中,正確的是