【名師解析】啟東中學(xué)2015屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)(理)試題

啟東中學(xué)2014-2015學(xué)年度第一學(xué)期第一次月考高三數(shù)學(xué)（理）試卷【試卷綜析】本試卷是高三文科理試卷，考查學(xué)生解決實際問題的綜合能力，是份較好的試卷.以基礎(chǔ)知識和基本能力為載體突出考查考綱要求的基本能力，重視學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的考查.試題重點考查：集合、命題，函數(shù)模型不等式、復(fù)數(shù)、向量、導(dǎo)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換與解三角形等，是一份非常好的試卷。一．填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)．．．．．位置上．．．．【題文】1．已知全集U{1,2,3,4,5,6,7},A{2,4,5},B{1,3,5,7}，則A(CB)U▲．【知識點】集合及其運算A1【答案解析】{2，4，5}∵全集U={1，2，3，4，5，6.7}，B={1，3，5，7}，∴?B={2，4，6}，又A={2，4，5}，則A∩（?B）={2，4，5}．故答案為：{2，4，UU5}【思路點撥】找出全集U中不屬于B的元素，確定出B的補集，找出A與B補集的公共元素，即可確定出所求的集合．【題文】2．若命題“xR，有xmxm0”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是m2▲．【知識點】命題及其關(guān)系A(chǔ)2【答案解析】[-4，0]∵命題“?x∈R，有x-mx-m＜0”是假命題，?“?x∈R，有2x-mx-m≥0”是真命題．令f（x）=x-mx-m，則必有△=m-4m≤0，解得-4≤m≤0．222故答案為：[-4，0]．【思路點撥】令f（x）=x-mx-m，利用“?x∈R，有x-mx-m＜0”是假命題?△=m-4m222≤0，解出即可．”是“sinsin”的▲條,【題文】3．已知的終邊在第一象限，則“件．【知識點】充分條件、必要條件A2【答案解析】既不必要也不充分條件∵角α，β的終邊在第一象限，∴當(dāng)α=+2π，β=，滿足α＞β，但sinα=sinβ，則sinα＞sinβ不成立，335即充分性不成立，若當(dāng)α=，β=+2π，滿足sinα＞sinβ，但α＞β不成立，36即必要性不成立，故“α＞β”是“sinα＞sinβ”的既不必要也不充分條件，故答案為：既不必要也不充分條件．【思路點撥】根據(jù)三件函數(shù)的定義和關(guān)系式，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷．1【題文】f(x)的定義域是[0,4]，則f(x1)f(x1)的定義域為▲．4.已知【知識點】函數(shù)及其表示B1【答案解析】[1，3]∵f（x）的定義域是[0，4]，0x14∴f（x+1）+f（x-1）的定義域為不等式組0x14的解集，解得：1≤x≤3．故答案為：[1，3]．0x140x14，解之即可．由題意可列不等式組【思路點撥】sin(2sin3,2cos3)P的坐標(biāo)是，則▲．【題文】5.已知角終邊上一點【知識點】角的概念及任意角的三角函數(shù)C1【答案解析】-cos3∵角α終邊上一點P的坐標(biāo)是（2sin3，-2cos3），2cos3，∴sinα==-cos3．故答案為：-cos3．24sin234cos232∴|OP|=【思路點撥】由題意，先求出點P到原點的距離，再由定義求出即可．S:y3xx及點P(2,2)則過點【題文】6.已知曲線3P可向曲線S引切線，其切線共有，▲條.【知識點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】3∵y=3x-x，∴y'=f'（x）=3-3x，∵2P（2，2）不在曲線S上，3∴設(shè)切點為M（則切線方程為∵P（2，2）在切線上，∴2-（3a-a）3=（3-3a）（22-a），即2a-6a32+4=0，a，b），則b=3a-a，f'（a）=3-3a32y-（3a-a）=（3-3a）（x-a），32±3∴a-3a2+2=0，即a-a-2a32+2=0，∴（a-1）（a-2a-2）=0，解得a=1或a=1，322∴切線的條數(shù)為3條，故答案為3．【思路點撥】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點為（，），Mab利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程，利用點P（2，2）在切線上，求出切線條數(shù)即可．3tan()cos(2)sin()2【題文】7.化簡：▲．cos(3)sin(3)【知識點】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式C23tan()cos(2)sin()tancoscos2【答案解析】cos(3)sin(3)=-1(cos)sin【思路點撥】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式同角三角函數(shù)基本關(guān)系。f(x)x3cosx1．若f(a)11，則8.設(shè)函數(shù)f(a)▲．【題文】【知識點】函數(shù)的奇偶性B42【答案解析】-9令（）（）gx=fx-1=xcosx則（）為奇函數(shù)，又∵（），gxfa=113∴g（a）=f（a）-1=11-1=10∴g（-a）=-10=f（-a）-1∴f（-a）=-9故答案為：-9【思路點撥】由于函數(shù)（）fx=xcosx+1，是一個非奇非偶函數(shù)，故無法直接應(yīng)用函3數(shù)奇偶性的性質(zhì)進行解答，故可構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-1=x3cosx，然后利用g（x）為奇函數(shù)，進行解答．【題文】9.函數(shù)f(x)|sinx|cosxsinx|cosx|的值域為▲．【知識點】角的概念及任意角的三角函數(shù)C11,1x坐標(biāo)軸上時結(jié)果為0，角在第一象限時為,第二象限時為0,【答案解析】1,11,1第三象限時，第四象限時為0.故答案為【思路點撥】分別在各個范圍內(nèi)求出值域，確定最后結(jié)果。tanx在內(nèi)是減函數(shù)，則實數(shù)的范圍是▲．(,)【題文】10.已知函數(shù)y【知識點】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)C31?≤ω＜0【答案解析】∵函數(shù)y=tanωx在（-π，π）內(nèi)是減函數(shù)，21?≤ω＜02π解得：．故答案為：．21?≤ω＜02∴ω＜0，||≥【思路點撥】根據(jù)正切型函數(shù)的圖象，要使函數(shù)y=tanωx在（，）內(nèi)是減函數(shù)，-ππ則ω＜0且函數(shù)y=tanωx的周期T≥2π．(0,)1【題文】11.已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，則滿足的實數(shù)x的取值范圍是f()f(1)f(x)x▲．【知識點】函數(shù)的單調(diào)性與最值B3【答案解析】（-1，0）∪（0，1）11∵偶函數(shù)f（x）滿足f（）＜f（1），∴f（||）＜f（1），xx1∵偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，∴||＞1，x11即＞1或＜-1，解得-1＜x＜0或0＜x＜1，故答案為：（-1，0）∪（0，1）．xx11由偶函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性以及足f（）＜f（1）可得||＞1，根據(jù)【思路點撥】xx絕對值不等式的解法，解不等式可求范圍．tan(AB)2tanA，則tanB的最大值是▲．,AB滿足【題文】12.已知銳角【知識點】三角函數(shù)的求值、化簡與證明C72【答案解析】∵2tanA=tan（A+B），43tan(AB)tanAtanA1=∴tanB=tan（A+B-A）=1tan(AB)tanA12tan2=AtanA12tanA11≥2當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”2tanA2＝2tanA∵A為銳角，∴tanA＞0,tanAtanA222號，即tanA=，∴0＜tanB≤∴tanB最大值是故答案為：．22444【思路點撥】通過tanB=tan[（）A+B-A]利用公式展開，把tan（）A+B=2tanA代入，整理后利用基本不等式求得tanB的最大值，進而根據(jù)等號成立的條件求得tanB的值，即可得出結(jié)果．0x2【題文】13.已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)時，f(x)x3x，則函數(shù)yf(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點的個數(shù)為▲．【知識點】函數(shù)與方程B9【答案解析】7當(dāng)0≤x＜2時，令f（x）=x3-x=0，則x（x-1）（x+1）=0，解得x=0，或1；已知f（x）是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，∴f（0）=f（2）=f（4）=f（6）=0，f（1）=f（3）=f（5）=0，故在區(qū)間[0，6]上，方程f（x）=0共有7個根，∴函數(shù)y=f（x）的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點的個數(shù)為7．故答案為7．【思路點撥】先求出方程f（）x=0在區(qū)間[0，）2上的根的個數(shù)，再利用其周期為2的條件即f（x+2）=f（x），即可判斷出所有根的個數(shù)．【題文】14.定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x),已知yef(x)的圖象如圖所示，則yf(x)的增區(qū)間是.【知識點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12（∞，）2由題意如圖f'（）≥x0的區(qū)間是（-∞，），2【答案解析】-故函數(shù)y=f（x）的增區(qū)間（-∞，2），故答案為：（-∞，2）【思路點撥】由題意知，欲求函數(shù)的增區(qū)間，由圖象確定出函數(shù)導(dǎo)數(shù)為非負的區(qū)間就可以了，由于y=ef'（）是一個指數(shù)型的函數(shù)，當(dāng)指數(shù)大于0時函數(shù)值大于1，故由圖x象找出函數(shù)圖象在直線y=1上面的那一部分的自變量的集合即為所求二、解答題：本大題共6小題，說明、證明過程或演算步驟．【題文】15.（本小題滿分共90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字14分）已知集合A{x|y12xx11},B{x|[x(a1)][x(a4)]0}.分別根據(jù)下列條件，求實數(shù)a的取值范圍.4（1）ABA；（2）AB【知識點】集合及其運算A1【答案解析】（1）-4＜a≤-2（2）a≥-1或a≤-5．2x1x1xx1（1）由1-，可得≤0，0即x（x+1）≤0，且x≠-1，解得-1<x，故A=（-1，0]．∵B={x|[x-（a+4）][x-（a+1）]＜0}=（a+1，a+4）．∵A∩B=A，∴A?B，∴a+1≤-1，a+4＞0，解得-4＜a≤-2，故a的取值范圍是（-4，-2]．（2）由上可得，A=（-1，0]，B=（a+1，a+4），當(dāng)A∩B=φ，a+1≥0或a+4≤-1，解得a≥-1或a≤-5．故當(dāng)A∩B≠φ時，-5＜a＜-1，故a的取值范圍（-5，-1）【思路點撥】（）解分式不等式求出，再求出，由條件∩可得A?B，考1ABAB=A查集合的端點間的大小關(guān)系，求得實數(shù)a的取值范圍．（2）求出當(dāng)A∩B=φ時實數(shù)a的取值范圍，再取補集，即得所求．1()a的【題文】16.（本小題滿分14分）設(shè)a為實數(shù)，給出命題f(x)lg[ax2(a2)x9]的定義域為q：函數(shù)p：關(guān)于x的不等式|1|x2解集為，命題R，若命題“pq”8為真，“pq”為假，求實數(shù)a的取值范圍.【知識點】指數(shù)與指數(shù)函數(shù)對數(shù)與對數(shù)函數(shù)B6B71[8，+∞）∪（，1]【答案解析】2由題意得p和q中有且僅有一個正確10＜()≤1①若p正確，則由|?1|，求得a＞1．x299?2x+＞08②若q正確，則ax2+(a?2)x+＞0解集為R當(dāng)a=0時，不合，舍去；8a01當(dāng)a≠0時，則解得a．＜＜802a1a11或1③∵p和q中有且僅有一個正確，∴或a8a8，2a211∴a≥8或．故a的取值范圍為[8，+∞）∪（，1]．＜a≤1221若p正確，求得a＞1；②若q正確，求得．根據(jù)p和q中有＜a＜8【思路點撥】2a1a11或1或a8a8，2且僅有一個正確，故有a25解不等式組，求得a的取值范圍．2xnR的函數(shù)f(x)2x1m是奇函數(shù).【題文】17.（本小題滿分15分）已知定義域為（1）求實數(shù)mn的值；,（2）若存在t[1,2]，不等式f(t2t)f(2t2k)0成立，求實數(shù)k的取值范圍.2【知識點】函數(shù)的單調(diào)性與最值函數(shù)的奇偶性與周期性B3B4【答案解析】（1）因為f（x）是奇函數(shù)，函數(shù)的定義域為R，所以f（0）=20n2m2121211?x1(x)＝=0，可得n=1，∴f，取f（-1）=-f（1）得=，2mx12m2m202121xf(?x)＝x12122x1xx=-=-f（x），(x)＝解之得m=2因此，f22，滿足22x1符合題意所以m=2，n=12111x(x)＝?+（2）由（1）得，f2222x1，x1=12211122112(2x22)x?+設(shè)x＜x，則f（x）-f（x）=?+1-（）=(21)(2x21)x11212xx12∵y=2在實數(shù)集上是增函數(shù)且函數(shù)值恒大于0，x2222x2∴-＞0，x+1＞0且+1＞0，可得f（x）-f（x）＞0，即f（x）＞f（x）x2x111212∴f（x）在（-∞，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（t-2t）2+f（2t-k）＜0，等價于f（t-2t）＜2-f（2t-k）=f（k-2t），222∴由上式可得：t-2t＞k-2t．22即對任意t∈R有：3t-2t-k＞0，211∴△=4+12k＜0?k＜-，即實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-）．33【思路點撥】（）利用特殊值：（）且（）（），建立關(guān)于a、b的等式1f0=0f-1=-f1并解得m=2，n=1，再將其代入函數(shù)表達式加以檢驗即可；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)x＜x，將f（x）與f（x）作差，再通分整理，可得1212這個差是一個正數(shù)，從而得到f（x）＞f（x），所以f（x）在（-∞，+∞）上是單12調(diào)減函數(shù)；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，將原不等式恒成立轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式3t-2t-k＞0恒成立，再利用一元二次不等式解法結(jié)合根的判別式，可求出k的取2值范圍．f(x)sinx3cosx1.【題文】18.（本小題滿分15分）設(shè)函數(shù)f(x)在的最大值與最[0,]（1）求函數(shù)小值；2bcosc對任意xR恒成立，求的值.,,abc使得af(x)bf(xc)1（2）若實數(shù)a6【知識點】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)C3【答案解析】（2）（1）最大值為3；最小值為2-1（1）f（x）=sinx+cosx+1=2（sinx+cosx）+1=2sin（x++1133223∵x∈[0，]，∴x+∈[]∴512，≤sin（x+）≤1，23363∴2≤2sin（x+）+1≤3∴函數(shù)f（x）在[0，]的最大值為3；最小值為2．32（2）af（x）+bf（x-c）=a[2sin（x+）+1]+b[2sin（x+-c）+1]=12asin（x+）333+2bsin（x+-c）+1=1-a-b2asin（x+）+2bsin（x+）cosc-2bcos（x+）sinc3333=1-a-b（2a+2bcosc）sin（x+）-（cos（x+）332sin（x++）=1-a-b(2a2bcosc)2(2bsinc)sin（x++φ）=1-a-b332(2a2bcosc)(2bsinc)2因為上式對一切的x恒成立，所以=02a2bcosc0bcosc∴由2a+2bcosc=0得：=-1．a(chǎn)∴2bsinc03=sinx+cosx+1化成標(biāo)準(zhǔn)形式，然后再求最值；【思路點撥】（1）先把函數(shù)f（x）（2）代入f（x）bcosc整理，化成標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)對任意x∈R恒成立，讓系數(shù)等于0，的值．求得a19.（本小題滿1成為10%），售出的數(shù)量就分16分）已知某種型號的電腦每臺降價x成（增加mx成（m為常數(shù)，且m0）.（1）若某商場現(xiàn)定價為每臺a元，售出b臺，試建立降價后的營業(yè)額y與每臺降價x成所成的函數(shù)關(guān)系式.并問當(dāng)m5，營業(yè)額增加1.25%時，每臺降價多少？4（2）為使?fàn)I業(yè)額增加，當(dāng)xx(0x10)時，求m應(yīng)滿足的條件.00【知識點】函數(shù)模型及其應(yīng)用B101010x【答案解析】（2）（1）10%m＞（0＜x＜10）00xa元，(1?（1）每臺降價x成后的價格為)10mx(1+)y＝a(1?)?b(1+b臺，故）10xmx)．10降價后售出量變?yōu)?07511當(dāng)m＝時，y＝ab(1+x?x)2．44080x11.0125ab=ab（1+-x），解得x=1，即每臺降價10%．24080營業(yè)額增加1.25%，即有m1mx（2）當(dāng)x=x時，y=ab（1+x-02）．由題意知，必須使y-ab＞0，01010m1m0m1即x-m＞0．因為x＞0，所以-0x＞0，10100010100010所以m＞（0＜x＜10）．010x0【思路點撥】1（）根據(jù)營業(yè)額等于價格乘以售出量，即可建立降價后的營業(yè)額與xy之間的函數(shù)關(guān)系式；利用營業(yè)額增加1.25%，建立方程，即可求得結(jié)論；（2）由題意必須使y-ab＞0，由此，即可確定m應(yīng)滿足的條件．f(x)exaxa(aR)，其圖像與x軸交于20.（本小題滿分16分）設(shè)函數(shù)A(x,0),B(x,0)兩點，且xx.1212（1）求a的取值范圍；f(xx)0（f(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)）；（2）證明：12x1x11C在函數(shù)yf(x)的圖象上，且ABC為等腰直角三角形，記t，求（3）設(shè)點2(a1)(t1)的值.【知識點】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12【答案解析】（3）2（1）a＞e（2）略2（1）∵f（x）=e-ax+a，∴xf'（x）=e-a，x若a≤0，則f'（x）＞0，則函數(shù)f（x）是單調(diào)增函數(shù)，這與題設(shè)矛盾．∴a＞0，令f'（x）=0，則x=lna，f'（x）＜x＜lna，f（x）是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)0時，當(dāng)f'（x）＞0時，x＞lna，f（x）是單調(diào)增函數(shù)，于是當(dāng)x=lna時，f（x）取得極小值，∵函數(shù)f（x）=e-ax+a（xa∈R）的圖象與x軸交于兩點A（x，0），B（x，0）（x121＜x），∴f（lna）=a（2-lna）＜0，即a＞e，此時，2存在1＜lna，f（1）=e＞0，2存在3lna＞lna，f（3lna）=a-3alna+a＞a-3a2+a＞0，33又由f（x）在（-∞，lna）及（lna，+∞）上的單調(diào)性及曲線在R上不間斷，可知a＞e為所求取值范圍．2eaxa0xeexx（2）∵1，∴兩式a相減得＝21．1eaxa0xx2x221xx1＝s(s＞0)f′(xxex2ex1ex2ex1xxxxxx)＝e21?＝e21-記2，則21222xx2