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二次函數(shù)【知識(shí)清單】1、一般的,形如yax2bxc(a0,a,b,c是常數(shù))的函數(shù)叫二次函數(shù)。例如1y2x2,y2x26,y3x24x,y5x29x6等都是二次函數(shù)。注意:系a數(shù)不能為零,可以為零。b,c2、二次函數(shù)的三種解析式(表達(dá)式)yaxbxca(0,a,b,c是常數(shù))①一般式:2yaxh②頂點(diǎn)式:()kahk為常數(shù),且a0)(,,,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k)2③交點(diǎn)式:(yaxx)(xx)(a0,,其中是拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo))xx12123、二次函數(shù)的圖像位置與系數(shù)之間的關(guān)系a,b,ca0時(shí),開(kāi)口方向向上;當(dāng)a0a①:決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向及開(kāi)口的大小。當(dāng)時(shí),開(kāi)口方向向下。決定開(kāi)口大小,|a|當(dāng)越大,則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越??;當(dāng)|a||a|越小,則拋物線(xiàn)的開(kāi)口越大。反之,也成立。c0時(shí),拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)在y軸正半c②:決定拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的位置。當(dāng)c0時(shí),拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸(軸(即軸上方);當(dāng)xx即軸下方);當(dāng)c0時(shí),拋物線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)。反之,也成立。b③a和b:共同決定拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置。當(dāng)0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸在y軸右邊;2a當(dāng)bb02a0(即當(dāng)b時(shí))對(duì)稱(chēng)軸為y軸。0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸在y軸左邊;當(dāng)2a反之,也成立。x1時(shí),④特別:當(dāng)有;當(dāng)x1時(shí),有yabc。反之也成立。yabcyaxhk4、二次函數(shù)()的圖像可由拋物線(xiàn)yax2向上(向下),向左(向右)2h0時(shí),拋物線(xiàn)向右平移個(gè)單位;當(dāng)0時(shí),2hh平移而得到。具體為:當(dāng)yaxyax向左平移h個(gè)單位,得到k0ya(xh)2;當(dāng)時(shí),拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)2ya(xh)2再向上平移yaxh再向下平移)k個(gè)單位,當(dāng)k0時(shí),拋物線(xiàn)(k2個(gè)單位,而得到y(tǒng)a(xh)2k的圖像。5、拋物線(xiàn)yaxbxc(a0)與一元二次方程axbxc0(a0)的關(guān)系:22yaxbxc(a0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),則一元二次方程①若拋物線(xiàn)2ax2bxc0(a0)有兩個(gè)不相等的實(shí)根。②若拋物線(xiàn)2yaxbxc(a0)與軸有一個(gè)交點(diǎn),則一元二次方程xax2bxc0(a0)有兩個(gè)相等的實(shí)根(即一根)。x③若拋物線(xiàn)2yaxbxc(a0)與軸無(wú)交點(diǎn),則一元二次方程ax2bxc0(a0)沒(méi)有實(shí)根。6、二次函數(shù)yax2bxc(a0,a,b,c是常數(shù))的圖像與性質(zhì)關(guān)系式y(tǒng)ax2bxc(a0)ya(xh)k(a0)2圖像形狀拋物線(xiàn)(h,k)b4acb2)(,2a4a頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸xhxb2ab在圖像對(duì)稱(chēng)軸左側(cè),即x或xh,y隨的增大2axa0b而減小;在圖像對(duì)稱(chēng)軸右側(cè),即x或xh,y隨2a增減性x的增大而增大;b在圖像對(duì)稱(chēng)軸左側(cè),即x或xh,y隨的增大2axa0b而增大;在圖像對(duì)稱(chēng)軸右側(cè),即或xh,y隨x2ax的增大而減??;=k最小值當(dāng)y=4acb24a最小值xh時(shí),yb當(dāng)x時(shí),a0最大值2a最小值a0當(dāng)xhy=4acb24a最大值y=k最大值時(shí),b當(dāng)x時(shí),2a【考點(diǎn)解析】考點(diǎn)一:二次函數(shù)的概念()【例1】下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是C.y8xD.y34x2A.y8x21x81B.yy8x1【解析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可做出判斷,中符合A2的形式,所以是二次函數(shù),分別是一次函數(shù)和反比例yax2bx(ca0),BC函數(shù),中右邊34不是整式,顯然不是二次函數(shù)。Dx2【答案】A_____m3mx(m1)是二次函數(shù),則。y(m2m)x2】已知函數(shù)2【例m23m4【解析】根據(jù)二次函數(shù)的定義,只需滿(mǎn)足兩個(gè)條件即可“二次項(xiàng)系數(shù)不為零,且xm0且m2,綜上所述,m1或m2的最高次數(shù)為2。故有”,解得m2m0m取2。2m3m422【答案】2【針對(duì)訓(xùn)練】1、若函數(shù)y(m2)xm是x二次函數(shù),則該函數(shù)的表達(dá)式為22my__________??键c(diǎn)二:待定系數(shù)法在求解二次函數(shù)解析式中的應(yīng)用已知點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上,則a的值是()a,8yax2【例1】A.2B.2C.2D.2【解析】因?yàn)辄c(diǎn),8在二次函數(shù)yax2的圖象上,所以將點(diǎn),8代入二次函數(shù)aayax中,可以得出a38,則可得,a22A【答案】.yaxbxc的與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表,則當(dāng)x【例2】若二次函數(shù)2x1時(shí),y的值為()765432x27133353yA.5B.3C.1327x4或2時(shí),yaxhk【解析】設(shè)二次函數(shù)的解析式為,因?yàn)楫?dāng)22,3h3,h5y3,由拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知,所以,把yax352a2,所以二次函數(shù)的解析式為,當(dāng)x3時(shí),代入得,y2x352y27?!敬鸢浮緾【針對(duì)訓(xùn)練】1,03,01,2三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()1、過(guò),,A.1,2C.1,5B.(1,2)14D.(2,)332、無(wú)論為何實(shí)數(shù),二次函數(shù)yx2mxm的圖象總是過(guò)定點(diǎn)()2mA.1,3B.1,0C.1,3D1,0yaxbxc【例3】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)的圖2B0,2,則y與的函數(shù)關(guān)系式為()xA.2,2,且過(guò)點(diǎn)象頂點(diǎn)為yx222C.yx222D.yx222A.yx22B.B0,2代入得【解析】設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式為,將yax22220222,解得:a1yx22,故這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式是,2【答案】D【針對(duì)訓(xùn)練】1,03,01,21、過(guò),,三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是_____??键c(diǎn)三:二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用(與系數(shù)的關(guān)系)a,b,cya(x1)2b(a0)有最小值1,則、b的大小關(guān)系為a【例1】已知二次函數(shù)()A.abB.abC.abD.不能確定【考點(diǎn)】涉及二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)和最值a0,b1,0)有最小值1,所以ya(x1)b(a【解析】因?yàn)槎魏瘮?shù)2b1ab,所以。A【答案】.【針對(duì)訓(xùn)練】1、二次函數(shù)y2x24x1的最小值是。2、二次函數(shù)2(1)3yx的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()2A.(1,3)B.(1,3)C.(1,3)D.(1,3)3、拋物線(xiàn)yx(x2)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(1,1)B.(1,1)C.(1,1)D.(1,1)【例2】拋物線(xiàn)yx(2)3可以由拋物線(xiàn)2平移得到,則下列平移過(guò)程yx2正確的是()A.先向左平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位3個(gè)單位3個(gè)單位3個(gè)單位B.先向左平移2個(gè)單位,再向下平移C.先向右平移D.先向右平移2個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位,再向上平移【考點(diǎn)】涉及函數(shù)平移問(wèn)題yx【解析】拋物線(xiàn)向左平移2個(gè)單位可得到拋物線(xiàn)y(x2)2,再向下平移23個(gè)單位可得到拋物線(xiàn)。【答案】B.y(x2)32【針對(duì)訓(xùn)練】1、已知下列函數(shù):(1)yx2;(2)yx2;(3)y(x1)22。其中,圖象通過(guò)平移可以得到函數(shù)yx22x3的圖象的有(填寫(xiě)所有正確選項(xiàng)的序號(hào))。2、將拋物線(xiàn)yx22向上平移一個(gè)單位后,得到新的拋物線(xiàn),那么新的拋物線(xiàn)的表達(dá)式是。3、將拋物線(xiàn)2向左平移2個(gè)單位后,得到的拋物線(xiàn)的yx解析式是()A.yx22B.y(x2)2C.y(x2)2D.yx22【例3】二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示,則下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是()A.a0B.c0C.b24ac0D.abc0【考點(diǎn)】圖像與系數(shù)的關(guān)系【解析】觀(guān)察題中圖象可知,拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向向上,拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)在yya0,c0,,且當(dāng)x1軸的正半軸上,與軸有兩個(gè)交點(diǎn),所以xb2ac40yabc0時(shí),。顯然選項(xiàng)A、B、C都正確,只有選項(xiàng)D錯(cuò)誤?!敬餌案】.x1,則【例4】已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示,對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)下列結(jié)論正確的是()A.ac0B.方程ax2bxc0的兩根是x1,x312C.2ab0x0時(shí),D.當(dāng)y隨的增大而減小x【考點(diǎn)】圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,所以b1,xa【解析】由圖象可知0c,故A錯(cuò)誤;因?qū)ΨQ(chēng)軸為直線(xiàn)1,02a故C錯(cuò)誤;由圖象可知當(dāng)1x0時(shí),隨的增大而增大,故D錯(cuò)誤;由二次xy函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知B選項(xiàng)正確,【答案】B.【針對(duì)訓(xùn)練】ymxm1、在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)m和函數(shù)ymx22(是2x常數(shù),且m0)的圖象可能是()A.B.C.D.2、已知拋物線(xiàn)yax2bxc(a0)在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,則下列結(jié)論中,正確的是()A.a0C.c0B.b0D.abc0axx0時(shí),隨的增大而減小,則二次函yx3、在反比例函數(shù)中y(a0),當(dāng)數(shù)yax2ax的圖象大致是()A.B.C.D.考點(diǎn)四:二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例1】某企業(yè)為重慶計(jì)算機(jī)產(chǎn)業(yè)基地提供電腦配件,受美元走低的影響,從去年1至9月,該配件的原材料價(jià)格一路攀升,每件配件的原材料價(jià)格y(元)x1與月份(1x9,且取整數(shù))之間的函數(shù)關(guān)系如下表:x月份x123456789價(jià)格y(元/件)5605806006206406606807007201隨著國(guó)家調(diào)控措施的出臺(tái),原材料價(jià)格的漲勢(shì)趨緩,10至12月每件配件的原材料價(jià)格y(元)與月份(10≤≤12,且取整數(shù))之間存xxx2在如圖所示的變化趨勢(shì):(1)請(qǐng)觀(guān)察題中的表格,用所學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí),直接寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)如圖所示的變化趨勢(shì),直接寫(xiě)出xy1與之間滿(mǎn)足的一次函數(shù)關(guān)系式;xy2(2)若去年該配件每件的售價(jià)為1000元,生產(chǎn)每件配件的人力成本為50元,其它成本30元,該配件在1至9月的銷(xiāo)售量p(萬(wàn)件)與月份滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系x1式1(1≤≤9,且取整數(shù))10至12月的銷(xiāo)售量p(萬(wàn)件)與月份p0.1x1.1xx2滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式2(10≤≤12,且取整數(shù)).求去年哪個(gè)月銷(xiāo)售xxp0.1x2.9x該配件的利潤(rùn)最大,并求出這個(gè)最大利潤(rùn);(3)今年1至5月,本比去年增加20%,其它成本沒(méi)有變化,上提高a%,與此同時(shí)每月銷(xiāo)售量均在去年12月的前提下,完成了1至5月的總利潤(rùn)1700萬(wàn)元的整數(shù)值.:99=9901,982=9604,972=9409,962=9216,952=9025)每件配件的原材料價(jià)格均比去年12月上漲60元,人力成售價(jià)在去年的基礎(chǔ)基礎(chǔ)上減少0.1a%.這樣,該企業(yè)將每件配件的在保證每月上萬(wàn)件配件銷(xiāo)量的任務(wù),請(qǐng)你參考以下數(shù)據(jù),估算出的a(參考數(shù)據(jù)2【考點(diǎn)】涉及函數(shù)模型,把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù),用函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題,綜合性比較強(qiáng),一般還涉及不等式,最值問(wèn)題?!窘馕觥浚?)把表格(1)中任意2點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線(xiàn)解析式可得的解析式.把y1(10,730)(12,750)代入直線(xiàn)解析式可得的解析式,;(2)分情況探討得:y21≤≤9時(shí),利潤(rùn)=p×(售價(jià)﹣各種成本);10≤≤12時(shí),利潤(rùn)=p×(售價(jià)﹣各xx12種成本);并求得相應(yīng)的最大利潤(rùn)即可;(3)根據(jù)1至5月的總利潤(rùn)1700萬(wàn)元kb560k20得到關(guān)系式求值即可。解:(1)設(shè),則ykxb,解得,b542kb58010ab73,解得∴y20x540(1≤≤9,且取整數(shù));設(shè),則yaxb2xx12ab751a10b63,∴(10≤≤12,且取整數(shù));x10630xxy2(2)設(shè)去年第月的利潤(rùn)為元.1≤≤9,且取整數(shù)時(shí)xWxxWp(10005030y)2x216x4182(x4)2450x∴=4時(shí),最W11大=450元;10≤≤12,且取整數(shù)時(shí),Wp(10005030y)(x29)22xx2∴=10時(shí),W最大=361元;x(3)去年12月的銷(xiāo)售量為﹣0.×12+2.9=1.7(萬(wàn)件),今年原材料價(jià)格為:750+60=810(元)今年人力成本為:50×(1+20%)=60元.∴5×[1000×(1+)﹣810﹣60﹣30]×1.7(1﹣0.1×a%)=1700,a%設(shè),整理得10t99t100,ta%2解得t999401∵9401更接近于9409,∴940197,20∴t≈0.1,t≈9.8,∴a≈10或a≈980,1212∵1.7(1﹣0.1×)≥1,∴≈10.a(chǎn)%a【答案】(1)y10x630(10≤≤12,且取整數(shù));(2)=10時(shí),最大xxxW2=361元;(3)≈10a【針對(duì)訓(xùn)練】1、在“母親節(jié)”前夕,我市某校學(xué)生積極參與“關(guān)愛(ài)貧困母親”的活動(dòng),他們購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為20元的“孝文化衫”在課余時(shí)間進(jìn)行義賣(mài),并將所得利潤(rùn)捐給貧困母親。經(jīng)試驗(yàn)發(fā)現(xiàn),若每件按24元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí),每天能賣(mài)出36件;若每件按29元的價(jià)格銷(xiāo)售時(shí),每天能賣(mài)出21件.假定每天銷(xiāo)售件數(shù)y(件)與銷(xiāo)售價(jià)格x(元/件)滿(mǎn)足一個(gè)以x為自變量的一次函數(shù)。(1)求y與x滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)出x的取值范圍);(2)在不積壓且不考慮其他因素的情況下,銷(xiāo)售價(jià)格定為多少元時(shí),才能使每天獲得的利潤(rùn)最大?P【例2】如圖,已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),直線(xiàn)yx1與二次函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn),其中點(diǎn)在軸上.A,BAy(1)二次函數(shù)的解析式為y=;(2)證明點(diǎn)不在(1)中所求的二次函數(shù)的圖象上;(m,2m1)(3)若為線(xiàn)段的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),與二次函數(shù)的圖CECABCCExE象交于點(diǎn).D①y軸上存在點(diǎn),使以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,則K點(diǎn)的KADCK,,,K坐標(biāo)是;PS2②二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn),使得?求出點(diǎn)坐標(biāo);若不SABDPPOE存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【考點(diǎn)】考察函數(shù)的圖像與性質(zhì),與平面圖形綜合為主,一般涉及存在性問(wèn)題和動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題?!窘馕觥浚?)由二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),故根據(jù)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式寫(xiě)出拋物線(xiàn)解析式.(2)把該點(diǎn)代入拋物線(xiàn)上,得到m的一元二次方程,求根的判別式.(3)由直線(xiàn)yx1與二次函數(shù)的圖象交于A(yíng),B兩點(diǎn),解得A,B兩點(diǎn)坐標(biāo),求出點(diǎn)坐標(biāo),①設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)(0,a),使為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,DK,,,KADC則則,且,進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo).②過(guò)點(diǎn)作軸于,KADCBA//DKKBBFxF,又為中點(diǎn),求得點(diǎn)坐標(biāo),可得到2S,設(shè)ABDBF//CE//AOCABBSPOE1,由題意可以解出.xP(x,x2x1)4y1x2x14(1)解:y1x2x4(2)證明:設(shè)點(diǎn)(m,2m1)在二次函數(shù)1的圖象上,則有:2m11m2m1,整理得m24m80,1的圖象上.2S,4∵∴原方程無(wú)解,(4)481602y1x2x4∴點(diǎn)(m,2m1)不在二次函數(shù)(3)解:①K(0,3)或(0,5)②二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P,使得PSPOEABD如圖,過(guò)點(diǎn)作∴OEEF,由于軸于,則CAB中點(diǎn),,又為BF//CE//AOBBFxFy1x2x14和yx1可求得點(diǎn)B(8,9)∴E(4,0),D(4,1),C(4,5)∴AD//x軸,214416.2∴S2SPOEABD114(x2x1)1x22x21242設(shè)P(x,x2x1),由題意得:S4POE∵S2S∴1解得或,x22x232x6x10POEABD2366116,y14當(dāng)時(shí),x610010116,y14當(dāng)時(shí),x10∴存在點(diǎn)P(6,16)和P(10,16),使得2SABDSPOE【答案】(1)y14x2x1;(2)見(jiàn)上述解答過(guò)程;(3)存在,點(diǎn)和P(6,16)P(10,16)【基礎(chǔ)闖關(guān)】1、已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示,那么這個(gè)函數(shù)的解析________式為。________,則函數(shù)的最小值是。31213yxx2、已知二次函數(shù)y2________。k的形式,則________。()2y3、把拋物線(xiàn)y2x2向上平移5個(gè)單位,所得拋物線(xiàn)的解析式為yx24x5化成yxh4、將二次函數(shù)5、如圖,拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式是()A.yxx22B.yxx2D.yxx2C.yx2x26、已知函數(shù)yaxyaxb的圖象是()22(0)的圖象如圖所示,則函數(shù)bxca2A.B.C.D.7、二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()2y(2x1)3A.(1,3)C.(1,)B.(1,3)D.(1,3)31yx8、對(duì)于拋物線(xiàn)(1)3,下列結(jié)論:①拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下;②對(duì)稱(chēng)軸為22x1;③頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,3);④x1時(shí),隨的增大而減小,其中正yx直線(xiàn)確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.49、已知:直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)如圖所示.yx22x3的頂點(diǎn),pyaxb(1)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是____________________________p(2)若直線(xiàn)yaxb經(jīng)過(guò)另一點(diǎn)(0,11),求出該直線(xiàn)A的表達(dá)式;(3)在(2)的條件下,若有一條直線(xiàn)與直線(xiàn)ymxn關(guān)于軸成軸對(duì)稱(chēng),求直線(xiàn)與拋物線(xiàn)xymxnyaxbyx22x3的交點(diǎn)坐標(biāo).10、已知二次函數(shù)yx22x3,解答下列問(wèn)題:(1)用配方法將該函數(shù)解析式化為ya(xm)2k的形式;(2)指出該函數(shù)圖象的開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸,以及它的變化情況.【拓展提高】1、將二次函數(shù)y2(x1)23的圖象沿軸向上平移3個(gè)單位,那么平移后的y二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是。mn2、若拋物線(xiàn)yx22xm的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,則n的值是。2bxc3、拋物線(xiàn)yax的頂點(diǎn)坐標(biāo)是1,3,且過(guò)點(diǎn)0,5,那么二次函數(shù)yaxbxc的解析式為()2A.y2x24x5B.y2x4x52C.y2x4x12D.y2x4x32bxc圖象向右平移2個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位,所得圖象4、拋物線(xiàn)yx2的解析式為yx22x3,則、的值為()bcA.b2,c2B.b2,c0C.b2,c1D.b3,c25、拋物線(xiàn)yaxbxc圖象如圖所示,則一次函數(shù)ybx4acb22與反比例abcy函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為()xA.B.C.D.6、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,有兩條位置確定的拋物線(xiàn),它們的對(duì)稱(chēng)軸相同,則下列關(guān)系不正確的是()A.k=nB.h=mC.k<nD.h<0,k<07、將二次函數(shù)23yxx化為yxh()2k
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