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文檔簡介
第五節(jié)對坐標(biāo)的曲面積分第十一章一、有向曲面及曲面元素的投影?莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)法向量指向方向余弦coscos
bcos?(DS
)
xy
,(DS
)
xy
=DS側(cè)的規(guī)定?有向曲面,二、對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)1.
引例S分析:v有向曲面
,“大化小,常代變,近似和,取極限”F
=ΣF意分割任意取點(diǎn)分 第二類曲面積分被積函數(shù)積分曲面任對坐標(biāo)的曲面積2.
定義：對y,z
的曲面積分;對z,x的曲面積分;對x,y
的曲面積分.F
=
S
Pd
y
d
z
+
Qd
z
d
x
+
Rdx
d
yS
正側(cè)3.
性質(zhì)=
S
A
nd
S三、對坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法定理:z(x,
y)證:∵S
取上側(cè),\(DSi
)xy=
(Dsi
)
xyz(xi
,
hi
)?,
y,
z)(前正后負(fù))yz=
–D
P(?,
z
)(右正左負(fù))Q
(x,zx=
–D說明:S)=
-D
R(x,
y,xy例1.a解:S1
:
z
=
a
(
x
￡
a
,
y
￡
a
)2
2
2S
2
:
z
=
-
a
(
x
￡
a
,
y
￡
a
)2
2
2解:思考:例2.zx1S1S
2O
Dx
yzx1S1S
2O
Dx
y152==
S
xyz
d
x
d
y1(-
1-
x2
-
y2
)1-
x2
-
y2rd
rdq例3.解:輪換對稱性SSd
z
d
x
=d
x
d
y
=
02cos
z2cos
y101
-
r
21
-
r
2
cos2r
d
r=
4
π
tan12
π0=
2
dq
2四、兩類曲面積分的聯(lián)系S
Pd
y
d
z
+
Qdz
d
x
+
Rdx
d
y=
S
(Pcosa
+
Qcos
b
+
Rcosg
)d
S曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫A
=
(P,
Q,
R),An
=
A
n例4.解:q。1
yz11x例5.解:n例6.解:cosa
dScosa
d
xd
ycosg(-x)2(-x)241
(x2
+
y2
)22-
1
(x2
+
y
2
)=
8
π內(nèi)容小結(jié)定義:?S
P
d
y
d
z
+
Q
d
z
d
x
+
R
d
x
d
y性質(zhì):=
-S
P
d
y
d
z
+
Q
d
z
d
x
+
R
d
x
d
y聯(lián)系:=
S
(P
cosa
+
Q
cos
b
+
R
cosg
)dS思考:注：轉(zhuǎn)化
R(x,
y,
z)
d
x
d
y
=
–
R(x,
y,
z(x,
y))
d
x
d
yDxy（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“-”)SyOz
zOx思考與練習(xí)提示:00-提示:P228
題3(3).作業(yè)備用題解:x
=
a
r
cosq
,
y
=
br
sinq
,
d
x
d
y
=
abr
d
r
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