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文檔簡介
第五節(jié)對坐標的曲面積分第十一章一、有向曲面及曲面元素的投影?莫比烏斯帶曲面分上側和下側曲面分內側和外側曲面分左側和右側法向量指向方向余弦coscos
bcos?(DS
)
xy
,(DS
)
xy
=DS側的規(guī)定?有向曲面,二、對坐標的曲面積分的概念與性質1.
引例S分析:v有向曲面
,“大化小,常代變,近似和,取極限”F
=ΣF意分割任意取點分 第二類曲面積分被積函數積分曲面任對坐標的曲面積2.
定義：對y,z
的曲面積分;對z,x的曲面積分;對x,y
的曲面積分.F
=
S
Pd
y
d
z
+
Qd
z
d
x
+
Rdx
d
yS
正側3.
性質=
S
A
nd
S三、對坐標的曲面積分的計算法定理:z(x,
y)證:∵S
取上側,\(DSi
)xy=
(Dsi
)
xyz(xi
,
hi
)?,
y,
z)(前正后負)yz=
–D
P(?,
z
)(右正左負)Q
(x,zx=
–D說明:S)=
-D
R(x,
y,xy例1.a解:S1
:
z
=
a
(
x
￡
a
,
y
￡
a
)2
2
2S
2
:
z
=
-
a
(
x
￡
a
,
y
￡
a
)2
2
2解:思考:例2.zx1S1S
2O
Dx
yzx1S1S
2O
Dx
y152==
S
xyz
d
x
d
y1(-
1-
x2
-
y2
)1-
x2
-
y2rd
rdq例3.解:輪換對稱性SSd
z
d
x
=d
x
d
y
=
02cos
z2cos
y101
-
r
21
-
r
2
cos2r
d
r=
4
π
tan12
π0=
2
dq
2四、兩類曲面積分的聯系S
Pd
y
d
z
+
Qdz
d
x
+
Rdx
d
y=
S
(Pcosa
+
Qcos
b
+
Rcosg
)d
S曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫A
=
(P,
Q,
R),An
=
A
n例4.解:q。1
yz11x例5.解:n例6.解:cosa
dScosa
d
xd
ycosg(-x)2(-x)241
(x2
+
y2
)22-
1
(x2
+
y
2
)=
8
π內容小結定義:?S
P
d
y
d
z
+
Q
d
z
d
x
+
R
d
x
d
y性質:=
-S
P
d
y
d
z
+
Q
d
z
d
x
+
R
d
x
d
y聯系:=
S
(P
cosa
+
Q
cos
b
+
R
cosg
)dS思考:注：轉化
R(x,
y,
z)
d
x
d
y
=
–
R(x,
y,
z(x,
y))
d
x
d
yDxy（上側取“+”,下側取“-”)SyOz
zOx思考與練習提示:00-提示:P228
題3(3).作業(yè)備用題解:x
=
a
r
cosq
,
y
=
br
sinq
,
d
x
d
y
=
abr
d
r
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