人教b版高中數學必修復數的三角形式及其運算(共37張)

10.3復數的三角形式及其運算第十章復數學習目標1.通過復數的幾何意義，了解復數的三角表示.2.了解復數的代數表示與三角表示之間的關系.3.了解輻角、輻角主值等概念.4.了解復數乘除運算的三角表示及其幾何意義.

重點：復數的三角表示.難點：復數乘除運算的三角表示及其幾何意義.知識梳理一、復數的三角形式

從而z＝a+bi＝（rcosθ）+（rsinθ）i＝r（cosθ+isinθ），上式的右邊稱為非零復數z＝a+bi的三角形式（對應地，a+bi稱為復數的代數形式），其中的θ稱為z的輻角.顯然，任何一個非零復數z的輻角都有無窮多個，而且任意兩個輻角之間都相差2π的整數倍.特別地，在［0，2π）內的輻角稱為z的輻角主值，記作argz.【名師點撥】為了求出一個非零復數的三角形式，只要求出這個復數的模，然后再找出復數的一個輻角（比如輻角主值）即可.因為0＝0（cosθ+isinθ），其中θ可以為任意值，所以我們也稱上式為復數0的三角形式.這樣一來，任意復數都可以寫成三角形式了.【特別提示】（1）復數的三角形式與代數形式一樣，也是表示復數的一種方法，它們可以相互轉化.（2）復數的代數形式是唯一的，但三角形式不唯一.（3）任何一個不為零的復數的輻角有無限多個值，但輻角主值只有一個；復數0的輻角是任意的，不討論它的輻角主值.二、復數三角形式的乘除法1.復數三角形式的乘法法則【嘗試與發(fā)現】設z1＝r1（cosθ1+isinθ1），z2＝r2（cosθ2+isinθ2），試求出z1z2.提示：z1z2＝r1（cosθ1+isinθ1）×r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2［（cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i（sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2）］＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.由此，我們可得到復數三角形式的乘法法則：r1（cosθ1+isinθ1）×r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2［cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）］.z1的模乘以z2的模等于z1z2的模（簡記：模相乘）z1的輻角與z2的輻角之和是z1z2的輻角（簡記：輻角相加）2.復數三角形式乘法的幾何意義

上述兩個復數三角形式的乘法及其幾何意義，可以推廣到有限個復數的三角形式相乘.

3.復數三角形式的除法法則

模相除輻角相減4.復數三角形式除法的幾何意義

?？碱}型一、復數的代數形式與三角形式的互化

【注意】非零復數z＝r（cosθ+isinθ）中，輻角θ可以取輻角主值，也可以取其他輻角，它們相差2π的整數倍.

解：z＝1+cos2x+isin2x＝2cos2x+i·2sinxcosx

＝2cosx（cosx+isinx）.

◆將復數的三角形式化為代數形式的一般方法1.計算出cosθ，sinθ的值；2.整理為a+bi（a，b∈R）的形式，其中a＝rcosθ，b＝rsinθ.

一一二、利用復數的三角形式進行復數的乘除運算

◆復數的乘法運算1.若復數為三角形式，則用復數三角形式的乘法公式進行計算，即r1（cosθ1+isinθ1）×r2（cosθ2+isinθ2）＝r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].2.若復數為代數形式，可以先化為三角形式再進行計算，也可利用代數形式計算.2+2i

B

D三、復數乘法和除法的幾何意義及其應用

【解題提示】將復數的代數形式化為三角形式，利用復數乘法的幾何意義求得z2的三角形式，再將三角形式轉化為代數形式.CA

小結1.復數的三角形式z＝a+bi＝r（cosθ+isinθ）的右邊稱為非零復數z＝a+bi的三角形式，其中的θ稱為z的輻角.在［0，2π）內的輻角稱為z的輻角主值，記作argz.為了求出一個非零復數的三角形式，只要求出這個復數的模，然后再找出復數的一個輻角（比如輻角主值）即可.2.復數三角形式的乘法法則r1（cosθ1+isinθ1）×r