數(shù)分課件總復(fù)習(xí)

工科數(shù)學(xué)分析下第六章

向量代數(shù)與空間解析幾何第七章 多元函數(shù)微分學(xué)第八章 重積分第九章

曲線積分與曲面積分第十章 無窮級數(shù)第六章向量代數(shù)與空間解析幾何第一部分向量代數(shù)第二部分空間解析幾何在三維空間中:空間形式—點,線,面數(shù)量關(guān)系

—

坐標(biāo), 方程（組）基本方法

—

坐標(biāo)法;

向量法第六章第七章

多元函數(shù)微分學(xué)第七章一元函數(shù)微分學(xué)推廣多元函數(shù)微分學(xué)注意:善于類比,區(qū)別異同一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)（二、三）重積分曲線積分曲面積分第八章 重積分第八章第九章曲線積分與曲面積分第九章曲線積分曲面積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分積分學(xué) 定積分二重積分三重積分曲線積分曲面積分積分域

區(qū)

間 平面域 空間域

曲線弧 曲面域第十章無窮級數(shù)第十章無窮級數(shù)數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)傅里葉級數(shù)向量的線性運算向量的表示法向量積數(shù)量積混合積向量的積向量概念（一）向量代數(shù)第六章空間解析幾何與向量代數(shù)直線曲面曲線平面參數(shù)方程旋轉(zhuǎn)曲面柱

面二次曲面一般方程參數(shù)方程一般方程對稱式方程點法式方程一般方程空間直角坐標(biāo)系（二）空間解析幾何第七章多元微分學(xué)平面點集和區(qū)域極限運算多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)概念多元函數(shù)的極限多元函數(shù)

連續(xù)的概念全微分的應(yīng)用高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則全微分形式的不變性微分法在

幾何上的應(yīng)用方向?qū)?shù)多元函數(shù)的極值全微分概念偏導(dǎo)數(shù)概念相關(guān)問題類型（1）求偏導(dǎo)，求全微分；偏微分方程變量代換（2）應(yīng)用問題求最值，二元函數(shù)及L乘數(shù)法（3）梯度，方向?qū)?shù)（4）曲面切平面，法線；曲線切線，法平面（5）多元Taylor公式定義幾何意義性質(zhì)計算法應(yīng)用二重積分定義物理意義性質(zhì)計算法應(yīng)用三重積分第八章重積分相關(guān)問題類型二重積分計算（定義，性質(zhì)，極坐標(biāo)）三重積分計算（投影法，截面法，柱坐標(biāo)，球坐標(biāo)）重積分的應(yīng)用（曲面面積，質(zhì)心，轉(zhuǎn)動慣量，引力）含參變量積分函數(shù)（求導(dǎo)數(shù)）曲線積分曲面積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分計算計算聯(lián)系聯(lián)系（一）曲線積分與曲面積分第九章曲線積分與曲面積分曲線積分第一類曲線積分第二類曲線積分定義nL

f

(x,

y)dl

=limf

(xi

,hi

)Dlilfi

0

i=1L

X(x,

y)dx+Y(x,

y)dyn=

lim[X

(xi

,hi

)Dxi

+Y

(xi

,hi

)Dyi

]lfi

0

i=1聯(lián)系L

Xdx

+Ydy

=

L

(

X

cosa

+Y

cos

b)dl計算L

f(

x,

y)dsb=

f

[j,

y

]

j￠2

+

y

￠2

dta(a

<

b)L

Xdx

+Ydyb=

a

[

X

(x,

y)x

'(t)

+Y

(x,

y)

y

'(t)]dt平面曲線積分與路徑無關(guān)的四個等價命題條件在單連通開區(qū)域D

上P(x,y),Q(x,y)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則以下四個命題成立.等價命題在D內(nèi)L

Pdx

+Qdy與路徑無關(guān)L

Pdx

+

Qdy

=

0,閉曲線L

D在D內(nèi)存在U

(x,y)使du

=Pdx

+Qdy在D內(nèi),?P

=?Q?y

?x曲面積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分定義n

f

(x,

y,

z)ds

=lim

f

(xi

,hi

,zi

)Dsilfi

0S

i=1nR(x,

y,

z)dxdy=

limR(xi

,hi

,zi

)(DSi

)xylfi

0S

i=1聯(lián)系

Pdydz

+

Qdzdx

+

Rdxdy

=

(

P

cosa

+

Q

cos

b

+

R

cosg)dSS

S計算

f

(x,

y,

z)dsS=

f

[x,

y,

z(x,

y)]

1+

z2

+

z2dxdyx

yDxy一投,二代,三換(與側(cè)無關(guān))R(x,

y,

z)dxdyS=–R[x,

y,

z(x,

y)]dxdyDxy一投,二代,三定向(與側(cè)有關(guān))定積分曲線積分重積分曲面積分計算計算計算Stokes公式Guass公式（二）各種積分之間的聯(lián)系2f

(x,y)dy]dx,(ds面元素)f

(

x,

y)ds

=

[b y

(

x

)a

y1

(

x

)

D22體元素)f

(

x,

y,

z)dz,(dVdybay

(

x

)y1

(

x

)z

(

x

,

y

)z1

(

x

,

y

)f

(

x,

y,

z)dV

=

dx

W2bLa￠f

(x,

y)dl

=f

[x,y(x)]

1

+y

dx,(dl

線元素(曲))baLf

(

x,

y)dx

=f

[x,y(x)]dx,(dx線元素(投影))幾個積分公式SDxyf

(

x,

y,

z)dS

=DxyS

f

(x,

y,

z)dxdy

=

f

[x,

y,

z(x,

y)]dxdy其中S

SL

Xdx

+Ydy

=

L

(

X

cosa

+Y

cosb

)dl

Xdydz

+Ydzdx

+

Zdxdy

=

(

X

cosa

+Y

cos

b

+

Z

cos

g)dSf

[

x,

y,

z(

x,

y)]

1

+

z￠2

+

z￠2

dxdyx

y(dS面元素(曲))(dxdy面元素(投影))各種積分之間的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系baf

(x)dx

=

F

(b)

-

F

(a) (F

￠(x)

=

f

(x))牛頓--萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系(L?Y

?X-

)dxdy

=?x

?yDXdx

+Ydy

(沿L的正向)格林公式W

S?x

?y

?z3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系

(

?X

+

?Y

+

?Z

)dv

=

Xdydz

+

Ydzdx

+

Zdxdy斯托克斯公式S?y

?z

?z

?x

?x

?y=

(

?Z

-

?Y

)dydz

+(

?X

-

?Z

)dzdx

+(

?Y

-

?X

)dxdyG高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系

Xdx

+Ydy

+

ZdzGreen公式,Guass公式,Stokes公式之間的關(guān)系dydzdzdxdxdy????x?y?zXYZ=

SG

Xdx

+Ydy

+

ZdzW?x

?y

?z=

(?X

+

?Y

+

?Z

)dv

Xdydz

+Ydzdx

+

ZdxdyS(LDXdx

+Ydy

=-

)dxdy?Y

?X?x

?y推廣推廣梯度j

+

k?x

?y

?zgrad

u

=

?u

+i?u

?u

通量旋度環(huán)流量+

+?P

?Q

?R?x

?y

?zF

=

Pdydz

+

Qdzdx

+

Rdxdy?P-

)i

+

(-

)

j

+

(-

)k?y

?z?z

?x?x

?yrot

A

=

(?R

?Q

?R

?Q

?P

GG

=

Pdx

+

Qdy

+

RdzS

散度

div

A

=（三）場論初步相關(guān)問題類型曲線積分的計算（第一、二類）曲面積分的計算（第一、二類）（3）Green公式的應(yīng)用，判別積分與路徑無關(guān)（4）Gauss定理的應(yīng)用，構(gòu)造定理成立的條件（5）物理問題的應(yīng)用常數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)~般項級數(shù)*項級數(shù)冪級數(shù)三角級數(shù)收斂半徑R泰勒展開式數(shù)或函數(shù)函

數(shù)數(shù)任意項級數(shù)傅氏展開式傅氏級數(shù)泰勒級數(shù)R

(

x)

fi

0nnu

為常數(shù)un為函數(shù)un

(x)滿足狄 氏條件取x

=x0在收斂 級數(shù)與數(shù)條件下 相互轉(zhuǎn)化￥

unn=1￥n=1

un第十章無窮級數(shù)數(shù)項級數(shù)斂散性的判定–正項級數(shù)判別法（比較、比值、根值）–交錯級數(shù)判別法（萊布尼茲判別法）–任意項級數(shù)（絕對收斂、條件收斂）冪級數(shù)（Taylor級數(shù)）–收斂半徑、收斂域、和函數(shù)傅里葉級數(shù)–傅里葉系數(shù)、和函數(shù)記憶公式2.

常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式x

?

(-￥

,

+

￥

)ln(1+

x)

=

xx

?

(-1,

+1]ex

=1

+

x

+

1

x2++

1

xn

+,2!

n!2

3

4n+11

1

1

(-1)n-

2

x

+

3

x

-

4

x

+

+

n

+1

x+1

+

1

+

1

+

+

1

+2

p

3

p

n

p1.

數(shù)項級數(shù)等比級數(shù)調(diào)和級數(shù)p

級數(shù)+(2n

+1)!x2n+1nsin

x

=

x

-

3!+

-

+

+

(-1)5!

7!x3

x5

x7cos

x

=1

-

2!

+4!

6!x2

x4

x6+-

+

+

(-1)(2n)!x2nn2!(1

+

x)m

=1+

mx

+

m(m

-1)

x2n!