工學5-真空中的靜電場課件

電磁學電能是應用最廣泛的能源；電磁波的傳播實現(xiàn)了信息傳遞；電磁學與工程技術各個領域有十分密切的聯(lián)系；電磁學的研究在理論方面也很重要。7/22/20231（1）電磁學的研究內(nèi)容：電磁現(xiàn)象的基本概念和基本規(guī)律電磁學是經(jīng)典物理學的一部分。電荷、電流產(chǎn)生電場、磁場的規(guī)律電場和磁場的相互聯(lián)系電磁場對電荷、電流的作用電磁場對物質(zhì)的各種效應(2)處理電磁學問題的基本觀點和方法。

7/22/20232電磁學的發(fā)展歷史概述靜磁和靜電現(xiàn)象很早就受到人們注意。公元前6、7世紀發(fā)現(xiàn)了磁石吸鐵、磁石指南以及摩擦生電現(xiàn)象。系統(tǒng)地對這些現(xiàn)象進行研究始于16世紀。1600年，英國醫(yī)生吉爾伯特發(fā)表了《論磁、磁體和地球作為一個巨大的磁體》。他總結(jié)了前人對磁的研究，周密地討論了地磁的性質(zhì)，記載了大量的實驗，使磁學從經(jīng)驗轉(zhuǎn)變?yōu)榭茖W。靜電現(xiàn)象的研究要困難的多，因為一直沒有找到恰當?shù)姆绞絹懋a(chǎn)生穩(wěn)定的靜電和對靜電進行測量。只有等到發(fā)明了摩擦起電機，才有可能對電現(xiàn)象進行系統(tǒng)的研究，這時人類才開始對電有初步的認識。7/22/202331750年米切爾提出了磁極之間的作用力服從平方反比定律，1785年庫侖公布了扭稱實驗得到了電力的平方反比定律，使電學和磁學進入了定量研究的階段。1780年，伽伐尼發(fā)現(xiàn)了動物電。1800年伏打發(fā)明了電堆，使穩(wěn)恒電流的產(chǎn)生有了可能，電學由靜電走向動電，導致了1820年奧斯特發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應。于是電學和磁學彼此隔絕的情況有了突破，開始了電磁學的新階段。在這以后，電磁學的發(fā)展勢如破竹。19世紀二、三十年代成了電磁學大發(fā)展的時期。首先對電磁作用力進行研究的是法國科學家安培，他在得知奧斯特發(fā)現(xiàn)之后，重復了奧斯特的實驗，提出了右手定則，并用電流繞地球內(nèi)部流動解釋了地磁的起因。接著他研究了載流導線之間的相互作用，建立了電流元之間的相互作用規(guī)律－－安培定律。與此同時，畢奧－薩伐爾定律也得到發(fā)現(xiàn)。7/22/20234英國物理學家法拉第對電磁學的貢獻尤為突出。1831年發(fā)現(xiàn)了電磁感應現(xiàn)象，進一步證實了電現(xiàn)象和磁現(xiàn)象的統(tǒng)一性。法拉第堅信電磁的近距作用，認為物質(zhì)之間的電力和磁力都需要媒介傳遞，媒介就是電場和磁場。電流磁效應的發(fā)現(xiàn)，使電流的測量成為可能。1826年歐姆因而確定了電路的基本規(guī)律－－歐姆定律。至1865年，麥克斯韋把法拉第的電磁近距作用思想和安培開創(chuàng)的電動力學規(guī)律結(jié)合在一起，用一套方程概括電磁規(guī)律，建立了電磁場理論，預測了光的電磁性質(zhì)，終于實現(xiàn)了物理學史上第二次大綜合。7/22/202351905年愛因斯坦建立狹義相對論1865年麥克斯韋提出電磁場理論1820年奧斯特發(fā)現(xiàn)電流對磁針的作用公元前600年1831年法拉第發(fā)現(xiàn)電磁感應古希臘泰勒斯第一次記載電現(xiàn)象7/22/202361、點電荷的庫侖定律庫侖力的疊加原理2、定義和計算3、的通量高斯定理及其應用4、電場力做功的特點環(huán)路定理電勢及其計算5、和電勢梯度的關系

6、帶電粒子在電場中的運動及其應用第七章真空中的靜電場主要內(nèi)容7/22/20237靜電場穩(wěn)恒電場電通量高斯定理靜電場的基本性質(zhì)環(huán)路定理與帶電粒子的相互作用導體的靜電平衡電介質(zhì)極化電位移矢量介質(zhì)中的高斯定理電容電場能電相互作用庫侖定律電場強度電勢描述本章框架圖7/22/20238要求：1、掌握場強的計算2、掌握用高斯定理計算三種典型對稱分布的帶電系統(tǒng)的場強的方法3、掌握用電勢疊加原理計算電勢的方法4、掌握電場能量的計算方法7/22/20239一、電荷：對電的最早認識：摩擦起電和雷電物質(zhì)的一種屬性，用來描述物體因為帶電而產(chǎn)生的相互作用7.1點電荷庫侖定律7/22/2023101、電荷的種類：正電荷、負電荷

性質(zhì)：同號相吸、異號相斥

電量：電荷的多少

正電荷電量取正值，負電荷電量取負值。一個帶電體所帶電量為其所帶正負電量的代數(shù)和。單位：庫侖符號：C7/22/202311實驗證明，在自然界中，電荷總是以一個基本單元的整數(shù)倍出現(xiàn)。2、電荷的量子化：

e=1.60210-19C，為電子電量1913年，密立根設計了有名的油滴試驗，直接測定了此基元電荷的量值。7/22/202312夸克模型：近代物理從理論上預言基本粒子由若干種夸克或反夸克組成，每一種夸克或反夸克可能帶有或的電量，盡管這一模型對粒子物理中許多現(xiàn)象的解釋獲得很大的成功，但至今在實驗中仍未觀測到自由夸克。當物體帶電量較多時，如宏觀帶電物體，電量可按連續(xù)量處理。7/22/2023133、電荷守恒定律：在一個和外界沒有電荷交換的系統(tǒng)中，正負電荷的代數(shù)和在任何物理過程中保持不變。宏觀物體的帶電、電中和以及物體內(nèi)的電流等現(xiàn)象實質(zhì)上是由于微觀帶電粒子在物體內(nèi)運動的結(jié)果。電荷守恒定律是物理學中普遍的基本規(guī)律。7/22/202314+++電荷為Q電荷為Q一個電荷的電量與它的運動速度或加速度均無關。這是電荷與質(zhì)量的不同之處，如電子被加速時，隨著速度的變化，其質(zhì)量變化比較明顯，而電量卻沒有任何變化。電荷的這一性質(zhì)表明系統(tǒng)所帶電荷的電量與參考系無關，即具有相對論不變性。4、電荷相對論不變性7/22/202315（1）當研究的場中某點P到帶電體幾何中心的距離遠大于帶電體自身時,帶電體可以看成點電荷.（2）若已知一個點電荷,而研究場中某點P到點電荷距離充分小時,此帶電體不能視為點電荷.電學中類似的概念：面電荷、線電荷、電偶極子5、點電荷的物理模型點電荷：理想模型，不是指帶電體的電量很小把帶電體看做點電荷的條件：7/22/2023161、文字描述:真空中兩個靜止點電荷相互作用力的大小正比于兩個點電荷電量的乘積，反比于兩個點電荷距離的平方，方向沿著它們的連線，同種電荷相斥，異種電荷相吸。二、庫倫定律2、庫侖定律的數(shù)學表達式電荷1受電荷2的力7/22/2023173、物理意義及適用條件（1）庫侖定律包含同性相斥，異性相吸這一結(jié)果。q1和q2同性，則q1q2>0,

和同向，說明1排斥2q1和q2異性，則q1q2<0,

和反向，說明1吸引27/22/202318對嗎?討論:(2)單位的有理化B、有理化：q—庫侖(C)；F—牛頓(N)；

r—米(ｍ)由實驗定出：k=8.9880109Nm2/C2A、國際單位制(SI)：米—千克—秒—安培制引入常數(shù)0

，使0

=8.8510-12C2/Nm2—真空介電常數(shù)(真空電容率)k=1407/22/202319C、庫侖定律僅適用于點電荷。（3）適用條件A、真空，去除其他電荷的影響而提出的，可以去掉；B、電荷靜止(或低速)：推廣到靜止源電荷對運動電荷的作用，但不能推廣到運動源電荷對靜止或運動電荷的作用。運動電荷的相互作用違反牛頓第三定律。牛頓第三定律適用于相互接觸的物體，對于不接觸的運動物體之間的相互作用，如果是瞬時無需媒質(zhì)的超距作用，牛三適用，否則失效。D、庫侖定律的適用范圍：10-13---109cm7/22/202320試求氫原子中原子核與電子之間的萬有引力與庫侖力的比解：氫原子核與電子之間的庫侖力和萬有引力為:結(jié)論:萬有引力遠小于庫侖力。所以，一般在考慮庫侖力時，如無必要，不考慮萬有引力。例題7/22/202321空間上有多個點電荷時,作用在某個點電荷的總靜電力等于其他各點電荷單獨存在時對該點電荷所施靜電力的矢量和(即兩個點電荷之間的作用力并不因為第三個電荷的存在而有所改變）。設所受作用力如圖:疊加原理三、靜電力的疊加原理7/22/2023221.點電荷之間靜電力的計算點電荷q0

受到其他N個點電荷的靜電力:四、帶電體之間靜電力的計算7/22/202323例題:

如圖，在等腰直角三角形的頂點各有一個點電荷q,求：頂點C處點電荷所受的庫侖力aaC⊕⊕⊕7/22/2023242.點電荷q0與帶電體Q之間靜電力的計算思路利用定積分的思想,結(jié)合庫侖定律和靜電力的疊加原理分析.步驟將帶電體Q無限細分,取點電荷計算q0

給予點電荷dq

的靜電力利用靜電力的疊加原理,計算q給予所有點電荷dq的靜電力7/22/202325練習如圖:計算一個長度給定的均勻帶電直線同其延長線上一個點電荷之間的靜電力Q,L⊕q0b7/22/202326總結(jié)本節(jié)課重點為點電荷的物理模型點電荷之間的庫侖定律帶電體之間電場力的計算7/22/202327歷史上的三種觀點問題的提出：庫侖定律給出了真空中點電荷之間的相互作用的定量關系，然而這作用是通過什么途徑來傳遞的呢？電荷電荷(b)近距作用(電力和磁力是通過一種充滿在空間的彈性媒質(zhì)-----“以太”來傳遞的。一、電場§7.2電場電場強度(a)超距作用（電荷之間的相互作用不需要時間，不需要介質(zhì)）7/22/202328

(c)場實驗證明，超距作用是錯誤的（電力和磁力的傳遞雖然速度很快，但并非不需要時間。①在發(fā)射電磁波的天線中加速運動著的電子對遠處接收天線中電子的作用是通過其間的電磁場以有限的速率傳遞的。②在電容器火花放電時，即使電荷和電流已經(jīng)消失，仍然有電磁場以波的形式繼續(xù)存在和傳播。近距作用的觀點也是錯誤的，“彈性以太并不存在”。場的觀點：（1832年法拉第）彌漫在電荷周圍并對處于其中的另一電荷有作用力。

電荷電場電荷電荷以太電荷7/22/202329A、場是一種特殊物質(zhì)。1、電場的性質(zhì)：①電場與實物的異點：實物是由原子、分子組成，看得見，摸得著，場物則不同；場物有空間可入性，且互不發(fā)生影響,實物則沒有；實物的密度很大，而場物的密度很??；實物的運動速度不能達到光速，而場物一般以光速運動。7/22/202330場跟實物一樣，也有質(zhì)量能量、動量和角動量場物也遵從質(zhì)量守恒，動量守恒，角動量守恒②電場與實物的相似點場物跟實物一樣，在存在形式上也具有多樣性電磁場的場量子是光子，電磁場是通過交換光子來實現(xiàn)帶電粒子間動量和能量的傳遞。7/22/202331B、電場的基本特性①力的性質(zhì)：對處于電場中的其他帶電體有作用力；-----電場強度E；②能量的性質(zhì)：在電場中移動其他帶電體時，電場力要對它作功。-----電勢u

。7/22/2023322.靜電場當一個電荷處于另一個電荷的靜電場中時，就受到這個靜電場的作用力,叫做靜電場力分布在靜止電荷周圍的場叫做靜電場，這個靜止電荷就叫做靜電場的場源電荷。7/22/202333電場的基本屬性是對處在電場中的電荷施加作用力,所以可以從力的角度描述電場。引入目的:檢驗空間某點是否存在電場要求：線度應小到可視為點電荷二電場的定量描述:電場強度1、試驗電荷電量應足夠小，使得由于它的引入不致引起原有電量的重新分布，因而將不會引起原來電場的變化7/22/202334理論和實踐表明：將試探電荷放在電場中不同點，它受的力一般不同，說明帶電體周圍不同點，電場的強弱和方向一般也不相同。2、試驗電荷所受靜電力的試驗結(jié)果試驗發(fā)現(xiàn)，將加倍。則受的電場力也增加為相同的倍數(shù)，即實驗電荷：

3…n

受力：23…n

7/22/202335定義：單位：牛頓/庫侖（N/C）說明是描述靜電場固有性質(zhì)的物理量

,定義為電場強度q0只是使場顯露出來，即使無

q0也存在大?。簡挝徽姾墒芰Υ笮挝唬篘/C、V/m方向：正電荷受電場力的方向7/22/202336意義：場中某點的電場強度既與試驗電荷電量無關，也與試探電荷受力無關。完全取決于場源電荷和場點,即決定于電場本身。對某點而言的，是矢量，電場分類：勻強電場，非勻強電場對變化的電場，7/22/202337在直角坐標系下：7/22/2023381、點電荷的電場強度的計算:要求點電荷在A處產(chǎn)生的場強，假設A處有試驗電荷，受力點電荷的場呈球?qū)ΨQ性。三、電場強度的計算7/22/202339場強疊加原理

試驗電荷放在點電荷系所產(chǎn)生電場中的A點，根據(jù)力的疊加原理，在A處受的電場力是各個點電荷各自對作用力的矢量和。2、帶電體是點電荷系7/22/202340場強在坐標軸上的投影上式表明，點電荷系電場中任一點處的總場強等于各個點電荷單獨存在時在該點產(chǎn)生的場強矢量和，這稱為場強疊加原理。

7/22/202341例1求電偶極子中A、B兩點的場強1、電偶極子：理想模型，兩個電量相等、電性相反的點電荷組成，兩者間的距離比他們到場點的距離小得多。2、極軸：從-q到+q的矢徑

3、電偶極矩電偶極子是一個重要的理想模型，在研究電介質(zhì)的極化、電磁波的發(fā)射等問題時都要用到這個模型。7/22/202342解：A點設+q和-q

的場強分別為和7/22/2023437/22/202344對B點：Q從場源指向場點的單位矢量3.

電荷連續(xù)分布的帶電體的場強7/22/202346利用以上各式，原則上可計算任意分布電荷的場強，但在電荷分布比較復雜的情況下，往往遇到許多難以解決的積分問題。引入電荷密度的概念7/22/202347矢量積分化成標量積分7/22/202348例2

求一均勻帶電直線在O點的電場。已知：q、a、1、2、。解題步驟1.

選電荷元5.選擇積分變量4.建立坐標，將投影到坐標軸上2.確定的方向3.確定的大小選θ作為積分變量7/22/202350

7/22/202351當直線長度無限長均勻帶電直線的場強當方向垂直帶電導體向外，當方向垂直帶電導體向里。討論7/22/202352課堂練習求均勻帶電細桿延長線上一點的場強。已知q,L,a例3求一均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點x處的電場。已知：q、a、x。yzxxpadqr7/22/202354當dq位置發(fā)生變化時，它所激發(fā)的電場矢量構(gòu)成了一個圓錐面。由對稱性a.yzxdq7/22/202355yzxxpadqr7/22/202356討論（1）當?shù)姆较蜓豿軸正向當?shù)姆较蜓豿軸負向（2）當x=0,即在圓環(huán)中心處，當x

7/22/202357（3）當時，這時可以把帶電圓環(huán)看作一個點電荷這正反映了點電荷概念的相對性7/22/2023581.求均勻帶電半圓環(huán)圓心處的，已知R、電荷元dq產(chǎn)生的場根據(jù)對稱性課堂練習：7/22/202359取電荷元dq則由對稱性方向：沿Y軸負向2.求均勻帶電一細圓弧圓心處的場強，已知

,,R7/22/202360例4

求均勻帶電圓盤軸線上任一點的電場。已知：q、R、x求：Ep解：細圓環(huán)所帶電量為由上題結(jié)論知：RrPx7/22/202361討論1.當R>>x（無限大均勻帶電平面的場強）7/22/2023622.當R<<x7/22/202363例5．兩塊無限大均勻帶電平面，已知電荷面密度為，計算場強分布。兩板之間：兩板之外：E=0解：由場強疊加原理7/22/202364小結(jié)：在已知帶電系統(tǒng)的電荷分布時，根據(jù)電場強度的定義，應用疊加原理求電場中任一點p的電場強度的方法和步驟是：根據(jù)給定的電荷分布，恰當?shù)剡x擇電荷元和坐標系；應用點電荷電場強度的計算式，在選定的坐標系中寫出某一電荷元dq在p點的電場強度dE；再應用電場強度的疊加原理把每個電荷元產(chǎn)生的電場強度矢量相加或矢量積分，即可得到給定點的電場強度。7/22/202365（2）要熟悉在各種不同坐標系中，線元、面積元和體積元的表示方法；（3）有些問題我們可以在已有的計算基礎上，應用疊加原理直接進行計算。如用帶電圓環(huán)產(chǎn)生電場分布的結(jié)果直接疊加求出帶電圓盤的電場分布等。（1）要把dE向各個坐標軸上投影，化矢量相加或矢量積分為標量相加或標量積分，同時，還要重視對稱性的分析，這樣可以省去一些不必要的計算。注意：7/22/202366六．帶電體在外電場中所受的力課堂討論：如圖已知q、d、Sd求兩板間的所用力7/22/202367利用場強的疊加原理計算場強很復雜，高斯定理將為我們提供一種較簡單的計算場強的方法，在解決具有某些對稱性的問題時很方便?！?.3電通量高斯定理7/22/202368在電場中畫一組曲線，曲線上每一點的切線方向與該點的電場方向一致，這一組曲線稱為電力線。一、電力線----電場的定性描述電力線不僅可以描述電場中場強的方向分布的情況，而且可以表示出各點場強的大小分布情況。1、電力線密度7/22/202369在電場中任一點取一小面積元dS，與該點的場強方向垂直，設通過無限小面元dS的電力線數(shù)目dN,dN與dS

的比值稱為電力線密度。我們規(guī)定電場中某點的場強的大小等于該點的電力線密度dS電力線稀疏的地方表示場強小，電力線稠密的地方表示場強大，即電力線的疏密可以反映場強的大小分布。7/22/202370大小：方向：切線方向=電力線密度總結(jié)：7/22/202371+++

任何兩條電場線不會在無電荷處相交。2、各種帶電體的電力線7/22/202372+一對等量異號電荷的電場線一對等量正點電荷的電場線++一對異號不等量點電荷的電力線2qq+帶電平行板電容器的電場+++++++++3、電力線的性質(zhì)（1）起于正電荷（或者來自于無窮遠），止于負電荷（或者伸向無窮遠），但不會在沒有電荷的地方中斷。（2）若帶電體系中正負電荷一樣多，則由正電荷出發(fā)的全部電場線都集中到負電荷上。（3）兩條電場線不會相交。（4）靜電場中的電場線不會形成閉合線。7/22/202377三、電通量通過電場中某一面積的電力線數(shù)稱為通過該面的電通量。用e表示。（1）S與電場強度方向垂直1、均勻電場中電通量的計算（2）S法線方向與電場強度方向成角7/22/202378（1）S為任意曲面2、非均勻電場電通量的計算7/22/202379規(guī)定：法線的正方向為指向閉合曲面的外側(cè)。（2）S為任意閉合曲面一個曲面有正、反兩面，與此對應，它的法線矢量也有正反兩種取法。對于單個面元或不閉合的曲面，法線矢量的正向取在朝哪一面，是無關緊要的。但閉合曲面把整個空間劃分成內(nèi)、外兩部分，指向曲面外部空間的叫外法線矢量，指向內(nèi)部空間的叫內(nèi)法線矢量。7/22/202380解：（1）例：在均勻電場中，通過平面的電通量是多少？在垂直于的平面上的投影是多少?7/22/202381（2）7/22/202382求均勻電場中一半球面的電通量。課堂練習7/22/202383K.F.Gauss——德國物理學家、數(shù)學家、天文學家

真空中的靜電場內(nèi)，通過任意封閉曲面的電通量等于曲面內(nèi)所包圍的電荷電量的代數(shù)和除以真空介電常數(shù)。與閉合面外的電荷無關。四、高斯定理（指出了在靜電場中，穿過任一閉合曲面s的電通量與該閉合曲面內(nèi)包圍的電量之間在量值上的關系）1、文字表述7/22/2023842、數(shù)學表達式7/22/202385求通過閉合曲面的電通量：（4）若閉合曲面內(nèi)不只包括一個點電荷（2）若＋q不在閉合球面的中心（3）若包圍＋q的不是球面，而是任意閉合曲面（5）若＋q不在閉合曲面內(nèi)，且閉合曲面內(nèi)沒有其它帶電體（1）穿過以＋q為中心，半徑為R的球面的電通量3、高斯定理的“證明”“證明”思路（特殊-----一般）如下：7/22/202386(1)場源電荷為點電荷且在閉合球面中心r+q與球面半徑無關，即以點電荷q為中心的任一球面，不論半徑大小如何，通過球面的電通量都相等。7/22/202387討論：電量為q的正電荷有q/0條電力線由它發(fā)出伸向無窮遠電量為q的負電荷有q/0條電力線終止于它7/22/202388（2）若＋q不在閉合球面的中心+q若q不位于球面中心，積分值不變。7/22/202389（3）若包圍＋q的不是球面，而是任意閉合曲面+q7/22/202390（4）場源電荷為點電荷系(或電荷連續(xù)分布的帶電體)，高斯面為任意閉合曲面7/22/202391（5）

場源電荷為點電荷，但在閉合曲面外。+q因為有幾條電力線進面內(nèi)必然有同樣數(shù)目的電力線從面內(nèi)出來。7/22/202392(1)S：閉合曲面，稱為高斯面，高斯面可由我們?nèi)芜x。沿此高斯面的積分4、物理意義由空間所有電荷激發(fā)的電場強度，是有向面元，大小ds,方向為曲面的法向，概括了面元的面積和空間取向。是指S內(nèi)所有電荷的代數(shù)和，與高斯面以外的電荷無關。7/22/202393>0時，不能說S內(nèi)只有正電荷=0時，不能說S內(nèi)無電荷（3）<0時，不能說S內(nèi)只有負電荷注意：這些都是S內(nèi)電荷代數(shù)和的結(jié)果和表現(xiàn)。高斯定理表明，通過閉合曲面的電通量只與閉合面內(nèi)的自由電荷代數(shù)和有關，而與閉合曲面外的電荷無關。

7/22/202394（4）說明每一個電量為q的正電荷發(fā)出條電場線，每一個電量為q的負電荷會會聚電場線，空間其它電荷的存在雖然要改變q的電力線的分布情況，但不能改變q發(fā)出或吸收電力線的總條數(shù)。表明靜電場的電力線是有頭有尾的，正點荷是電場線的源頭，負電荷是電場線匯集并被吸收的尾閭。高斯定理指出了靜電場為有源場的特性。（5）高斯定理是由庫侖定律導出來的。高斯定理反映了庫侖定律的平方反比關系，如庫侖定律無此關系則得不到高斯定理。7/22/202395（6）高斯定理比庫侖定律適用范圍更廣泛。后者只適用于真空中的靜電場，而前者適用于靜電場和隨時間變化的場，高斯定理是電磁理論的基本方程之一。（7）高斯定理對靜電場的描述是不完備的，高斯定理是靜電場的兩個基本定理之一，另一個是環(huán)路定理。兩個定理各自反映靜電場性質(zhì)的一個側(cè)面。二者結(jié)合，才能完整地描述靜電場。7/22/2023965、高斯定理的應用（1）

利用高斯定理求某些電通量例：設均勻電場和半徑R為的半球面的軸平行，計算通過半球面的電通量。7/22/202397當場源分布具有高度對稱性時求場強分布(2)高斯定理反映的是電通量與電荷的關系，而不是場強與電荷的直接聯(lián)系。要通過電通量計算場強，就需要在高斯定理表達式中，將場強從積分號中提出來，這就導致要求電場的分布具有某種特殊的對稱性。為什么？7/22/202398

電場分布軸對稱(a)幾類對稱性：電場分布球?qū)ΨQ電場分布面對稱7/22/202399例1

求電量為Q、半徑為R的均勻帶電球面的場強分布。①電荷分布球?qū)ΨQ如：均勻帶電球面或者球體RPO(b)高斯定理的應用舉例7/22/2023100ａ：對稱性分析：對任意給定的場點P，整個球面可以看成為以OP為軸的無數(shù)個同軸圓環(huán)做的，每個圓環(huán)在其軸線上的場強沿著軸線的方向整個球面在P點產(chǎn)生的場強是無數(shù)個圓環(huán)產(chǎn)生的場強在P點的疊加，正電荷沿著徑向向外，負電荷反之可以設想，凡是距離O點為ｒ的各點場強的大小都相等。RPO7/22/2023101RPO球?qū)ΨQ分布：在任何與均勻帶電球殼同心的球面上各點的場強大小都相等，方向沿著半徑方向呈輻射狀。即：均勻帶電球面的電場分布呈球?qū)ΨQ分布。7/22/2023102ｂ、選取合適的高斯面①場點必須在高斯面上。建立高斯面的原則：②高斯面上各個部分場強要么大小相等，要么與面上場強平行或垂直。場強分布的球?qū)ΨQ性，因此，高斯面應該是過場點的同心球面。7/22/2023103電通量電量用高斯定理求解R++++++++++++++++qr7/22/2023104R+++++++++++++++rq7/22/20231057/22/2023106兩個同心帶電球殼，半徑為R1和R２，電量分別為Q1和Q2,

填空：R1，Q1R２，Q2擴展：7/22/2023107距離球心r處任意點的場強，只由半徑小于r處的球殼所帶電量決定其場強相當于將這些球殼上的電量、置于球心處所產(chǎn)生的場強，而與半徑大于r處的球殼所帶電量無關分析高斯面內(nèi)的靜電荷時，要注意有時要分區(qū)間討論結(jié)論：7/22/2023108解：r<R例2.

均勻帶電球體的電場。已知q,RRqr高斯面均勻帶電球體可看作無數(shù)多個同心帶電球面組成。1、場強分布具有球?qū)ΨQ性。2、高斯面應該是過場點的同心球面。3、應用高斯定理解題。7/22/2023109場強r>R電通量電量7/22/2023110Rr高斯面高斯定理場強7/22/2023111均勻帶電球體電場強度分布曲線εROOrER7/22/2023112總結(jié)：高斯定理的解題步驟：（3）根據(jù)對稱性，選擇適當?shù)淖鴺讼?，應用高斯定理求解?）定性分析帶電體系激發(fā)的電場分布情況（2）選取合適的高斯面：（4）對某些對稱分布帶電體的簡單組合，可以對各帶電體分別使用高斯定理，再用場強的疊加原理求解合場強場點必須在高斯面上。高斯面上各個部份場強要么大小相等，要么與面上場強平行或垂直。7/22/2023113討論雖然高斯積分為曲面積分，但是由于電場分布的特點我們并沒有真正計算這個高斯積分，而是通過數(shù)學分析直接得到結(jié)果。高斯面若選取不當，我們就不能處理高斯積分，即不可能計算出場強，但是高斯定理仍然成立。均勻帶電球面的面外、球體的球外一點的場強相當于把所有電荷集中在球心的一個點電荷所產(chǎn)生的電場；均勻帶電球面的面內(nèi)任意點場強處處為零；7/22/2023114例題1：求：電荷線密度為的無限長帶電直線的場強分布。無線長的物理含義：指ｒ與帶電直線的線度L相比非常小，看不到線段的邊。無線長均勻帶電細直線無線長圓柱體無線長柱面及其同軸組合②帶電體電荷分布呈軸對稱分布7/22/20231151.分析對稱性：POａ：無限長意味著直導線上任意一點都可看作直導線的中點，因此，直導線可看作由無數(shù)多對關于OP對稱的小微元組成，故電場強度的方向必在對稱軸上。ｂ：凡是和P點一樣，距離為ｒ的各點和P點相比，沒有任何特殊性，故場強相同的各點在空間構(gòu)成一個圓柱面。7/22/2023116凡是與軸線距離相等的各點上場強的大小都相等，方向沿著軸的矢徑成輻射狀。軸對稱的含義：7/22/20231172.選擇高斯面——同軸柱面r上下底面?zhèn)让?，且同一柱面上E大小相等。3.按照高斯定理解題7/22/20231187/22/2023119無限長均勻帶電直線的場強當方向垂直帶電導體向外當方向垂直帶電導體向里7/22/2023120解：場具有軸對稱高斯面：同軸圓柱面例2.均勻帶電無限長圓柱面的電場。沿軸線方向單位長度帶電量為(1)r<R高斯面lr7/22/2023121(2)r>R高斯面lr若題目告訴的是面密度：7/22/2023122課堂練習：求均勻帶電無限長圓柱體的場強分布，已知R，7/22/2023123無限長均勻帶電圓柱面面外、無限長均勻帶電圓柱體體外一點的電場強度相當于把所有電荷集中在軸線上的一個無限長帶電直線所產(chǎn)生的電場結(jié)論：7/22/2023124例如：均勻帶電無限大平面或平板、若干個無限大均勻帶電平行平面++++++++++③帶電體電荷分布呈平面對稱分布求：電荷面密度為

的無限大均勻帶電平面的場強分布。解：a.對稱性分析：回顧帶電圓盤例題的結(jié)論或者面由線組成分析。b.選擇高斯面——與平面正交對稱的柱面7/22/2023125側(cè)面底面且

大小相等；++++++++++7/22/2023126當場源是幾個具有對稱性的帶電體時，可用高斯定理分別求各帶電體單獨存在時的場強，再作矢量疊加。擴展7/22/2023127求：電荷面密度分別為1

、2兩個平行放置的無限大均勻帶電平面的場強分布。ABC++++++++++++++++++++++++解：7/22/2023128當1=-2此即帶電平板電容器間的場強此即以后的平行板電容器模型。一對等量異號電荷的無限大平面，他們的電場只集中在兩個平板之間，在平板外側(cè)無電場。結(jié)論：7/22/2023129如果高斯面內(nèi)無電荷，則高斯面上場強處處為０如果高斯面上場強處處不為０，則高斯面內(nèi)必有電荷如果高斯面內(nèi)有電荷，則高斯面上場強處處不為０判斷正誤：7/22/2023130§7.4靜電場的環(huán)路定理電勢能一、靜電力的功1、恒力的功abS單位：J焦耳2、變力的功ba微分形式：7/22/2023131原點O電場力作功A1–2=？試驗電荷Q0從P1P2

沿任意路徑

P1Q0QP23.靜電場力作功的特點A)場源電荷是單個點電荷點電荷的電場強度為：7/22/2023132Q單個點電荷靜電場力做功的特點：只與始末位置有關，與路徑無關。7/22/2023133B）場源電荷是點電荷系的情況：根據(jù)電場強度疊加原理，任意帶電體在某點產(chǎn)生的電場強度，等于各點電荷單獨在該點產(chǎn)生的電場強度的矢量和。實驗電荷q0在電場中從a點沿某一路徑L移動到b點時靜電場力作的功為：7/22/2023134每個點電荷的靜電場力作功與移動實驗電荷的具體路徑無關,所以，整個點電荷系的電場做功與路徑無關，僅與運動電荷的始末位置有關。7/22/2023135C）、場源是連續(xù)帶電體情況對連續(xù)帶電體，可看成是很多個點電荷組成的點電荷系，所以2中結(jié)論仍成立。結(jié)論：任意帶電體的靜電場力做功與路徑無關。故靜電場力是保守力。7/22/2023136abQ0L1L2故：證明如下：7/22/2023137物理意義：一個試探電荷在靜電場中沿任意路徑運動一周時，靜電力對它所做的功為零1、靜電力為保守力。2、物理意義：一個單位試探電荷在靜電場中沿任意路徑運動一周時，靜電力對它所做的功為零

所有的靜電場都是保守場保守場：對任意閉合路徑的環(huán)量為0的矢量場。討論：7/22/2023138物理意義：靜電場的電場線不可能是閉合的（可證明），靜電場是保守場，或者說靜電場是無旋場。環(huán)量描述了場的某一方面的特性，這種特性可以比擬為“旋”，來源于旋轉(zhuǎn)體的速度場環(huán)量不為0二、靜電場的環(huán)路定理：7/22/2023139反證法：先假設電力線是閉合線，這樣就可取這閉合線為積分環(huán)路，這時7/22/2023140由于電場力為保守力，若把電荷和靜電場組成一個系統(tǒng)，則電場力為內(nèi)力，稱為保守內(nèi)力。保守力作功與路徑無關，只取決于系統(tǒng)的始末位置。存在由位置決定的函數(shù)W——勢能函數(shù)三、電勢能電勢1、電勢能W由于此勢能函數(shù)存在于靜電場中，故稱為電勢能w。電勢能既不是電荷所獨有，也不是靜電場所獨有。而是電場和電荷所組成的系統(tǒng)共有。7/22/2023141保守力作功以損失勢能為代價。保守力的功等于勢能增量的負值。電場力所做的功等于電勢能增量的負值。WａWb7/22/2023142把試探電荷從ａ（電勢能wa）沿著任意路徑移到ｂ（電勢能wb），電勢能的改變?yōu)椋弘妱菽艿母淖兊扔诎言囂诫姾裳刂我饴窂綇模狳c移到ｂ點電場力所做的功。ａb物理意義：7/22/2023143某一帶電體在空間激發(fā)電場，要確定電荷在某一點電勢能的值，必須選定電勢能的零參考點；若選ｂ為勢能零參考點：物理意義：

點電荷在場點ａ的電勢能等于將從ａ點移到勢能零點過程中電場力所做的功。注意：電勢能類似于重力勢能，是屬于系統(tǒng)的，即為相互作用的帶電體系共有。某一點的電勢能：7/22/2023144電勢能零點的選?。弘妱菽芰銋⒖键c的選取是可以任意的，在實際應用中，視研究問題的性質(zhì)和方便，如果帶電體局限在有限大小的空間里，通常選擇無窮遠點或地球為電勢能的零參考點。7/22/2023145（1）電勢能與靜電場本身的性質(zhì)有關，還與引入的試探電荷大小和電性有關。（2）如果要描述電場本身的性質(zhì)，電勢能顯然是不合適的。討論：7/22/2023146

§7.5電勢電勢差一、電勢電勢能不僅與靜電場有關，還與引入的試探電荷大小和電性有關，但僅與位置a有關，而與無關，它如同一樣，反映的是電場本身的性質(zhì)，該物理量稱為電勢，記做u7/22/20231472、單位：V（伏特）它表示單位正點電荷放在a點所具有的電勢能；1、定義：單位正電荷從該點到無窮遠點(電勢零)電場力所作的功7/22/20231483、靜電場中任意兩點的電勢差ａb

a、b兩點的電勢差等于將單位正電荷從a點移到b時，電場力所做的功。一個常用的公式7/22/2023149（1）在靜電場中，a，b兩點之間的電勢差等于把單位正電荷從a點沿著任意路徑移到b點電場力所做的功。（2）計算電勢差時，不論選擇哪個點為電勢零點，其電勢差都是一樣的，故計算電勢差時不需要選擇電勢零點。（3）從電勢差的角度理解，電勢是一個相對的概念。靜電場中任一點的電勢都是相對于電勢零點的電勢差。（4）場強反映的是電場中某點電場力的性質(zhì)，電勢反映的是電場中電場能量的性質(zhì)討論：7/22/20231501、求點電荷中電場的電勢·P解：已知設無限遠處為0電勢，則電場中距離點電荷為r

的P點處電勢為點電荷電場的電勢分布0U+二、電勢的計算：7/22/20231510U（1）點電荷周圍空間任一點的電勢（2）若場源電荷Q>0，則空間各點電勢U>0，離點電荷越遠電勢越低，在無窮遠處電勢為零，最小值（3）若場源電荷Q<0，則空間各點電勢U<0，離點電荷越遠電勢越高，在無窮遠處電勢為零，最大值討論：7/22/2023152點電荷系UP

=？根據(jù)定義分立的點電荷系2、點電荷系電場中的電勢P7/22/2023153物理意義：點電荷系周圍空間任一點的電勢等于各點電勢單獨存在時在該點產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和。（這一點和場強的計算不同，場強的疊加是矢量疊加。）電勢的疊加原理7/22/2023154由點電荷元激發(fā)的電勢QP3、電荷連續(xù)分布的帶電體的電勢由電勢的疊加原理，整個帶電體在p點激發(fā)的電勢為：7/22/2023155dQ的求法：連續(xù)分布的帶電體系7/22/2023156（1）根據(jù)已知的電荷分布，由電勢的定義和電勢的疊加原理來計算；計算電場中各點的電勢，可以通過兩種途徑：思路如下：點電荷電勢：點電荷系的電勢：連續(xù)帶電體的電勢：7/22/2023157（2）根據(jù)已知的電場強度的分布，由電勢與電場強度的積分關系來計算。電場具有對稱分布時使用方便根據(jù)定義1、解決場強的分布問題（這在高斯定理中已經(jīng)解決）2、選擇積分路徑（關鍵）既然積分路徑是任意的，為方便積分，常常選擇場強同電場線的夾角為特殊角。所以一般情況下，沿著或逆著電場線3、注意電勢零點的選擇問題7/22/2023158例1、求電偶極子電場中任一點P的電勢由疊加原理其中7/22/2023159（1）電偶極子在遠處的性質(zhì)由其電偶極矩來表征（2）在電偶極子連線的中垂面上：U=0等勢面（3）在電偶極子連線的中垂面上場強不等?？梢婋妱菹嗟忍幍膱鰪姴灰欢ㄏ嗟?。7/22/2023160電偶極子的等勢面+7/22/2023161②將③求該過程中電勢能的改變①求從電場力所作的功電勢能課堂練習：已知正方形頂點有四個等量的電點荷r=5cm到中心距離為取無窮遠電勢為07/22/2023162例2、求均勻帶電圓環(huán)軸線上的電勢分布。已知：R、q解:7/22/2023163x當x>>RX=0

Ux例題3、已知：總電量Q；半徑R。求：均勻帶電圓盤軸線上的電勢分布。取無窮遠處電勢為07/22/2023164例4、求均勻帶電球面電場中電勢的分布，已知R，q解:任一圓環(huán)由圖7/22/2023165比較：均勻帶電球面與非均勻帶電球面在球面內(nèi)空間的電勢（1）均勻帶電球面內(nèi)部為等勢體，內(nèi)部場強為0，外部電勢與距離r成反比，外部場強與距離平方成反比。U

討論：7/22/2023166練習：1.求等量異號的同心帶電球面的電勢差已知+q、-q、RA、RB解一:用定義法由電勢差