高一數(shù)學(xué)空間直線平面的垂直習(xí)題課

高一年級數(shù)學(xué)空間直線、平面的垂直習(xí)題課一、知識回顧1.異面直線所成角

已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線

∥a，

∥b，我們把直線

與

所成的角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）．2.線面所成角

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角．3.二面角及二面角的平面角從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．在二面角α-l-β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．4.空間中三種垂直線線垂直線面垂直面面垂直5.點(diǎn)到平面的距離過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點(diǎn)到該平面的距離．6.直線到平面的距離

一條直線與一個平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個平面的距離，叫做這條直線到這個平面的距離．7.平行平面間的距離如果兩個平面平行，那么其中一個平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個平行平面間的距離．8.直線與平面垂直的定義定義

一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α．線線垂直線面垂直定義9.直線與平面垂直的判定定理定理

如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直．線面垂直線線垂直判定10.直線與平面垂直的性質(zhì)定理定理

垂直于同一個平面的兩條直線平行．線線平行線面垂直性質(zhì)11.平面與平面垂直的判定定理定理

如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直．面面垂直線面垂直判定12.平面與平面垂直的性質(zhì)定理定理

兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直．線面垂直面面垂直性質(zhì)線線垂直線面垂直面面垂直判定定義判定性質(zhì)線線平行性質(zhì)垂直定義空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化結(jié)構(gòu)圖直二面角二、例題精講例

題選擇題（1）若空間中四條不同的直線l1，l2，l3，l4滿足l1⊥l2，

l2⊥l3，l3⊥l4，則下面結(jié)論正確的是（）．（A）l1⊥l4

（B）l1∥l4（C）l1，l4既不垂直也不平行（D）l1，l4的位置關(guān)系不確定D異面直線垂直定義線線垂直線面垂直定義l4可以是平面CC1D1D內(nèi)的任意一條直線本題小結(jié)通過此題的分析，我們可以深切地體會到，高中所學(xué)習(xí)的立體幾何知識，可以拓寬我們的視野，增加我們對幾何認(rèn)知的維度，提升我們空間想象能力．（2）已知α，β是兩個不同的平面，m為平面α內(nèi)的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的（）．（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件B線面垂直面面垂直判定性質(zhì)本題小結(jié)

通過這個題目，我們可以感受到定理之間密切的聯(lián)系，所以對于解決此類空間垂直問題，充分理解并掌握定理是至關(guān)重要的．分析：思路一：異面直線所成角例

題如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P，Q分別為棱AD，CC1的中點(diǎn)．求證A1P⊥BQ．線線垂直線面垂直定義A1P垂直BQ所在平面？BQ垂直A1P所在平面？思路二：解析答案證明：如圖，設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接B1E，易證A1P∥B1E，又知在正方形BCC1B1中B1E⊥BQ．所以A1P⊥BQ．（提示：Rt△B1BE≌Rt△BCQ）本題小結(jié)

本題考查我們對證明空間中兩直線垂直方法的理解與掌握．可供我們選擇的方法有兩種，一種是異面直線所成角的定義，一種是線面垂直的性質(zhì)定理，我們要選擇一個適合題目的方法進(jìn)行解答，這也要求我們不但要熟練掌握這些定理與方法，同時(shí)還要正確且迅速的做出選擇．線線垂直線面垂直判定分析：思路一：異面直線所成角思路二：例

題

如圖，在三棱錐P-ABC中，CD⊥AB，垂足為D，PO⊥底面ABC，垂足為O，且O在CD上，求證AB⊥PC．定義PO⊥底面ABCPO平面PCD要證需證CD⊥AB需證線線垂直線面垂直判定定義AB⊥PCAB垂直PC所在平面AB⊥平面PCDPC垂直AB所在平面PO⊥AB解析答案證明：∵PO⊥平面ABC，AB

平面ABC，∴PO⊥AB．又

CD⊥AB，PO∩CD=O，

PO平面PDC，CD

平面PDC，∴AB⊥平面PDC．又

PC

平面PDC，∴

AB⊥PC．本題小結(jié)

本題雖然和上一道例題都是證明線線垂直的問題，但是方法上有所不同，相比較異面直線所成角的方法，通過線線垂直與線面垂直之間的聯(lián)系解決本題更為恰當(dāng)，我們采取了從問題出發(fā)的方式，也就是分析法，分析法對于證明題的分析非常地有針對性．在我們以后解決問題時(shí)，也可以多多使用．

在整個分析過程中，我們發(fā)現(xiàn)有一些條件是直接能給我們一些啟發(fā)的，方便進(jìn)行方法上的選擇，有一些條件則需要我們進(jìn)一步挖掘它所產(chǎn)生的結(jié)論，給我們的證明過程提供充足的條件，所以我們在解題時(shí)，一定要果斷決策，多看條件，逐步分析，串聯(lián)過程．本題小結(jié)例

題如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：（1）B1D⊥平面A1BC1；（2）B1D與平面A1BC1的交點(diǎn)H是△A1BC1的重心．例

題

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：（1）B1D⊥平面A1BC1；線線垂直線面垂直判定定義面面垂直判定性質(zhì)B1D⊥平面A1BC1要證需證B1D⊥A1C1？B1D⊥A1B？B1D⊥BC1？需證A1C1垂直B1D所在的平面分析：異面直線所成角垂直需證解析答案證明：（1）方法一：連接B1D1，則B1D1⊥A1C1，又

DD1⊥平面A1B1C1D1，∴DD1⊥A1C1．∴

A1C1⊥平面D1DB1．∴A1C1⊥B1D．解析答案同理可證B1D⊥A1B，∴B1D⊥平面A1BC1．證明：（1）方法二：連接B1D1交A1C1于點(diǎn)O，取DD1中點(diǎn)E，連接EO，EC1，設(shè)正方體棱長為a．∵點(diǎn)O、點(diǎn)E分別是線段B1D1、線段DD1的中點(diǎn)，∴OE是△B1DD1的中位線，解析答案∴OE∥B1D，∴∠EOC1為B1D與A1C1所成角．∵

正方體棱長為a，∴OE=

，OC1=

，EC1=

．∴OE2+OC12=EC12．∴EO⊥OC1．解析答案解析答案故A1C1⊥B1D．同理可證B1D⊥A1B，∴B1D⊥平面A1BC1．例

題

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：（2）B1D與平面A1BC1的交點(diǎn)H是△A1BC1的重心．△A1BC1為等邊三角形重心、垂心、、內(nèi)心正方體ABCD-A1B1C1D1B1-A1BC1為正三棱錐外心分析：證明：（2）連接A1H，BH，C1H．∵A1B1=BB1=C1B1，∴A1H=BH=C1H．∴點(diǎn)H為△A1BC1的外心．又

△A1BC1為正三角形，∴H是△A1BC1的重心．解析答案本題小結(jié)

本題考查我們對于空間垂直定理的理解與掌握，以及利用立體幾何解決平面幾何問題的能力，本題在分析求解的過程中，利用分析法，從問題出發(fā)，需要不斷地結(jié)合已知條件將所求問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，提升了我們的轉(zhuǎn)化思維．第（1）問，線面垂直問題是連接線線垂直與面面垂直的重要橋梁，需要我們轉(zhuǎn)化為線線垂直與面面垂直問題．本題小結(jié)

第（2）問結(jié)合已知條件把重心轉(zhuǎn)化為外心，使問題得到解決，所以對于很多題目，轉(zhuǎn)化思維是必不可少的，我們一定要細(xì)致地分析，并進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，之后遇到類似的問題也就能迎刃而解了．例題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD是正三角形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中點(diǎn)．（1）求證：AM⊥平面PCD；（2）求側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值．例題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD是正三角形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中點(diǎn)．（1）求證：AM⊥平面PCD；線線垂直線面垂直面面垂直判定定義判定性質(zhì)側(cè)面PAD⊥底面ABCDAM⊥PD底面ABCD為正方形CD⊥平面PADAM⊥CD分析：解析答案證明：（1）∵底面ABCD為正方形，∴CD⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，∴CD⊥平面PAD．∵AM

平面PAD，∴CD⊥AM．∵側(cè)面PAD是正三角形，且M是PD

的中點(diǎn)，∴AM⊥PD．∵CD

平面PCD， PD

平面PCD，CD∩PD=D，∴AM⊥平面PCD．解析答案例

題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PAD是正三角形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，M是PD的中點(diǎn)．（2）求側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值．分析：欲求二面角，重點(diǎn)是轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．Rt△PAB≌Rt△PDCPB=PC取BC中點(diǎn)N取AD中點(diǎn)O∠PNO∠PNO側(cè)面PAD⊥底面ABCD取AD中點(diǎn)OPO⊥底面ABCDBC⊥PO取BC中點(diǎn)NON⊥BCBC⊥平面PONBC⊥PN思路一：思路二：解析答案解：（2）設(shè)AB=a，取AD中點(diǎn)O，BC

中點(diǎn)N，連接PN，NO，OP．

∵底面ABCD為正方形，點(diǎn)O，N分

別為AD，BC的中點(diǎn)，∴ON⊥AD，ON⊥BC

且ON=AB=CD=a．∵側(cè)面PAD是正三角形，

∴PO⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD．又

BC

平面ABCD，ON

平面ABCD，∴PO⊥BC，PO⊥ON．解析答案∵PO平面PON，ON平面PON，

PO∩ON=O，ON⊥BC，PO⊥BC，∴BC⊥平面PON．又

PN

平面PON，∴BC⊥PN．故

∠PNO是所求二面角的平面角．∵

PO⊥ON，解析答案解析答案∴

△PON為直角三角形．

∵PO=，ON=a，PO2+ON2=PN2．∴

PN=．∴cos∠PNO=．解析答案故側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角

的余弦值為．本題小結(jié)

對于立體幾何的綜合題目，切勿“埋頭苦做”，多多“抬頭看題”，解題思路也許有很多種，但我們還是要看看哪些條件在我們抉擇時(shí)能給我們一定的啟發(fā)，幫助我們選擇最適合的方法．在垂直這部分知識中，線線垂直、線面垂直、面面垂直相互關(guān)聯(lián)，我們要盡可能的去挖掘題目中的垂直條件，幫助我們利用這些定理來轉(zhuǎn)化問題，解決問題．例題如圖，在三棱錐P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；（2）若AC=BC=PA，M是PB的中點(diǎn)，求AM與平面PBC所成角的正切值．例題如圖，在三棱錐P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；分析：PA⊥底面ABC線線垂直線面垂直面面垂直判定定義判定性質(zhì)BC⊥ACBC⊥PABC⊥平面PAC解析答案（1）證明：∵PA⊥平面ABC，BC

平面ABC，∴PA⊥BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．又

AC∩PA=A，AC平面PAC，PA平面PAC，∴BC⊥平面PAC．∵BC

平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．解析答案例

題

如圖，在三棱錐P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC．（2）若AC=BC=PA，M是PB的中點(diǎn)，求AM與平面PBC所成角的正切值．分析：要想作出線面所成角，需要具備哪些元素？垂線與射影平面PBC的垂線，AC=PA取PC中點(diǎn)D，連接AD，DM線面垂直面面垂直判定性質(zhì)∠AMD平面PAC⊥平面PBC

解析答案（2）解：設(shè)AC=BC=PA=2a，取PC中點(diǎn)D，連接AD，DM．∵PA=AC，D為PC中點(diǎn)，∴AD⊥PC．由（1）知，平面PAC⊥平面PBC，且平面PAC∩平面PBC=PC，∴AD⊥平面PBC．故

∠AMD是AM與平面PBC所成的角．∵PA⊥平面ABC，AC

平面ABC，∴PA⊥AC．∵AC=PA=2a，∴AD=a．∵點(diǎn)D，M分別是PC，PB的中點(diǎn)，∴DM是△PBC的中位線．∴DM=BC=a.解析答案∵AD⊥平面PBC，MD

平面PBC，∴AD⊥MD．∴

△ADM為直角三角形．∴tan∠AMD=

．故

AM與平面PBC所成角的正切值為．解析答案本題小結(jié)

本題考查了證明面面垂直以及求解線面所成角的問題．這樣的題目雖然很綜合，但我們在思考中，還是要回歸本源，回歸到定義，定理以及性質(zhì)上，再結(jié)合題目的已知條件，“順藤摸瓜”，明確題目的解題思路，準(zhǔn)確、快速解決問題．本節(jié)小結(jié)