第八章-曲線積分與曲面積分1-3課件

第八章曲線積分與曲面積分第八章曲線積分與曲面積分本章將積分的概念推廣到積分區(qū)域為一段曲線或一塊曲面的情形，從而得到曲線積分與曲面積分。與重積分類似，它們是定積分的某些特定和式的極限在另一范疇的深化和推廣。第八章曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分各分為兩類。它們都有鮮明的物理意義，要掌握好曲線積分與曲面積分的概念，其關(guān)鍵在于掌握好它們的物理意義。學(xué)習(xí)本章須弄懂基本概念，掌握性質(zhì)，熟練運(yùn)算。熟知兩類曲線積分與兩類曲面積分之間的聯(lián)系。特別要掌握第二類曲線積分及第二類曲面積分與重積分之間的關(guān)系，即格林公式、高斯公式、斯托克斯公式?！?.第一型曲線積分-概念和性質(zhì)第一型曲線積分的幾何意義---柱面的側(cè)面積以xy平面上曲線L為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面被曲面:z=z(x,y)所截，位于

與xy坐標(biāo)面之間的部分的面積為在L上取ds,則故有對弧長曲線積分的幾何意義zxy0L(x,y)dsz(x,y)第一型曲線積分的物理意義---曲線L的質(zhì)量=LR2,f(X)=f(x,y),(x,y)L,d=ds對弧長的曲線積分因為ds>0.所以對弧長的曲線積分與曲線的方向無關(guān)：DyxLAB命題:如果曲線段L在[,]上是光滑的，則說明：利用微元法，取典型小區(qū)間[t,t+dt],設(shè)M=((t),(t)),M=((t+dt),(t+dt))A=((),())B=((),())M=((t+dt),(t+dt))((t),(t))=Moxy??A=((),())B=((),())M=((t+dt),(t+dt))((t),(t))=Moxy??弧長微元ds為特例：若曲線段L由直角坐標(biāo)方程y=f(x),給出，可視x為參數(shù),得參數(shù)方程x=x,y=f(x),從而,弧長增加方向和x增加方向一致時,有又若曲線段L由直角坐標(biāo)方程給出,則當(dāng)弧長增加方向與y增加方向一致時,有還若曲線段L由極坐標(biāo)方程給出,則當(dāng)弧長增加的方向與增加方向一致時,有弧長計算表曲線段方程弧長s計算公式參數(shù)方程直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系極坐標(biāo)系2.第一型曲線積分的計算曲線由參數(shù)方程給出時xyzO曲線積分定積分(1)L：y=y(x),a≤x≤b假設(shè)y(x)C1([a,b]).有(a<b)

計算：(2)L：x=x(y),c≤y≤d假設(shè)x(y)C1([c,d]).有(c<d)曲線積分定積分(3)L：假設(shè)(t)，(t)

C1([α,β]).有(α<β

)曲線積分定積分x=(t)y=(t)(4)L：假設(shè)r(θ)C1([α,β]).有曲線積分定積分(α<β

)例1.計算其中L為y2=2x自點(0,0)到點(2,2)的一段弧.解1：0≤x≤2y2=2x022yx解2：0≤y≤2022yx例2.計算L:連接O(0,0),A(1,0),B(0,2)的閉折線OABO.解：L分段光滑ds=dxOA:y=0,0≤x≤1O2AByx1AB:y=22x,0≤x≤1BO:x=0,0≤y≤2ds=dy=2O2AByx1例3.計算其中L:x2+y2=a2.L:x=acost,y=asint,0≤t≤2(2)空間曲線的第一型曲線積分的計算例4.計算其中：從點A(3,2,1)到點O(0,0,0)的直線段.解：直線段AO方程：化成參數(shù)方程：x=3t,y=2t,z=t,0≤t≤1.注關(guān)于對弧長的曲線積分的對稱性①若L關(guān)于y軸對稱其中L1是L的關(guān)于y軸對稱的部分弧段②若L關(guān)于x軸對稱其中L2是L的關(guān)于x軸對稱的部分弧段③若L關(guān)于原點對稱其中L3是L的對稱的部分弧段④若L關(guān)于直線y=x對稱與重積分的對稱性十分類似例5解由對稱性,知yzx例4.求柱面x2+y2=ax含在球面x2+y2+z2=a2(a>0)內(nèi)部的那部分面積.解：A=4A10≤x≤azyxLzyxL例1.計算其中L為在第二象限的部分解一將L表示為解二將L表示為例1.計算其中L為在第二象限的部分解三將L表示為參數(shù)方程例1.計算其中L為在第二象限的部分例2解例3解例4解實例:

變力F沿曲線L所作的功常力F沿直線AB所作的功分割§2.第二型曲線積分（對坐標(biāo)軸的曲線積分）問題的提出求和取極限近似值精確值§2.第二型曲線積分1.第二型曲線積分的概念(2)空間曲線L的第二型曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分(3)第二型曲線積分的性質(zhì)2.第二型曲線積分的計算-(1)平面曲線L由參數(shù)方程給出對應(yīng)起點A對應(yīng)終點B(2)平面曲線L由y=g(x)給出(3)平面曲線L由x=h(y)給出曲線積分的基本算法是化為參數(shù)的定積分(4)空間曲線L由參數(shù)方程給出曲線積分的基本算法是化為參數(shù)的定積分例1計算其中L分別為圖中的路線:(i)AB(直線);(ii)ACB(拋物線(iii)ADBA(三角形)A(1,1)D(2,1)B(2,3)c解:(i)AB(直線)的方程為:y=2x-1ABx:12例1計算其中L分別為圖中的路線:(i)AB(直線);(ii)ACB(拋物線(iii)ADBA(三角形)A(1,1)D(2,1)B(2,3)c解:(ii)ACB的方程為:ABx:12原式例1計算其中L分別為圖中的路線:(i)AB(直線);(ii)ACB(拋物線(iii)ADBA(三角形)A(1,1)D(2,1)B(2,3)c解:(iii)例2計算其中：A(1,0),B(1,2)(i)沿拋物線y=2x2,從O到B的一段；(ii)沿直線y=2x從O到B的一段；(iii)沿封閉線路OABO。解:(i)(ii)(ii)例3計算其中L為圓心在原點半徑為r的圓周,取逆時針方向.解:L的參數(shù)方程為例3計算其中L是螺旋線從到一段.解:例2解B(1,1)A(1,0)y=x2x=y2oyx例1解B(1,1)A(1,0)y=x2x=y2oyx例4解A(1,0)B(0,1)C(-1,0)D(0,-1)3.第一型曲線積分與第二型曲線積分的聯(lián)系當(dāng)空間曲線L由參數(shù)方程給出dsdzdydxoyzxdsdzdydxoyzx§

3.格林公式平面第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件1.簡單閉曲線L2.若爾當(dāng)定理3.單連通區(qū)域/多連通區(qū)域(單連通區(qū)域)3.單連通區(qū)域/多連通區(qū)域(多連通區(qū)域)4.L+當(dāng)觀察者沿區(qū)域D的邊界曲線L行走時如果左手在區(qū)域D內(nèi)則行走方向是L的正向單連通區(qū)域4.L+多連通區(qū)域當(dāng)觀察者沿區(qū)域D的邊界曲線L行走時如果左手在區(qū)域D內(nèi)則行走方向是L的正向5.格林公式格林公式的證明：格林公式的證明：格林公式的證明：ABB’A’格林公式的證明：格林公式的證明：格林公式的證明：應(yīng)用格林公式的注意事項設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成函數(shù)P(x

y)及Q(x

y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則有其中L是D的取正向的邊界曲線——格林公式應(yīng)注意的問題:

對多連通區(qū)域D格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分且邊界的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向

Green公式主要用于通過化曲線積分為二重積分來計算曲線積分格林公式的特殊情況--計算平面區(qū)域的面積在少數(shù)特殊清況下,可用Green公式化二重積分為曲線積分1.簡化曲線積分xyoLAB

解

不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線

L的方向為逆時針方向

當(dāng)(00)D時

由格林公式得記L所圍成的閉區(qū)域為D

例

計算ò+-Lyxydxxdy22,

其中L為一條無重點、分段光滑且

在D內(nèi)取一圓周l

x2y2r2(r>0)

當(dāng)(00)D時

記L及l(fā)所圍成的多連通區(qū)域為D1應(yīng)用格林公式得其中l(wèi)的方向取順時針方向

于是不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線

L的方向為逆時針方向

例

計算ò+-Lyxydxxdy22,

其中L為一條無重點、分段光滑且

證明：DLyxon0n0t0t0證明：2.簡化二重積分xyo

B

例求橢圓xacosqybsinq

所圍成圖形的面積A

解

若用二重積分計算則較繁瑣:ò+=pqqq2022)sincos(21dabab

解由對稱性，只需計算第一象限部分的面積例5計算星形線所圍圖形的面積解一用定積分解二用曲線積分例5計算星形線所圍圖形的面積2.平面第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件證明：必要性AnDBm2.平面第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件證明：充分性CD1D證明：必要性C0D0DM0r證明：必要性C0D0DM0r

解

不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線

L的方向為逆時針方向

當(dāng)(00)D時

由格林公式得記L所圍成的閉區(qū)域為D

例

計算ò+-Lyxydxxdy22,

其中L為一條無重點、分段光滑且

在D內(nèi)取一圓周l

x2y2r2(r>0)

當(dāng)(00)D時

記L及l(fā)所圍成的多連通區(qū)域為D1應(yīng)用格林公式得其中l(wèi)的方向取順時針方向

于是不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線

L的方向為逆時針方向

例

計算ò+-Lyxydxxdy22,

其中L為一條無重點、分段光滑且

應(yīng)用定理2應(yīng)注意的問題(1)區(qū)域D是單連通區(qū)域

(2)函數(shù)P(xy)及Q(xy)在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

如果這兩個條件之一不能滿足那么定理的結(jié)論不能保證成立討論

設(shè)L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉曲線

L的方向為逆時針方向問是否一定成立？提示在上例中已看到,當(dāng)L所圍成的區(qū)域含有原點時,上面的閉路積分不等于0,其原因在于區(qū)域內(nèi)含有破壞函數(shù)P,Q,及連續(xù)性條件的點(0,0).

解

這里P2xy

Qx2

選擇從O(00)到A(10)再到B(11)的折線作為積分路線物線yx2上從O(00)到B(11)的一段弧

例

計算ò+Ldyxxydx22,

其中L為拋

解解2.平面第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件證明：充分性證明：必要性O(shè)yx證明：必要性O(shè)yx證明：必要性O(shè)yx證明：必要性O(shè)yx2.平面第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件證明：注意平面第二型曲線積分與路徑無關(guān)的