2023高考真題分類匯編第11章 圓錐曲線含答案

2023高考真題分類匯編第十一章圓錐曲線第一節(jié)橢圓1.（2023全國(guó)甲卷理科12）已知橢圓，為兩個(gè)焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，則（）A.B.C.D.【解析】解法一（利用焦點(diǎn)三角形面積公式）:設(shè)，.，解得.由橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式得.，解得.則代入橢圓方程得，因此.故選B.解法二（幾何性質(zhì)+定義）:因?yàn)?1\*GB3①，，即=2\*GB3②，聯(lián)立=1\*GB3①=2\*GB3②，解得，.由中線定理可知，，而，解得.故選B.解法三（向量法）:由解法二知，.而，所以.故選B.2.（2023全國(guó)甲卷文科7）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（）A.B.C.D.【分析】解法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可解出；解法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出．【解析】解法一：因?yàn)?，所以，從而，所以．故選B.解法二：因?yàn)?，所以，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選B.3.（2023新高考I卷5）設(shè)橢圓，的離心率分別為，.若，則（）A. B. C. D.【解析】，，由可得，解得.故選A.4.（2023新高考II卷5）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，直線與交于兩點(diǎn)，若的面積是面積的2倍，則（）A. B. C. D. 【解析】設(shè)與軸相交于點(diǎn)，由，得.又，所以，則有，解得.故選C.第二節(jié)雙曲線1.（2023新高考I卷16）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，，則的離心率為.【解析】解法一：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由可得，又且，，則，所以，又點(diǎn)在上，則，整理可得，代入，可得，即，解得或.故.解法二：由可得，設(shè)，由對(duì)稱性可得，，由定義可得，，，設(shè)，則，所以，解得，所以，，在中，由余弦定理可得，，所以.2.（2023全國(guó)甲卷理科8）已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于兩點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【解析】由，則，解得.所以雙曲線的一條漸近線為，則圓心到漸近線的距離，所以弦長(zhǎng).故選D.3.（2023全國(guó)甲卷文科9）已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于兩點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【解析】由，則，解得.所以雙曲線的一條漸近線為，則圓心到漸近線的距離，所以弦長(zhǎng).故選D.4.（2023北京卷12）已知雙曲線的焦點(diǎn)為和，離心率為，則的方程為.【分析】根據(jù)給定條件，求出雙曲線的實(shí)半軸、虛半軸長(zhǎng)，再寫(xiě)出的方程作答.【解析】令雙曲線的實(shí)半軸、虛半軸長(zhǎng)分別為，顯然雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其半焦距，由雙曲線的離心率為，得，解得，則，所以雙曲線的方程為.故答案為：.5.（2023天津卷9）雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．過(guò)作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．【分析】先由點(diǎn)到直線的距離公式求出，設(shè)，由得到，.再由三角形的面積公式得到，從而得到，則可得到，解出，代入雙曲線的方程即可得到答案.【解析】如圖所示，

因?yàn)椋环猎O(shè)漸近線方程為，即，所以，所以.設(shè)，則，所以.因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以雙曲線的方程為.故選D.第三節(jié)拋物線1.（2023天津卷12）過(guò)原點(diǎn)的一條直線與圓相切，交曲線于點(diǎn)，若，則的值為_(kāi)________．【分析】根據(jù)圓和曲線關(guān)于軸對(duì)稱，不妨設(shè)切線方程為，，即可根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系解出．【解析】易知圓和曲線關(guān)于軸對(duì)稱，不妨設(shè)切線方程為，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．當(dāng)時(shí)，同理可得．故答案為．2.（2023全國(guó)乙卷理科13，文科13）已知點(diǎn)在拋物線上，則到的準(zhǔn)線的距離為.【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，最后利用點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計(jì)算點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離即可.

【解析】由題意可得：，則，拋物線的方程為，

準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為.

故答案為：.3.（2023新高考II卷10）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，為的準(zhǔn)線，則（）A． B． C．以為直徑的圓與相切 D．為等腰三角形【解析】由題意可得焦點(diǎn)為，所以，，A正確；聯(lián)立，消得.設(shè)，由韋達(dá)定理得，所以，B錯(cuò)誤；設(shè)的中點(diǎn)為，分別過(guò)向作垂線，垂足分別為，由梯形中位線性質(zhì)及拋物線定義可得，，所以以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，C正確；由上述解題過(guò)程知，，解得，從而，易得，不是等腰三角形，D錯(cuò)誤.綜上，故選AC.第四節(jié)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1.（2023全國(guó)乙卷理科11，文科12）已知是雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段中點(diǎn)的是（）A.B.C.D.【分析】設(shè)直線的斜率為,的斜率為，根據(jù)點(diǎn)差法分析可得，對(duì)于A，B，D通過(guò)聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷；對(duì)于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.

【解析】設(shè)，，則的中點(diǎn)，

設(shè)直線的斜率為,的斜率為，可得，

因?yàn)樵陔p曲線上，則，兩式相減得，

所以.

對(duì)于選項(xiàng)A：可得，，則，

聯(lián)立方程，消去得，

此時(shí)，

所以直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B：可得，，則，

聯(lián)立方程，消去得，

此時(shí)，

所以直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：可得，，則.

由雙曲線方程可得，，則為雙曲線的漸近線，

所以直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：，，則，

聯(lián)立方程，消去得，

此時(shí)，故直線與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確.

故選D.2.（2023新高考I卷22）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.求的方程；已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于.【解析】（1）設(shè)，則，故.（2）解法一：不妨設(shè)三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，且，顯然的斜率存在且不為0，令，則，，即，即，本題等價(jià)于證明，令，則，（未知數(shù)有，通過(guò)轉(zhuǎn)化（放縮），將變量歸一）由，即，不妨設(shè)，則.令，則，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又取等時(shí)必有，因此取不到等號(hào)，所以.解法二：如圖所示，先將第一問(wèn)中的曲線下移個(gè)單位，其表達(dá)式為.不妨設(shè)三點(diǎn)在拋物線上，再設(shè)及的斜率為.由題意知的斜率為，因?yàn)?，故而可再使，直線的方程，即，與曲線聯(lián)立可得，由此可知同理，，由此可知矩形的周長(zhǎng)滿足①②③.當(dāng)時(shí)①處取等號(hào)，當(dāng)同號(hào)時(shí)②處取等號(hào)，當(dāng)時(shí)③處取等號(hào)，顯然三處不能同時(shí)取等號(hào)，所以矩形的周長(zhǎng)大于.3.（2023天津卷18）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，右焦點(diǎn)為，已知，．(1)求橢圓方程及其離心率；(2)已知點(diǎn)是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線交軸于點(diǎn)，若三角形的面積是三角形面積的二倍，求直線的方程．【分析】（1）由解得，從而求出，代入橢圓方程即可求方程，再代入離心率公式即求離心率.（2）先設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去，再由韋達(dá)定理可得，從而得到點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo).由得，即可得到關(guān)于的方程，解出，代入直線的方程即可得到答案.【解析】（1）如圖所示，

由題意得，解得，所以，所以橢圓的方程為，離心率為.（2）由題意得，直線斜率存在，由橢圓的方程為可得，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去整理得：，由韋達(dá)定理得，所以，所以，.所以，，，所以，所以，即，解得，所以直線的方程為.第五節(jié)圓錐曲線綜合探究型問(wèn)題1.（2023全國(guó)甲卷理科20）設(shè)拋物線，直線與交于兩點(diǎn)，且.（1）求；（2）設(shè)的焦點(diǎn)為，為拋物線上的兩點(diǎn)，，求面積的最小值.【解析】（1）設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消得，即，，，解得，（舍）.所以.（2）解法一（向量法）：由（1）知，拋物線的方程為，，設(shè)，，，，又得，即，又，又，得，因此，即或，得或（這一步至關(guān)重要），或.設(shè).又或，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取最小值）.解法二（極坐標(biāo)法）：如圖所示，設(shè)與軸正半軸的夾角為，則有，，從而有.其中，顯然當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).2.（2023全國(guó)甲卷文科21）設(shè)拋物線，直線與交于兩點(diǎn)，且.（1）求；（2）設(shè)的焦點(diǎn)為，為拋物線上的兩點(diǎn)，，求面積的最小值.【解析】設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消得，即，，，解得，（舍）.所以.（2）解法一：由（1）知，拋物線的方程為，，設(shè)，，，，又得，即.又，又，得，因此，即或，得或（這一步至關(guān)重要）,或.設(shè).又或，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取最小值）.解法二（極坐標(biāo)）：如圖所示，設(shè)與軸正半軸的夾角為，則有，從而有.其中，顯然當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).3.（2023全國(guó)乙卷理科20，文科21）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上.（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，求證：線段中點(diǎn)為定點(diǎn).【解析】（1）依題意，，，則，得，，曲線的方程為.（2）設(shè)，，直線，，令，得，，令，得.的中點(diǎn)坐標(biāo)為，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程得，消建立關(guān)于的一元二次方程，，即，，又.所以線段過(guò)定點(diǎn).【評(píng)注】本題為2022全國(guó)乙卷的變式題，難度有所降低，考查仍為極點(diǎn)、極線的性質(zhì)，定點(diǎn)為關(guān)于橢圓的極線與軸的交點(diǎn).本題以橢圓中極點(diǎn)極線理論的射影不變性為命題背景，考查橢圓中對(duì)稱式的計(jì)算方法，要求考生具有較強(qiáng)的計(jì)算能力.除此之外，如果考生具有先猜再證的解題意識(shí)，本題中的定點(diǎn)可以通過(guò)極限思想進(jìn)行猜想.4.（2023新高考II卷21）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為.求的方程；記的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與的左支交于，兩點(diǎn)，在第二象限，直線與交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)在定直線上.【解析】（1）設(shè)雙曲線方程為，且.又，得，因?yàn)?，所以，因此雙曲線的方程為.（2）（設(shè)點(diǎn)設(shè)線）.設(shè)，.由（1）可得，，則,.聯(lián)立的方程，消得，即.聯(lián)立的方程與雙曲線，得，消得，即.由韋達(dá)定理（非對(duì)稱結(jié)構(gòu)處理）.，則，得.因此點(diǎn)在定直線上.5.（2023北京卷19）已知橢圓的離心率為，分別是的上、下頂點(diǎn)，分別是的左、右頂點(diǎn)，.（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)為第一象限內(nèi)上的動(dòng)點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn).求證：.【分析】（1）結(jié)合題意得到，，再結(jié)合，解之即可；（2）依題意求得直線、與的方程，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，再根據(jù)題意求得，得到，由此得解.【解析】（1）依題意，得，則，又分別為橢圓上下頂點(diǎn)，，所以，即，所以，即，則，所以橢圓的方程為.（2）因?yàn)闄E圓的方程為，所以，因?yàn)闉榈谝幌笙奚系膭?dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，易得，則直線的方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，即，而，則直線的方程為，令，則，解得，即，又，則，，所以，又，即，顯然，與不重合，所以.第六節(jié)平面幾何性質(zhì)在圓錐曲線中的應(yīng)用1.（2023全國(guó)甲卷理科12）已知橢圓，為兩個(gè)焦點(diǎn)，為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，，則（）A.B.C.D.【解析】因?yàn)?1\*GB3①，，即=2\*GB3②，聯(lián)立=1\*GB3①=2\*GB3②，解得，.由中線定理可知，，而，解得.故選B.2.（2023新高考II卷10）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，為的準(zhǔn)線，則（）A． B． C．以為直徑的圓與相切 D．為等腰三角形【解析】由題意可得焦點(diǎn)為，所以，，A正確；聯(lián)立，消得.設(shè)，由韋達(dá)定理得，所以，B錯(cuò)誤；設(shè)的中點(diǎn)為，分別過(guò)向作垂線，垂足分別為，由梯形中位線性質(zhì)及拋物線定義可得，，所以以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，C正確；由上述解題過(guò)程知，，解得，從而，易得，不是等腰三角形，D錯(cuò)誤.綜上，故選AC.第十二章計(jì)數(shù)原理與概率統(tǒng)計(jì)第一節(jié)兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理、排列組合1.（2023全國(guó)甲卷理科9）有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則兩天中恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）A.B.C.D.【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天社區(qū)服務(wù)的情況，即可得解.

【解析】不妨記五名志愿者為，

假設(shè)連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務(wù)，共有種方法，

同理：連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有種方法，

所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有種.

故選B.2.（2023全國(guó)乙卷理科7）甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A.種B.種C.種D.種【解析】甲、乙兩位同學(xué)選讀課外讀物可以分為兩個(gè)步驟：先從6種課外讀物中選擇一本作為甲、乙兩人共同的選擇，再?gòu)氖Ｏ碌?本中選擇互不相同的兩本，所以符合題意的選法共有（種）.故選C.3.（2023新高考I卷13）某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類選修課和4門(mén)藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課，并且每類選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）.【解析】如果選修2門(mén)，共有種；如果選修3門(mén)，共有種.所以不同的選課方案共有種.4.（2023新高考II卷3）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法做抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生.已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（）A.種 B. 種C.種 D. 種【解析】按初中部和高中部學(xué)生人數(shù)比例分層抽樣可知，從高中部抽40人，初中部抽20人，分步完成.由乘法原理得不同的抽樣有.故選D.第二節(jié)二項(xiàng)式定理1.（2023北京卷5）的展開(kāi)式中，的系數(shù)是（）A.B.C.D.【分析】寫(xiě)出的展開(kāi)式的通項(xiàng)即可.【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為令得.所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選D.【評(píng)注】本題考查的是二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)的運(yùn)用，較簡(jiǎn)單.2.（2023天津卷11）在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)________．【分析】由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式寫(xiě)出其通項(xiàng)公式，令確定的值，然后計(jì)算項(xiàng)的系數(shù)即可.【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令可得，，則項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為60.第三節(jié)隨機(jī)事件的概率及其計(jì)算3.（2023北京卷18）為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)據(jù)，如下表所示，在描述價(jià)格變化時(shí)，用“”表示“上漲”；即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高，用“”表示“下跌”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同.時(shí)段價(jià)格變化第1天到第20天00000第21天到第40天00000用頻率估計(jì)概率.（1）試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率；（2）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的，在未來(lái)的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；（3）假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格的影響，判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”、“下跌”和“不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大.（結(jié)論不要求證明）【分析】（1）計(jì)算表格中的的次數(shù)，然后根據(jù)古典概型進(jìn)行計(jì)算；（2）分別計(jì)算出表格中上漲、不變、下跌的概率后進(jìn)行計(jì)算；（3）通過(guò)統(tǒng)計(jì)表格中前一次上漲，后一次發(fā)生的各種情況進(jìn)行推斷第天的情況.【解析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以看出，天里，有個(gè)，也就是有天是上漲的，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格上漲的概率為：.（2）在這天里，有天上漲，天下跌，天不變，也就是上漲、下跌、不變的概率分別是，，，于是未來(lái)任取天，天上漲，天下跌，天不變的概率是.（3）由于第天處于上漲狀態(tài)，從前次的次上漲進(jìn)行分析，上漲后下一次仍上漲的有次，不變的有次，下跌的有次，因此估計(jì)第次不變的概率最大.4.（2023全國(guó)甲卷理科6）有50人報(bào)名足球俱樂(lè)部，60人報(bào)名乒乓球俱樂(lè)部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂(lè)部，若已知某人報(bào)足球俱樂(lè)部，則其報(bào)乒乓球俱樂(lè)部的概率為（）A.B.C.D.【分析】先算出報(bào)名兩個(gè)俱樂(lè)部的人數(shù)，從而得出某人報(bào)足球俱樂(lè)部的概率和報(bào)兩個(gè)俱樂(lè)部的概率，利用條件概率的知識(shí)求解.

【解析】報(bào)名兩個(gè)俱樂(lè)部的人數(shù)為，

記“某人報(bào)足球俱樂(lè)部”事件，記“某人報(bào)兵乓球俱樂(lè)部”為事件，

則，，

所以.

故選A.5.（2023全國(guó)甲卷文科4）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（）A.B.C.D.【分析】利用古典概型的概率公式，結(jié)合組合的知識(shí)即可得解.【解析】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，其中這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的基本事件有，所以這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為.故選D.6.（2023全國(guó)乙卷理科5，文科7）設(shè)為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為，則直線的傾斜角不大于的概率為（）A.B.C.D.【解析】如圖所示，當(dāng)在陰影區(qū)域時(shí)，直線的斜率不大于，.7.（2023全國(guó)乙卷文科9）某學(xué)校舉辦作文比賽，共6個(gè)主題，每位參賽同學(xué)從中隨機(jī)抽取一個(gè)主題準(zhǔn)備作文，則甲、乙兩位參賽同學(xué)抽到不同主題概率為（）A.B.C.D.【分析】根據(jù)古典概率模型求出所有情況以及滿足題意的情況，即可得到概率.【解析】甲有6種選擇，乙也有6種選擇，故總數(shù)共有種，若甲、乙抽到的主題不同，則共有種，則其概率為.故選A.8.（2023新高考II卷12）在信道內(nèi)傳輸信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立，發(fā)送時(shí)，收到的概率為，收到的概率為；發(fā)送時(shí)，收到的概率為，收到的概率為.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送一次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼.（例如，若依次收到，則譯碼為）.A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送，則依次收到的概率為B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送，則依次收到的概率為C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送，則譯碼為的概率為D.當(dāng)時(shí)，若發(fā)送，則采用三次傳輸方案譯碼為的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為的概率【解析】A選項(xiàng)：，A正確；B選項(xiàng)：，B正確；C選項(xiàng)：，C不正確；D選項(xiàng)：采用三次傳輸方案譯碼為的概率，采用一次傳輸方案譯碼為的概率.當(dāng)時(shí)，，即，D正確.綜上，故選ABD.9.（2023天津卷13）甲乙丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為．現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為_(kāi)________；將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為_(kāi)________．【分析】先根據(jù)題意求出各盒中白球，黑球的數(shù)量，再根據(jù)概率的乘法公式可求出第一空；根據(jù)古典概型的概率公式可求出第二個(gè)空．【解析】設(shè)甲、乙、丙三個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)分別為，所以總數(shù)為，所以甲盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；乙盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；丙盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；記“從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的球都是黑球”為事件，所以；記“將三個(gè)盒子混合后取出一個(gè)球，是白球”為事件，黑球總共有個(gè)，白球共有個(gè)，所以．故答案為；．第四節(jié)隨機(jī)變量及其分布1.（2023新高考I卷21）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃.無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為，由抽簽確定第1次投籃的人選.第1次投籃的人是甲、乙的概率各為.求第2次投籃的人是乙的概率；求第次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，，則.記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求.【解析】（1）.（2）第次是乙投的概率為，，且，則，故（3）解法一:=1\*GB3①時(shí)，=2\*GB3②時(shí)，.綜上，解法二（利用期望遞推）記前次投籃中甲投籃次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，則在前次投籃中甲投籃次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.，故，所以.又，故.當(dāng)時(shí)也滿足上式，故.第五節(jié)統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例1.（2023全國(guó)甲卷理科19）為研究某藥物對(duì)小鼠的生長(zhǎng)抑制作用，將40只小鼠均分為兩組，分別為對(duì)照組（不加藥物）和實(shí)驗(yàn)組（加藥物）.（1）設(shè)其中兩只小鼠中對(duì)照組小鼠數(shù)目為，求的的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）測(cè)得40只小鼠體重如下（單位：）（已按從小到大排好）

對(duì)照組：17.318.420.120.421.523.224.624.825.025.426.126.326.426.526.827.027.427.527.628.35.46.66.86.97.88.29.410.010.411.214.417.319.220.223.623.824.525.125.226.0實(shí)驗(yàn)組：（=1\*romani）求40只小鼠體重的中位數(shù)，并完成下面列聯(lián)表；對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組（=2\*romanii）根據(jù)列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作用.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0102.7063.8416.635【分析】(1)利用超幾何分布的知識(shí)即可求得分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)(i)根所中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；

(ii)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.

【解析】(1)依題意，的可能取值為，

則，，，

所以的分布列為：012故.

(2)(i)依題意，可知這只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第位與第位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

由于原數(shù)據(jù)已經(jīng)排好，所以我們只需要觀察對(duì)照組第一排數(shù)據(jù)與實(shí)驗(yàn)組第二排數(shù)據(jù)即可，

可得第位數(shù)據(jù)為，后續(xù)依次為，

故第位為，第位數(shù)據(jù)為，

所以，

故列聯(lián)表為：合計(jì)對(duì)照組61420實(shí)驗(yàn)組14620合計(jì)202040(ii)由(i)可得，，

所以能有的把握認(rèn)為藥物對(duì)小鼠生長(zhǎng)有抑制作用.2.（2023全國(guó)甲卷文科19）一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選只小白鼠，隨機(jī)地將其中只分配到試驗(yàn)組，另外只分配到對(duì)照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對(duì)照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量(單位：)．試驗(yàn)結(jié)果如下：

對(duì)照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5 （1）計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；

（2）（=1\*romani）求只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表對(duì)照組試驗(yàn)組（=2\*romanii）根據(jù)(i)中的列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635【分析】（1）直接根據(jù)均值定義求解；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；（ii）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.【解析】（1）試驗(yàn)組樣本平均數(shù)為：.（2）（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由原數(shù)據(jù)可得第11位數(shù)據(jù)為，后續(xù)依次為，故第位為，第位數(shù)據(jù)為，

所以，

故列聯(lián)表為：合計(jì)對(duì)照組61420試驗(yàn)組14620合計(jì)202040(ii)由(i)可得，，

所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.3.（2023全國(guó)乙卷理科17，文科17）某廠為比較甲、乙兩種工藝對(duì)橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應(yīng)，進(jìn)行次配對(duì)試驗(yàn)，每次配對(duì)試驗(yàn)選用材質(zhì)相同的兩個(gè)橡膠產(chǎn)品，隨機(jī)地選其中一個(gè)用甲工藝處理，另一個(gè)用乙工藝處理，測(cè)量處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為，試驗(yàn)結(jié)果如下試驗(yàn)序號(hào)12345678910伸縮率545533551522575