微分方程的基本概念

微分方程的基本概念第1頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月常微分方程緒論常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支，是人們解決各種實際問題的有效工具，它在幾何、力學、物理、電子技術(shù)、航空航天、生命科學、經(jīng)濟領(lǐng)域等都有廣泛的應用。第2頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第3頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月第4頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月一、微分方程的發(fā)展歷史

方程對于學過中學數(shù)學的人來說是比較熟悉的；在初等數(shù)學中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系找出來，列出包含一個未知數(shù)或幾個未知數(shù)的一個或者多個方程式，然后取求方程的解。

第5頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月在實際工作中，常常出現(xiàn)一些特點和以上方程完全不同的問題。比如：某個物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時間變化的規(guī)律；火箭在發(fā)動機推動下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道等，研究這些問題所建立的數(shù)學方程不僅與未知函數(shù)有關(guān)，而且與未知函數(shù)的導數(shù)有關(guān)，這就是我們要研究的微分方程。解這類問題的基本思想和初等數(shù)學解方程的基本思想很相似，也是要把研究的問題中已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關(guān)系找出來，從列出的包含未知函數(shù)及其導數(shù)的一個或幾個方程中去求得未知函數(shù)的表達式－－－即求解微分方程。第6頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月

牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數(shù)來求解。后來瑞士數(shù)學家雅各布·貝努利、歐拉、法國數(shù)學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。

微分方程差不多是和微積分同時先后產(chǎn)生的，在公元17世紀，蘇格蘭數(shù)學家耐普爾創(chuàng)立對數(shù)的時候，就討論過微分方程的近似解。常微分方程的形成與發(fā)展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。同時，數(shù)學的其他分支的新發(fā)展，如復變函數(shù)、李群、組合拓撲學等，都對常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當前計算機的發(fā)展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具。第7頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月牛頓研究天體力學和機械力學的時候，利用了微分方程這個工具，從理論上得到了行星運動規(guī)律。后來，法國天文學家勒維烈和英國天文學家亞當斯使用微分方程各自計算出那時尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都使數(shù)學家更加深信微分方程在認識自然、改造自然方面的巨大力量。第8頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月二、微分方程的研究方法研究微分方程的一般五種方法1、利用初等函數(shù)或初等函數(shù)的積分形式來導出微分方程的通解，常微分方程的解包括通解和特解。能用初等積分求通解的是非常少的，因此，人們轉(zhuǎn)而研究特解的存在性問題。2、利用數(shù)學分析或非線性分析理論來研究微分方程解的存在性、延展性、解對初值的連續(xù)性和可微性問題。3、微分方程解析理論由于絕大多數(shù)微分方程不能通過求積分得到，而理論上又證明了解的存在性，因此，人們將未知函數(shù)（即解）的表示成級數(shù)形式，并引進特殊函數(shù)，如，橢圓函數(shù)、阿貝爾函數(shù)、貝塞爾函數(shù)等，并使微分方程和函數(shù)論及復變函數(shù)聯(lián)系起來，產(chǎn)生了、微分方程解析理論。第9頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月5、微分方程的定性和穩(wěn)定性理論1900年，希爾波特提出的23個問題中的第16個問題之一，至今未解決。三、微分方程的講授內(nèi)容（學時45）1、基本概念2、線性微分方程3、線性微分方程組4、穩(wěn)定性及定性理論初步四、微分方程的教材特點4、微分方程的數(shù)值解法第10頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月

本章主要介紹微分方程的有關(guān)概念，解的存在唯一性問題及一階微分方程的向量場，同學們應著重掌握微分方程的一些基本概念:解、通解、特解、階數(shù)、初值條件等；解的存在唯一性定理。第11頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月1、單種群增長模型（Logistic方程）一、導出微分方程的一些實例§1.1微分方程的概念2、數(shù)學單擺模型第12頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月凡含有自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導數(shù)（或微分）的方程稱為微分方程。例如：1）如果微分方程中未知數(shù)只依賴于一個自變量，稱為常微分方程。例如：二、微分方程的基本概念第13頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月2）如果微分方程中未知數(shù)依賴于兩個或更多的自變量，稱為偏微分方程。例如：注：我們不特別聲明，就稱常微分方程為微分方程或方程。方程的階數(shù)：一個微分方程中，未知函數(shù)最高階導數(shù)的階數(shù)，稱為方程的階數(shù)。第14頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月如果一個微分方程關(guān)于未知函數(shù)及其各階導數(shù)都是線性的，則稱它為線性微分方程，否則稱之為非線性微分方程。一般的n階微分方程的形式為：其中：的已知函數(shù)。例如：是二階非線性微分方程。是變量第15頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月解和隱式解：為方程的解。將其代入方程后，能使它變成恒等式，則稱函數(shù)若關(guān)系式?jīng)Q定的隱函數(shù)是為方程的隱式解。上述方程解稱設例：有隱式解（任意常數(shù)）上的解。例：是在是在上的解。是定義在區(qū)間（a,b）上的n階可微函數(shù)，第16頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月把含有n個相互獨立的任意常數(shù)稱為n階方程的通解。的解n階方程的通解：若存在的一個鄰域，使得則稱含有n個相互獨立的常數(shù)。第17頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例：是的通解。因為而特解：在通解中確立了一組任意常數(shù)后所得的解稱為特解。定解條件：為了確定微分方程的一個特定的解，我們通常給出這個解所必需滿足的條件，這就是定解條件常見的定解條件是初始條件。第18頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月是指如下的n個條件：的初始條件所謂階微分方程其中是給定的個常數(shù)。求微分方程滿足定解條件的解就是所謂的定解問題。當定解條件為初始條件時，相應的定解問題也就為初值問題。第19頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月例：驗證函數(shù)是微分方程的解。滿足初始條件的解為微分方程的特解。初始條件不同，對應的特解也不同。第20頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月解：求出所給的函數(shù)導數(shù)把及的表達式代入方程，得因此，函數(shù)是微分方程的解。第21頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容小結(jié)1.微分方程的基本概念線性微分方程，非線性微分方程常微分方程，偏微分方程，微分方程的階初始條件微分方程的解，通解，特解第22頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月牛頓(1642–1727)偉大的英國數(shù)學家,物理學家,天文學家和自然科學家.他在數(shù)學上的卓越貢獻是創(chuàng)立了微積分.1665年他提出正流數(shù)(微分)術(shù),次年又提出反流數(shù)(積分)術(shù),并于1671年完成《流數(shù)術(shù)與無窮級數(shù)》一書(1736年出版).他還著有《自然哲學的數(shù)學原理》和《廣義算術(shù)》等.第23頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月萊布尼茲(1646–1716)德國數(shù)學家,哲學家.他和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人,

他在《學藝》雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學的論文中,有的早于牛頓,

所用微積分符號也遠遠優(yōu)于牛頓.

他還設計了作乘法的計算機,

系統(tǒng)地闡述二進制計數(shù)法,并把它與中國的八卦聯(lián)系起來.第24頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月(雅各布第一·伯努利)

書中給出的伯努利數(shù)在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士數(shù)學家,位數(shù)學家.標和極坐標下的曲率半徑公式,1695年版了他的巨著《猜度術(shù)》,上的一件大事,而伯努利定理則是大數(shù)定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孫三代出過十多1694年他首次給出了直角坐1713年出這是組合數(shù)學與概率論史此外,他對雙紐線,懸鏈線和對數(shù)螺線都有深入的研究.第25頁，課件共27頁，創(chuàng)作于2023年2月歐拉(1707–1783)瑞士數(shù)學家.他寫了大量數(shù)學經(jīng)典著作,如《無窮小分析引論》,《微還寫了大量力學,幾何學,變分法教材.他在工作期間幾乎每年都完成800頁創(chuàng)造性的論文.他的最大貢獻是擴展了微積分的領(lǐng)域,要分支(如無窮級數(shù),微分方程)與微分幾何的產(chǎn)生和發(fā)展奠定了基礎.分學原理》,《積分學原理》等,為分析學的重