2021年北京豐臺(tái)區(qū)豐臺(tái)第六中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

2021年北京豐臺(tái)區(qū)豐臺(tái)第六中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)a＝，b＝－，c＝－，則a，b，c的大小關(guān)系為________．參考答案：略2.閱讀下列程序框圖，則輸出的的值為（

）A.14

B.20

C.30

D.55參考答案：D3.已知四面體ABCD，=，=，=，點(diǎn)M在棱DA上，=2，N為BC中點(diǎn)，則=（）A．﹣﹣﹣ B．﹣++ C．++ D．﹣﹣參考答案：B【考點(diǎn)】空間向量的加減法．【專題】數(shù)形結(jié)合；定義法；空間向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的線性表示與運(yùn)算，用、與表示出．【解答】解：連接DN，如圖所示，四面體ABCD中，=，=，=，點(diǎn)M在棱DA上，=2，∴=，又N為BC中點(diǎn)，∴=（+）；∴=+=﹣++=﹣++．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間向量的線性表示與運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目．4.已知兩點(diǎn)A（﹣3，0），B（3，0），動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|﹣|MB|=4，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（）A．橢圓 B．雙曲線 C．雙曲線的一支 D．拋物線參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；直線與圓．【分析】利用雙曲線定義求解．【解答】解：∵兩點(diǎn)A（﹣3，0），B（3，0），∴|AB|=6，∵動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|﹣|MB|=4＜|AB|=6，∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是雙曲線的一支．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線定義的合理運(yùn)用．5.a和b為異面直線，則過a與b垂直的平面(

)

A、有且只有一個(gè)

B、一個(gè)面或無數(shù)個(gè)

C、可能不存在

D、可能有無數(shù)個(gè)參考答案：C6.已知方程，它們所表示的曲線可能是（

）參考答案：B7.已知，的取值如下表，從散點(diǎn)圖分析，與線性相關(guān)，且回歸方程為，則=（

）1234527812

A．

B．

C． D．參考答案：D，，點(diǎn)（）在直線上，故8.若直線l1：y=k（x﹣4）與直線l2關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱，則直線l2恒過定點(diǎn)（）A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣2，4） D．（4，﹣2）參考答案：B【考點(diǎn)】恒過定點(diǎn)的直線；與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程．【分析】先找出直線l1恒過定點(diǎn)（4，0），其關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱點(diǎn)（0，2）在直線l2上，可得直線l2恒過定點(diǎn)．【解答】解：由于直線l1：y=k（x﹣4）恒過定點(diǎn)（4，0），其關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱的點(diǎn)為（0，2），又由于直線l1：y=k（x﹣4）與直線l2關(guān)于點(diǎn)（2，1）對(duì)稱，∴直線l2恒過定點(diǎn)（0，2）．故選B9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，可歸納猜想出的表達(dá)式為

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A10.已知函數(shù)，且，則下列命題成立的是(

)A．在區(qū)間上是減函數(shù)

B．在區(qū)間上是減函數(shù)C．在區(qū)間上是增函數(shù)

D．在區(qū)間上是增函數(shù)參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是第二象限角，且，那么

參考答案：12.6名運(yùn)動(dòng)員比賽前將外衣放在休息室，比賽后都回到休息室取衣服，由于燈光暗淡，有一部分隊(duì)員拿錯(cuò)了外衣，其中只有2人拿到自己的外衣，且另外的4人拿到別人的外衣情況個(gè)數(shù)為

.參考答案：13513.兩圓，相交于兩點(diǎn)，則直線的方程是

．參考答案：14.函數(shù)y=8x2-lnx的單調(diào)遞增區(qū)間是____▲____.參考答案：略15.二次曲線的焦距為

.參考答案：略16.函數(shù)f（x）=的定義域是．參考答案：（0，1]考點(diǎn)： 函數(shù)的定義域及其求法．

專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，對(duì)數(shù)式的真數(shù)大于0聯(lián)立不等式組求解x的取值集合得答案．解答： 解：由，解得0＜x≤1．∴函數(shù)f（x）=+lgx的定義域是（0，1]．故答案為：（0，1]．點(diǎn)評(píng)： 本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查了指數(shù)不等式的解法，是基礎(chǔ)題17.設(shè)焦點(diǎn)是、的雙曲線在第一象限內(nèi)的部分記為曲線，若點(diǎn)都在曲線上，記點(diǎn)到直線的距離為,又已知，則常數(shù)___________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（10分）過點(diǎn)C（0，）的橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，橢圓與x軸交于兩點(diǎn)A（a，0），B（﹣a，0），過點(diǎn)C的直線l與橢圓交于另一點(diǎn)D，并與x軸交于點(diǎn)P，直線AC與BD交于點(diǎn)Q．（1）求橢圓的方程；（2）當(dāng)直線l過橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，求線段CD的長；（3）當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：?為定值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）由過點(diǎn)C（0，）的橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓的方程．（2）橢圓的右焦點(diǎn)為（，0），直線l的方程為y=﹣x+，代入橢圓方程化簡，得，由此能求出|CD|．（3）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，與題意不符．當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+，（k≠0，且k≠），代入橢圓方程，化簡得（2k2+1）x2+4=0，求出D（），從而得到kBD，進(jìn)而求出直線BD的方程，再由直線AC的方程聯(lián)立，求出Q（﹣2，2k+），由l方程得P（﹣，0），由此能證明?為定值．【解答】解：（1）∵過點(diǎn)C（0，）的橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，∴，解得a=2，b=，c=，∴橢圓的方程為．（2）橢圓的右焦點(diǎn)為（，0），此時(shí)直線l的方程為y=﹣x+，代入橢圓方程化簡，得，解得，代入直線l的方程，得，y2=﹣，∴|CD|==．證明：（3）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，∵橢圓與x軸交于兩點(diǎn)A（a，0），B（﹣a，0），∴AC∥BD，與題意不符．設(shè)直線l的方程為y=kx+，（k≠0，且k≠），代入橢圓方程，化簡得（2k2+1）x2+4=0，解得，代入直線l的方程，得，，∴D（），∴kBD=====，∴直線BD的方程為y=（x+2），又直線AC的方程為，聯(lián)立，得，∴Q（﹣2，2k+），又由l方程得P（﹣，0），∴=（﹣）?（﹣2，2k+）=419.（本小題滿分12分）學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn)．設(shè)計(jì)方案如圖，航天器運(yùn)行(按順時(shí)針方向)的軌跡方程為＋＝1，變軌(即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以y軸為對(duì)稱軸、M(0，)為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分，降落點(diǎn)為D(8,0)．觀測(cè)點(diǎn)A(4,0)、B(6,0)同時(shí)跟蹤航天器．(1)求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程；(2)試問：當(dāng)航天器在x軸上方時(shí)，觀測(cè)點(diǎn)A、B測(cè)得離航天器的距離分別為多少時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？參考答案：

(2)設(shè)變軌點(diǎn)為C(x，y)，聯(lián)立得4y2－7y－36＝0.

∴y＝4或y＝－(不合題意，舍去)．由y＝4得x＝6或x＝－6(不合題意，舍去)．∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,4)，此時(shí)|AC|＝2，|BC|＝4.故當(dāng)觀測(cè)點(diǎn)A、B測(cè)得AC、BC距離分別為2、4時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令．20.如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)．將△ABE沿BE折起到圖22中△A1BE的位置，得到四棱錐A1﹣BCDE．（文、理科）證明：CD⊥平面A1OC；（理科）若平面A1BE⊥平面BCDE，求二面角D﹣A1C﹣B的余弦值．（文科）若平面A1BE⊥平面BCDE，求二面角A1﹣DC﹣B的大?。畢⒖即鸢福骸究键c(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）先證BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，得CD⊥平面A1OC．（2）（理）由已知得∠A1OC為二面角A1﹣BE﹣C的平面角，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A1BC的法向量，平面A1CD的法向量，面A1BC與面A1CD夾角為θ，從而cosθ=cos＜＞=，即平面A1CB與平面A1CD夾角的余弦值．（2）（文）因?yàn)镺C⊥CD，A1C⊥CD，所以∠A1CO即為二面角A1﹣DC﹣B的平面角，計(jì)算得∠A1CO=45°．【解答】解：（1）在圖1中，AD∥BC，AB=BC=1，AE=1，∠BAD=90°，所以BE⊥AC，即在圖2中，BE⊥A1O，BE⊥OC又A1O∩OC=O，所以BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC．（2）（理）由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，又由（I）知，BE⊥A1O，BE⊥OC所以∠A1OC為二面角A1﹣BE﹣C的平面角，所以∠A1OC=90°．如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳1B=A1E=BC=ED=1，BC∥ED，所以B（），E（﹣，A1C（0，，0），．設(shè)平面A1BC的法向量，平面A1CD的法向量，面A1BC與面A1CD夾角為θ，由，取，由，取，從而cosθ=cos＜＞=，即平面A1CB與平面A1CD夾角的余弦值為﹣．（2）（文）因?yàn)镺C⊥CD，A1C⊥CD，所以∠A1CO即為二面角A1﹣DC﹣B的平面角，計(jì)算得∠A1CO=45°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間線面、面面位置關(guān)系的證明，及向量法求二面角，屬于中檔題．21.（22分，文科做理科不做）已知函數(shù)[來源:高&考%資(源#網(wǎng)wxcKS5U.COM](1)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程;(2)若函數(shù)與在區(qū)間上均為增函數(shù),求的取值范圍;參考答案：22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：解：（1）當(dāng)時(shí)，

·································································································2分

由得得

的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為······························6分（2）若對(duì)任意時(shí)，恒成立，

即時(shí)，恒成立，················································