2022年黑龍江省綏化市北辰高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析

2022年黑龍江省綏化市北辰高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合M={a2，a+1，﹣3}，N={a﹣3，2a﹣1，a2+1}，若M∩N={﹣3}，則a的值是(

)A．﹣1 B．0 C．1 D．2參考答案：A【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【分析】觀察題設(shè)條件知，﹣3∈N，有兩種可能，a﹣3=﹣3或2a﹣1=﹣3，分別求出a的值代入進(jìn)行驗(yàn)證其互異性與是否滿足題設(shè)條件．【解答】解：∵M(jìn)∩N={﹣3}∴﹣3∈N={a﹣3，2a﹣1，a2+1}若a﹣3=﹣3，則a=0，此時M={0，1，﹣3}，N={﹣3，﹣1，1}則M∩N={﹣3，1}故不適合若2a﹣1=﹣3，則a=﹣1，此時M={1，0，﹣3}，N={﹣4，﹣3，2}若a2+1=﹣3，此方程無實(shí)數(shù)解綜上知，a=﹣1故應(yīng)選A．【點(diǎn)評】本考點(diǎn)是集合的交集及其運(yùn)算，此類題求參數(shù)值時要注意是否滿足互異性．2.已知蟑螂活動在如圖所示的平行四邊形OABC內(nèi)，現(xiàn)有一種利用聲波消滅蟑螂的機(jī)器，工作時，所發(fā)出的圓弧型聲波DFE從坐標(biāo)原點(diǎn)O向外傳播，若D是DFE弧與x軸的交點(diǎn)，設(shè)OD=x，，圓弧型聲波DFE在傳播過程中掃過平行四邊形OABC的面積為y（圖中陰影部分），則函數(shù)的圖像大致是參考答案：D3.設(shè)全集U={},A={1,2,3,4,},B={4,5,6,7,8},則A∪B)=

（A）{9}(B){1,2,3}

(C){5,6,7,8}(D){1,2,3,4,5,6,7,8}參考答案：A略4.設(shè)函數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)的值域是(

)A．{0,1}

B．{0，－1}

C．{－1,1}

D．{1,1}參考答案：B略5.如圖所示的莖葉圖表示甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C略6.若則A.

B.

C.

D.參考答案：A7.若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A. B. C. D.參考答案：A有兩個正根，即有兩個正根，令，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時，，所以，故選A．8.公差大于0的等差數(shù)列{an}中，2a7﹣a13=1，且a1，a3﹣1，a4+9成等比數(shù)列，則數(shù)列{（﹣1）n﹣1an}的前21項(xiàng)和為（）A．21 B．﹣21 C．441 D．﹣441參考答案：A【分析】設(shè)公差為d，運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得首項(xiàng)為1，公差為2，由分組求和即可得到所求和．【解答】解：公差d大于0的等差數(shù)列{an}中，2a7﹣a13=1，可得2（a1+6d）﹣（a1+12d）=1，可得a1=1，由a1，a3﹣1，a4+9成等比數(shù)列，可得（a3﹣1）2=a1（a4+9），即為（1+2d﹣1）2=1（1+3d+9），解得d=2（﹣舍去）．則an=2n﹣1，數(shù)列{（﹣1）n﹣1an}的前21項(xiàng)和為1﹣3+5﹣7+…+37﹣39+41=﹣2×10+41=21．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，考查方程思想，以及求和方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．9.已知命題p：函數(shù)f（x）=2ax2﹣x﹣1（a≠0）在（0，1）內(nèi)恰有一個零點(diǎn)；命題q：函數(shù)y=x2﹣a在（0，+∞）上是減函數(shù)．若p且?q為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞1 B．a(chǎn)≤2 C．1＜a≤2 D．a(chǎn)≤1或a＞2參考答案：C【考點(diǎn)】冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用．

【專題】計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】先求出命題p，q為真命題時，a的范圍，即可求出p且￢q為真命題時，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由題意，命題p：得a＞1．命題q：2﹣a＜0，得a＞2，∴￢q：a≤2．故由p且￢q為真命題，得1＜a≤2，故選C．【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)方程思想、冪函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，同時又考查命題真假的理解，屬于中檔題．10.已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f（x）=4x﹣2x﹣f（1），則f（﹣1）的值為（）A．1 B．﹣1 C．e D．﹣e參考答案：B【考點(diǎn)】3L：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)條件令x=1，先求出f（1）的值，然后利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：當(dāng)x＞0時，f（x）=4x﹣2x﹣f（1），∴當(dāng)x=1時，f（1）=4﹣2﹣f（1），即2f（1）=2，則f（1）=1，則當(dāng)x＞0時，f（x）=4x﹣2x﹣1，∵函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合為整數(shù)集，則集合中所有元素的和等于________參考答案：3

本題考查了絕對值不等式的解法，考查了集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算，難度較小。

集合，所以，元素之和為3.12.已知點(diǎn)和在直線的兩側(cè)，則的取值范圍是

參考答案：13.設(shè)復(fù)數(shù)z=（a+cosθ）+（2a﹣sinθ）i（i為虛數(shù)單位），若對任意實(shí)數(shù)θ，|z|≤2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．參考答案：考點(diǎn)：復(fù)數(shù)求模．專題：計(jì)算題．分析：首先利用復(fù)數(shù)莫得公式求模，然后利用三角函數(shù)進(jìn)行化簡，由|z|≤2得到不等式，然后根據(jù)a的符號把該不等式分類轉(zhuǎn)化為不含三角函數(shù)的不等式，求解后對a取并集即可得到答案．解答：解：由z=（a+cosθ）+（2a﹣sinθ）i，所以===（tanα=2）．因?yàn)閨z|≤2，所以．若a=0，此式顯然成立，若a＞0，由，得，解得．若a＜0，由，得，解得．所以對任意實(shí)數(shù)θ，滿足|z|≤2的實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故答案為．點(diǎn)評：本題考查了復(fù)數(shù)模的求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．14.在直角坐標(biāo)平面中，的兩個頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A，B（1，0）平面內(nèi)兩點(diǎn)、同時滿足下列條件:①

②

③

則的頂點(diǎn)的軌跡為，都在曲線上，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，已知∥

,

∥且·=0，則四邊形PRQN面積S的最大值為

____________.參考答案：．215.已知拋物線y2=4x上一點(diǎn)M與該拋物線的焦點(diǎn)F的距離｜MF｜＝4，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x=________.參考答案：316.設(shè)單位向量____.參考答案：略17.在等比數(shù)列{an}中，an＞0，公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，a3與a5的等比中項(xiàng)為2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．參考答案：an=【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】推導(dǎo)出a3，a5是方程x2﹣5x+4=0的兩個根，且a3＞a5．從而得到a3=4，a5=1，進(jìn)而得到，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵在等比數(shù)列{an}中，an＞0，公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，a3與a5的等比中項(xiàng)為2，∴，∴a3，a5是方程x2﹣5x+4=0的兩個根，且a3＞a5．解方程x2﹣5x+4=0，得a3=4，a5=1，∴，由q∈（0，1），解得，∴=（）n﹣5．故答案為：an=．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對一切，點(diǎn)都在函數(shù)

的圖象上．（Ⅰ）求的值，猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（Ⅱ）將數(shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分別計(jì)算各個括號內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為，求的值；（Ⅲ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)積，是否存在實(shí)數(shù)，使得不等式對一切都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．參考答案：解析：（Ⅰ）因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，故，所以．令，得，所以；令，得，所以；令，得，所以．由此猜想：．………………2分用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時，有上面的求解知，猜想成立．②假設(shè)時猜想成立，即成立，則當(dāng)時，注意到，故，．兩式相減，得，所以．由歸納假設(shè)得，，故．這說明時，猜想也成立．由①②知，對一切，成立．……5分（Ⅱ）因?yàn)椋ǎ?，所以?shù)列依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），….每一次循環(huán)記為一組．由于每一個循環(huán)含有4個括號，

故是第25組中第4個括號內(nèi)各數(shù)之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個括號中所有第1個數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20.同理，由各組第4個括號中所有第2個數(shù)、所有第3個數(shù)、所有第4個數(shù)分別組成的數(shù)列也都是等差數(shù)列，且公差均為20.故各組第4個括號中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80.注意到第一組中第4個括號內(nèi)各數(shù)之和是68，所以．又=22，所以=2010.………………8分（Ⅲ）因?yàn)?，故，所以．又，故對一切都成立，就是對一切都成立．設(shè)，則只需即可．由于，所以，故是單調(diào)遞減，于是．令，即，解得，或．綜上所述，使得所給不等式對一切都成立的實(shí)數(shù)存在，的取值范圍是．…………14分注：（1）2個空的填空題，第一個空給3分，第二個空給2分.（2）如有不同解法，請閱卷老師酌情給分.

19.如圖，已知圓，經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F及上頂點(diǎn)B，過圓外一點(diǎn)傾斜角為的直線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若右焦點(diǎn)F在以線段CD為直徑的圓E的外部，求m的取值范圍．

參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【知識點(diǎn)】橢圓方程

直線與橢圓

H5

H8解析：（Ⅰ）∵圓G：經(jīng)過點(diǎn)F、B．∴F（2，0），B（0，），

∴，．∴．故橢圓的方程為．

（Ⅱ）設(shè)直線的方程為．由消去得． 設(shè)，，則，， ∴． ∵，， ∴=

=． ∵點(diǎn)F在圓G的外部， ∴，

即，解得或． 由△=，解得．又，． ∴．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)圓與x軸的交點(diǎn)求得F（2，0），B（0，），可得橢圓方程；設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，得到，，因?yàn)辄c(diǎn)F在圓G的外部， 所以，即=>0,求得.20.如圖，在四棱錐中，平面平面，，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求平面與平面所成角的余弦值．參考答案：【命題意圖】本小題主要考查直線與平面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，二面角余弦值的求解等基礎(chǔ)知識，考查空間想像能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力等，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等．【試題簡析】解法一：（Ⅰ）在底面中，，，所以，，所以，所以， 1分又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 2分又平面，所以， 3分又即，又， 4分所以平面. 5分（Ⅱ）分別延長和相交于一點(diǎn)，連結(jié)，則直線即為所求直線， 6分在平面內(nèi)過作（如圖），又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，所以兩兩互相垂直.以為原點(diǎn)，向量的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），另設(shè)， 7分則，，，，所以，， 8分設(shè)是平面的法向量，則即 9分令，得.

10分顯然是平面的一個法向量.

11分設(shè)二面角的大小為（為銳角）.所以，所以二面角的的余弦值為.

12分解法二：（Ⅰ）同解法一； 5分（Ⅱ）分別延長和相交于一點(diǎn)，連結(jié)，則直線即為所求直線， 6分分別取中點(diǎn)和，連結(jié)，，

所以，又，所以，又因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以兩兩互相垂直.以為原點(diǎn)，向量的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），另設(shè)， 7分則，，，，所以，， 8分設(shè)是平面的法向量，則即， 9分令，得.

10分顯然是平面的一個法向量.

11分設(shè)二面角的大小為（為銳角）.所以，所以二面角的余弦值為. 12分【變式題源】（2017全國卷Ⅱ·理19）如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD，，，E是PD的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：直線平面PAB；（Ⅱ）點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成銳角為，求二面角M-AB-D的余弦值21.如圖，AB是圓O的直徑，C，D是圓O上兩點(diǎn)，AC與BD相交于點(diǎn)E，GC，GD是圓O的切線，點(diǎn)F在DG的延長線上，且。求證：（1）D、E、C、F四點(diǎn)共圓；

（2）

參考答案：解：（Ⅰ）如圖，連結(jié)OC，OD，則OC⊥CG，OD⊥DG，設(shè)∠CAB＝∠1，∠DBA＝∠2，∠ACO＝∠3，∠COB＝2∠1，∠DOA＝2∠2．所以∠DGC＝180°－∠DOC＝2(∠1＋∠2)． …3分因?yàn)椤螪GC＝2∠F，所以∠F＝∠1＋∠2．又因?yàn)椤螪EC＝∠AEB＝180°－(∠1＋∠2)，所以∠DEC＋∠F＝180°，所以D，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓． …5分

（Ⅱ）延長GE交AB于H．因?yàn)镚D＝GC＝GF，所以點(diǎn)G是經(jīng)過D，E，C，F(xiàn)四點(diǎn)的圓的圓心．所以GE＝GC，所以∠GCE＝∠GEC． …8分又因?yàn)椤螱CE＋∠3＝90°，∠1＝∠3，所以∠GEC＋∠3＝90°，所以∠AEH＋∠1＝90°，所以∠EHA＝90°，即G