數(shù)學(xué)文化及發(fā)展第三講

數(shù)學(xué)文化及發(fā)展第三講第1頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月第三講數(shù)學(xué)發(fā)展簡史(二)三、近代數(shù)學(xué)時(shí)期四、現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期2023/7/242第2頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月

家庭手工業(yè)、作坊→工場手工業(yè)→機(jī)器大工業(yè)貿(mào)易及殖民地→航海業(yè)空前發(fā)展對運(yùn)動和變化的研究成了自然科學(xué)的中心→變量、函數(shù)

在數(shù)學(xué)史上，引人注目的17世紀(jì)是一個開創(chuàng)性的世紀(jì)。這個世紀(jì)中發(fā)生了對于數(shù)學(xué)具有重大意義的三件大事。三、近代數(shù)學(xué)時(shí)期：變量數(shù)學(xué)

（公元17世紀(jì)—19世紀(jì)初）2023/7/243第3頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月1.伽里略實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)方法

(第一件)它表明了數(shù)學(xué)與自然科學(xué)的一種嶄新的結(jié)合。其特點(diǎn)是在所研究的現(xiàn)象中，找出一些可以度量的因素，并把數(shù)學(xué)方法應(yīng)用到這些量的變化規(guī)律中去。具體可歸結(jié)為：(1)從所要研究的現(xiàn)象中，選擇出若干個可以用數(shù)量表示出來的特點(diǎn)；(2)提出一個假設(shè)，它包含所觀察各量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式；(3)從這個假設(shè)推導(dǎo)出某些能夠?qū)嶋H驗(yàn)證的結(jié)果；(4)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)觀測—改變條件—再觀測，并把觀察結(jié)果盡可能地用數(shù)值表示下來；(5)以實(shí)驗(yàn)結(jié)果來肯定或否定所提的假設(shè)；(6)以肯定的假設(shè)為起點(diǎn)，提出新假設(shè)，再度使新假設(shè)接受檢驗(yàn)。2023/7/244第4頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月2.笛卡爾的坐標(biāo)系（1637年《幾何學(xué)》）(第二件)恩格斯：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了……”笛卡爾(R.Descartes,1596-1650)2023/7/245第5頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月解析幾何是代數(shù)與幾何相結(jié)合的產(chǎn)物在《幾何學(xué)》里，笛卡爾給出了解析幾何原理，這就是利用坐標(biāo)方法把具有兩個未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面上的一條曲線。解析幾何給出了回答如下問題的途徑：（1）通過計(jì)算來解決曲線作圖的幾何問題；（2）求給定某種幾何性質(zhì)的曲線的方程；（3）利用代數(shù)方法證明新的幾何定理；（4）反過來，從幾何的觀點(diǎn)來看代數(shù)方程。因此，解析幾何是代數(shù)與幾何相結(jié)合的產(chǎn)物，在采用坐標(biāo)方法的同時(shí)，用代數(shù)方法研究幾何對象。在笛卡爾之前，從古希臘起在數(shù)學(xué)中占優(yōu)勢地位的是幾何學(xué)；解析幾何則使代數(shù)獲得更廣的意義和更高的地位。2023/7/246第6頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.牛頓和萊布尼茲的微積分（17世紀(jì)后半期）

(第三件)微積分的起源主要來自解決兩個方面問題的需要：一是力學(xué)的一些新問題，已知路程對時(shí)間的關(guān)系求速度;已知速度對時(shí)間的關(guān)系求路程；二是幾何學(xué)的一些老問題，作曲線在某點(diǎn)的切線問題，及求面積和體積的問題。2023/7/247第7頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月牛頓：IsaacNewton(1642年12月25日~1727年3月31日)

1661入劍橋大學(xué)1667.10三一學(xué)院成員1669盧卡斯教授1696倫敦造幣局1672皇家學(xué)會會員1703皇家學(xué)會會長1705封爵2023/7/248第8頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月萊布尼茨(GottfriendWilhelmLeibniz，1646-1716)2023/7/249第9頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月4．微分方程、變分法、微分幾何、復(fù)變函數(shù)、概率論※微分方程：研究的是這樣一種方程，方程中的未知項(xiàng)不是數(shù)，而是函數(shù)?！兎址ǎ貉芯康氖沁@樣一種極值問題，所求的極值不是點(diǎn)或數(shù)，而是函數(shù)?！⒎謳缀危菏顷P(guān)于曲線和曲面的一般理論?！鶑?fù)變函數(shù)：研究的是復(fù)數(shù)函數(shù)的微積分?！怕收摚貉芯侩S機(jī)現(xiàn)象的一門數(shù)學(xué)。2023/7/2410第10頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月5．代數(shù)基本定理（1799年）※這一時(shí)期代數(shù)學(xué)的主題仍然是代數(shù)方程?！?8世紀(jì)的最后一年，高斯的博士論文給出了具有重要意義的“代數(shù)基本定理”的第一個證明?！摱ɡ頂嘌裕趶?fù)數(shù)范圍里，n次多項(xiàng)式方程有n個根。

2023/7/2411第11頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月高斯（C.F.Gauss,1777-1855）2023/7/2412第12頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月“分析”、“代數(shù)”、“幾何”三大分支在18世紀(jì)，由微積分、微分方程、變分法等構(gòu)成的“分析”，已經(jīng)成為與代數(shù)、幾何并列的數(shù)學(xué)的三大學(xué)科，并且在這個世紀(jì)里，其繁榮程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了代數(shù)和幾何。第三時(shí)期（近代數(shù)學(xué)時(shí)期）的基本結(jié)果，如解析幾何、微積分、微分方程，高等代數(shù)、概率論等，已成為高等學(xué)校數(shù)學(xué)教育的主要內(nèi)容。還有:偏微方程(數(shù)學(xué)物理方程)、保險(xiǎn)統(tǒng)計(jì)科學(xué)、微分幾何、數(shù)論等數(shù)學(xué)的發(fā)展。2023/7/2413第13頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月

四、現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期（19世紀(jì)20年代—

）進(jìn)一步劃分為三個階段：現(xiàn)代數(shù)學(xué)醞釀階段（1820——1870年）；現(xiàn)代數(shù)學(xué)形成階段（1870——1950年）；現(xiàn)代數(shù)學(xué)繁榮階段（1950——現(xiàn)在）。

這一時(shí)期雖然還不到二百年的時(shí)間，內(nèi)容卻非常豐富，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了過去所有數(shù)學(xué)的總和。

鑒于本課程的性質(zhì)，對于這一時(shí)期的數(shù)學(xué)內(nèi)容，我們只作簡略的介紹。2023/7/2414第14頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期（19世紀(jì)20年代——

）

1．羅巴切夫斯基、高斯、波約爾、黎曼的“非歐幾何”2．希爾伯特的“公理化體系”

3.阿貝爾和伽羅華的“近世代數(shù)或抽象代數(shù)”

4．柯西、威爾斯特拉斯等人的“數(shù)學(xué)分析”

5.康托的“集合論”6．黎曼開創(chuàng)的“現(xiàn)代微分幾何”

7．龐加萊創(chuàng)立的“拓?fù)鋵W(xué)”

8.其它：數(shù)論、隨機(jī)過程、數(shù)理邏輯、組合數(shù)學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、分形與混沌等等。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期的結(jié)果，也成為高校數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)等學(xué)科數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容，并被科技工作者所使用。2023/7/2415第15頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月1、集合論悖論與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究

康托的集合論與數(shù)學(xué)的關(guān)系從來沒有順利過。1900年左右，正當(dāng)康托的思想逐漸被人接受時(shí)，一系列完全沒有想到的邏輯矛盾，在集合論里的邊緣被發(fā)現(xiàn)了。開始，人們并不直接稱之為矛盾，而是只把它們看成數(shù)學(xué)中的奇特現(xiàn)象。人們認(rèn)為，集合的概念結(jié)構(gòu)的組成還沒有達(dá)到十分令人滿意的程序，只需對基本定義修改，一切事情都會好起來。

函數(shù)定義：設(shè)X是一個非空集合，Y是非空數(shù)集，f是個對應(yīng)法則，若對X中的每個x，按對應(yīng)法則f，使Y中存在唯一的一個元素x與之對應(yīng)，就稱對應(yīng)法則f是X上的一個函數(shù)，記作y=f（x）2023/7/2416第16頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月康托(1845～1918)

2023/7/2417第17頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月2、純數(shù)學(xué)的發(fā)展

20世紀(jì)初，除了圍繞驚心動魄的關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)所展開的爭論之外，由19世紀(jì)70年代以來發(fā)展起來的數(shù)學(xué)的抽象化和公理化的趨勢一直受人重視，人們已經(jīng)意識到抽象理論幾乎具有囊括一切的本領(lǐng)。建立起這樣的抽象理論成為許多數(shù)學(xué)家的奮斗目標(biāo)，在20世紀(jì)產(chǎn)生的眾多的純粹數(shù)學(xué)中，最具有代表性的應(yīng)當(dāng)屬拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析和抽象代數(shù)學(xué)。這三門學(xué)科可以說是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的三大理論支柱。時(shí)至今日，人們似乎形成了這樣的一個觀念，一個人不能閱讀用抽象代數(shù)、拓?fù)浜头汉治龅恼Z言寫成的書籍，就不能自認(rèn)為真正掌握了現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識。2023/7/2418第18頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）拓?fù)鋵W(xué)

有關(guān)拓?fù)鋵W(xué)的某些問題可以追溯到17世紀(jì)，1679年萊布尼茲發(fā)表《幾何特性》一文，試圖闡述幾何圖形的基本幾何特點(diǎn)，采用特別的符號來表示它們，并對它們進(jìn)行運(yùn)算來產(chǎn)生新的性質(zhì)。萊布尼茲把他的研究叫做位置分析或位置幾何學(xué)，并另外宣稱應(yīng)建立一門能直接表示位置的真正幾何的學(xué)問，這是拓?fù)鋵W(xué)的先聲。

另一個是1736年，歐拉解決了著名的哥尼斯堡七橋問題：2023/7/2419第19頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/7/2420第20頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月

哥尼斯堡七橋問題

歐拉首先把島和岸都抽象成“點(diǎn)”，把橋抽象成線。把哥尼斯堡七橋問題抽象成“一筆畫問題”：筆尖不離開紙面，一筆畫出給定圖形，不允許重復(fù)任何一條線，這簡稱為“一筆畫”。

“一筆畫”的必要條件是“圖形中的奇節(jié)點(diǎn)不多于兩個?？锤缒崴贡て邩騿栴}，圖形中有四個奇節(jié)點(diǎn)，因此該圖形不能一筆畫。難怪對于“不重復(fù)地走過七座橋”的游戲，所有的嘗試都失敗了。

我們深刻地感到數(shù)學(xué)抽象的強(qiáng)大威力，它也開創(chuàng)了拓?fù)鋵W(xué)的先河。

2023/7/2421第21頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月伽羅華(1811-1832)

阿貝爾(1802-1829)（2）泛函分析（不多解釋）（3）抽象代數(shù)學(xué)

2023/7/2422第22頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月代數(shù)的質(zhì)變：群、環(huán)、域等代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究伽羅華在19世紀(jì)，代數(shù)也出現(xiàn)質(zhì)的變化．以往的代數(shù)是關(guān)于數(shù)字的算術(shù)運(yùn)算學(xué)說，現(xiàn)在這種算術(shù)運(yùn)算是脫離了具體數(shù)字在一般形態(tài)上形式地加以考察．現(xiàn)代代數(shù)理論是19世紀(jì)從許多數(shù)學(xué)家的研究中形成的，其中尤以法國數(shù)學(xué)家伽羅華著稱．群論與線性代數(shù)是現(xiàn)代代數(shù)中內(nèi)容豐富的兩個分支．

2023/7/2423第23頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月伽羅華（EacutevaristeGalois，公元1811年-公元1832年）是對函數(shù)論、方程式論和數(shù)論作出重要貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家，他的工作為群論（一個他引進(jìn)的名詞）奠定了基礎(chǔ)；所有這些進(jìn)展都源自他尚在校就讀時(shí)欲證明五次多項(xiàng)式方程解（SolutionbyRadicals）的不可能性（其實(shí)當(dāng)時(shí)已為阿貝爾（Abel）所證明，只不過伽羅華并不知道），和描述任意多項(xiàng)式方程可解性的一般條件的打算。雖然他己經(jīng)發(fā)表了一些論文，但當(dāng)他于1829年將論文送交法蘭西科學(xué)院時(shí)，第一次所交論文卻被柯西（Cauchy）遺失了，第二次則被傅立葉（Fourier）所遺失；他還因撰寫反君主制的文章而被開除，且因信仰共和體制而兩次下獄。他第三次送交科學(xué)院的論文亦為泊松（Poisson）所拒絕。伽羅華死于一次決斗，可能是被?；逝苫蚓剿づ?，時(shí)年21歲。他被公認(rèn)為數(shù)學(xué)界兩個最具浪漫主義色彩的人物之一。

后來的一些著名數(shù)學(xué)家們說，他的死使數(shù)學(xué)的發(fā)展被推遲了幾十年。2023/7/2424第24頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月年輕氣盛的伽羅華為了一個舞女，卷入了一場他所謂的“愛情與榮譽(yù)”的決斗。伽羅華非常清楚對手的槍法很好，自己難以擺脫死亡的命運(yùn)，所以連夜給朋友寫信，倉促地把自己生平的數(shù)學(xué)研究心得扼要寫出，并附以論文手稿。

他不時(shí)的中斷，在紙邊空白處寫上“我沒有時(shí)間，我沒有時(shí)間”，然后又接著寫下一個極其潦草的大綱。他在天亮之前那最后幾個小時(shí)寫出的東西，為一個折磨了數(shù)學(xué)家們幾個世紀(jì)的問題找到了真正的答案，并且開創(chuàng)了數(shù)學(xué)的一片新的天地。

伽羅華對自己的成果充滿自信，他在給朋友舍瓦利葉的信中說：“我在分析方面做出了一些新發(fā)現(xiàn)。有些是關(guān)于方程論的；有些是關(guān)于整函數(shù)的……。公開請求雅可比或高斯，不是對這些定理的正確性，而是對這些定理的重要性發(fā)表意見。我希望將來有人發(fā)現(xiàn)，這些對于消除所有有關(guān)的混亂是有益的?！?/p>

在決斗場上，伽羅華被打穿了腸子。歷史學(xué)家們曾爭論過這場決斗是一個悲慘的愛情事件的結(jié)局，還是出于政治動機(jī)造成的，但無論是哪一種，一位世界上最杰出的數(shù)學(xué)家在他20歲時(shí)被殺死了，他研究數(shù)學(xué)才只有五年。2023/7/2425第25頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月阿貝爾（Abel，NielsHenrik，1802～1829）

阿貝爾出生在挪威牧師家庭，1817年在他的教師霍姆伯厄的幫助下嶄露頭角?；裟凡虮旧碓跀?shù)學(xué)上沒有什么成就，是一個稱職但決不是很有才氣的數(shù)學(xué)家。他在科學(xué)上的貢獻(xiàn)，就是發(fā)掘了阿貝爾的數(shù)學(xué)才能，而且成為他的忠誠朋友。阿貝爾死后，霍姆伯厄收集出版了他的研究成果。在中學(xué)的最后一年，阿貝爾開始試圖解決困擾了數(shù)學(xué)界幾百年的五次方程求根問題，不久便認(rèn)為得到了答案。手稿寄給丹麥當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家達(dá)根。他只給了阿貝爾一些可貴的忠告，就在同時(shí)，阿貝爾也發(fā)現(xiàn)了自己推理中的缺陷。這次失敗把他推上了正確的途徑，使他懷疑一個代數(shù)解是否可能。后來他終于證明了五次方程不可解，而那已經(jīng)是他19歲時(shí)的事情了。2023/7/2426第26頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月被年邁的權(quán)威耽誤1823年夏,一位教天文學(xué)的教授給阿貝爾一筆錢去哥本哈根見達(dá)根。從丹麥回來后阿貝爾重新開始，總算正確解決了這個幾百年來的難題：即五次方程不存在代數(shù)解。后來數(shù)學(xué)上把這個結(jié)果稱為阿貝爾-魯芬尼定理。阿貝爾自掏腰包在當(dāng)?shù)氐挠∷^印刷他的論文。因?yàn)樨毟F，為了減少印刷費(fèi)，他把結(jié)果緊縮成只有六頁的小冊子。他滿懷信心地把這小冊子寄給外國的數(shù)學(xué)家，包括高斯。可惜文章太簡潔了，沒有人能看懂。高斯收到這小冊子時(shí)連拿起刀來裁開書頁來看內(nèi)容也懶得做，就把它扔在書堆里了。在政府資助下阿貝爾出國深造。他不再去找高斯，而是到了法國，當(dāng)時(shí)的法國皇家科學(xué)院正被柯西、泊松、傅里葉、安培和勒讓德等年邁的大家們把持，學(xué)術(shù)氣氛非常保守，對年青人的工作并不重視。他曾寄過一份長篇論文《關(guān)于非常廣泛的一類超越函數(shù)的一般性質(zhì)的論文》給他們，論文交到了勒讓德手上，勒讓德看不大懂，就轉(zhuǎn)給柯西。多產(chǎn)的柯西正忙著自己的工作，把論文隨便翻翻丟在一個角落里去了。2023/7/2427第27頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月阿貝爾失望地回到柏林。在那里他病倒了，更不幸的是他不知道自己已患上了肺結(jié)核病。當(dāng)時(shí)他只剩下大約七元錢，只好掉頭回國。沒多久，阿貝爾很幸運(yùn)地被推薦到軍事學(xué)院教授力學(xué)和理論天文學(xué)，以便安心繼續(xù)從事橢圓函數(shù)的研究。1828年夏天他一直生病發(fā)燒咳嗽，人也變的消沉，感到前途真是暗淡無光，而且無法擺脫靠他養(yǎng)活的家人的負(fù)擔(dān)。他們直到最后一直纏著他，實(shí)際上弄得他自己一無所有，可是直到最后他也從沒有說過一句不耐煩的話。那年的冬天很冷，他咳嗽、發(fā)抖，覺得胸部不適，但是在朋友面前他裝作若無其事，而且常開玩笑，以掩飾他身體的不舒服。1829年14月6日，阿貝爾去世，在他死后兩天，接到了柏林大學(xué)的數(shù)學(xué)教授的任命。阿貝爾生活的平淡無奇，而他在純數(shù)學(xué)上貢獻(xiàn)又只存在于極少的專業(yè)人士的心中。2023/7/2428第28頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3、應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展

20世紀(jì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)變得抽象化的同時(shí)，數(shù)學(xué)應(yīng)用的范圍也變得更加廣泛了。數(shù)學(xué)不僅僅應(yīng)用于天文、物理、力學(xué)等傳統(tǒng)的領(lǐng)域，而且涉及到了人們以往認(rèn)為的與數(shù)學(xué)的相互關(guān)系不大的生物、地理、化學(xué)等領(lǐng)域。今天，可以說幾乎所有的科學(xué)領(lǐng)域都滲入了數(shù)學(xué)的概念和方法，而數(shù)學(xué)本身由于在這些學(xué)科上的應(yīng)