數(shù)學(xué)模型中的因子分析法

數(shù)學(xué)模型中的因子分析法第1頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月主成分分析法：就是設(shè)法將原來(lái)的具有一定相關(guān)性的變量或者指標(biāo)，重新組成一組新的相互無(wú)關(guān)的少數(shù)幾個(gè)綜合變量或指標(biāo)，以此代替原來(lái)的變量或指標(biāo)。簡(jiǎn)單的說(shuō)就是降維。應(yīng)用：綜合評(píng)價(jià)（系統(tǒng)評(píng)估）第2頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：對(duì)我國(guó)上市公司的經(jīng)濟(jì)效益進(jìn)行綜合評(píng)判。

上市公司資金利稅率x1產(chǎn)值利稅率x2百元銷(xiāo)售成本利潤(rùn)x3百元銷(xiāo)售收入利稅x4流動(dòng)資金周轉(zhuǎn)次數(shù)x5主營(yíng)利潤(rùn)增長(zhǎng)率x6qinghua5.418.052.092.431.307.51beida7.218.544.515.261.4310.44hualian8.389.524.275.071.7010.49xinya6.319.973.634.591.297.21yanzhong8.971.431.731.181.105.22shuiyun3.746.470.330.390.985.24cengxin3.635.79-1.09-1.291.174.71qingshan14.475.977.621.371.2010.56pudong8.188.203.414.011.7512.13第3頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月主成分分析步驟：1.將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化，標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)矩陣仍記X陣。2.求矩陣X的相關(guān)系數(shù)陣3.求R的全部特征根i及相應(yīng)的特征向量()。4.根據(jù)前k個(gè)主分量累計(jì)貢獻(xiàn)率大?。ā疲_定主成分（因子）個(gè)數(shù)。根據(jù)具體指標(biāo)內(nèi)容和指標(biāo)變量系數(shù)大小解釋主成分含義。用每個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率作權(quán)數(shù)，給出多指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)值。第4頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

EigenvaluesoftheCorrelationMatrixEigenvalueDifferenceProportionCumulative14.047670163.037348020.67460.674621.010322140.302483690.16840.843030.707838450.553001900.11800.961040.154836550.100373280.02580.986850.054463270.029593850.00910.995960.024869420.00411.0000第5頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第6頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月ObsPrin1Prin2Prin3Prin4Prin5Prin61-0.38118-0.32367-0.044500.303630.004300.0643720.57795-0.354160.492790.55119-0.187260.1741430.69219-0.215880.405570.40041-0.104610.0539340.22635-0.394190.275210.632960.13851-0.064815-0.82981-0.402930.47330-0.42964-0.55401-0.350206-1.19410-0.40627-0.368480.140000.022210.010637-1.63568-0.26394-0.67179-0.151890.01702-0.0376980.95195-0.461561.61851-0.925200.083940.2553090.46501-0.148880.190700.16273-0.303270.2088310-1.45693-0.18670-0.55658-0.17088-0.10267-0.0092211-0.294013.71727-0.02727-0.02382-0.064190.03517120.080410.225421.716940.127180.45539-0.2666813-2.11628-0.16312-0.90179-0.167840.14422-0.0333414-0.94513-0.31477-0.395130.097600.11375-0.03132156.74015-0.06989-1.12895-0.166180.04080-0.1139416-0.88090-0.23673-1.07853-0.380250.295890.10482第7頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月用于系統(tǒng)評(píng)估的方法：關(guān)鍵問(wèn)題是如何科學(xué)的客觀地將一個(gè)多指標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單指標(biāo)問(wèn)題第一種方法：用第一主成分得分y=F1.

必須要求：所有系數(shù)均為正第二種方法：將主成分F1,F2,Fm進(jìn)行線性組合,系數(shù)為方差貢獻(xiàn)率第8頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

yidiyizhuchengfenpaixv13:30Saturday,July17,199935

namePrin1x1x2x3x4x5x6

laigang-2.116282.175.70-2.11-2.571.343.21cengxin-1.635683.635.79-1.09-1.291.174.71xinbai-1.456934.275.35-0.71-0.831.385.68shuiyun-1.194103.746.470.330.390.985.24guangsha-0.945134.657.800.530.651.185.82chanhong-0.880905.6510.63-0.92-1.191.088.84yanzhong-0.829818.971.431.731.181.105.22Qinghua-0.381185.418.052.092.431.307.51guoji-0.294018.078.690.730.8910.7510.16zonghang0.080419.666.276.692.633.051.64xinya0.226356.319.973.634.591.297.21pudong0.465018.188.203.414.011.7512.13beida0.577957.218.544.515.261.4310.44hualian0.692198.389.524.275.071.7010.49qingshan0.9519514.475.977.621.371.2010.56xiaxin6.7401525.9533.526.9615.381.5136.89

第9頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月統(tǒng)計(jì)軟件SAS(關(guān)于主成分分析）數(shù)據(jù)的輸入（介紹兩種方法）

data數(shù)據(jù)名（haimen);inputname$x1x2x3x4x5x6;card;qinghua50122run;

外部文件轉(zhuǎn)化為SAS數(shù)據(jù)集：已知c盤(pán)根目錄下文件名test.dat為的數(shù)據(jù)文件張三男82956478data數(shù)據(jù)名（chengji);infile‘c:\test.dat’;inputname$sex$chinesemathsenglishchemisty;run;

第10頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月主成分分析Procprincompn=6out=out1;varx1-x6;run;procprintdata=out1;varprin1-prin6;run;第11頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)據(jù)預(yù)處理一致性處理：越大越差、越大越好歸一化處理（去量綱）：

(x-max(xi))/極差，x/max(xi),

標(biāo)準(zhǔn)化處理（x-均值）/方差第12頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第二篇因子模型因子分析是統(tǒng)計(jì)中一種重要的分析方法，他的主要特點(diǎn)在于能探索不易觀測(cè)或不能觀察的潛在因素。它在社會(huì)調(diào)查、氣象、地質(zhì)等方面有廣泛應(yīng)用。第13頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若有n個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生考五門(mén)課，考試成績(jī)反映了學(xué)生的素質(zhì)和能力，理解能力，邏輯能力，記憶能力，對(duì)文字符號(hào)概念的反應(yīng)速度，能否從學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)?nèi)ふ页龇从尺@些能力的量。第14頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因子模型為:其中：為原指標(biāo),稱(chēng)為的公共因子或潛因子,為的特殊因子可將上式寫(xiě)成矩陣表示形式：稱(chēng)為因子載荷陣

第15頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因子分析步驟：前四步驟與主成分步驟相同，在此略。5.求初始因子載荷陣A。6.若公因子的含義不清楚，不便于實(shí)際解釋時(shí)，將初始因子陣作旋轉(zhuǎn)處理，直到達(dá)到要求。7.根據(jù)因子載荷大小說(shuō)明因子具體含義。將因子表示成原指標(biāo)變量線性組合，估計(jì)因子得分。用每個(gè)因子的貢獻(xiàn)率作權(quán)數(shù)，給出多指標(biāo)綜合評(píng)價(jià)值。第16頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因子載荷陣的統(tǒng)計(jì)意義模型中載荷矩陣中的元素稱(chēng)為因子載荷。因子載荷是與的協(xié)方差，也是與的相關(guān)系數(shù)，它表示依賴(lài)的程度?？蓪⒖醋鞯趇個(gè)變量在第j個(gè)公共因子上的權(quán)，的絕對(duì)值越大，表明與的相依程度越大，或稱(chēng)公共因子對(duì)于的載荷量越大。為了得到因子分析結(jié)果的經(jīng)濟(jì)解釋?zhuān)蜃虞d荷矩陣A中有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量十分重要，即變量共同度和公共因子的方差貢獻(xiàn)。第17頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月變量共同度因子載荷矩陣中第i行元素之平方和記為，即，稱(chēng)為變量的共同度。它是全部公共因子對(duì)的方差所做出的貢獻(xiàn)，反映了全部公共因子對(duì)變量的影響。越大表明對(duì)于F的每一分量的共同依賴(lài)程度大。第18頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

公共因子的方差貢獻(xiàn)將因子載荷矩陣的第j列的各元素的平方和記為，即，稱(chēng)為公共因子對(duì)x的方差貢獻(xiàn)。就表示第j個(gè)公共因子對(duì)于的每一分量所提供方差的總和，它是衡量公共因子相對(duì)重要性的指標(biāo)。越大，表明公共因子對(duì)x的貢獻(xiàn)越大,如果將因子載荷矩陣的所有都計(jì)算出來(lái)，使其按照大小排序，就可以依此提煉出最有影響力的公共因子。第19頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因子載荷陣A（主成分法）一般設(shè)為樣本相關(guān)陣R的特征根，為對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交化特征向量。則因子載荷陣A的一個(gè)解為：

第20頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因子旋轉(zhuǎn)建立因子分析模型的目的不僅是找出主因子，更重要的是知道每個(gè)公共因子的意義，以便對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析。如果求出主因子解后，各個(gè)主因子的典型代表變量不很突出，我們就可以利用因子載荷陣的不唯一性這一特點(diǎn)對(duì)得到的因子模型進(jìn)行旋轉(zhuǎn)使得變換后的公共因子和載荷陣有明顯的實(shí)際意義。最常用的方法是最大方差正交旋轉(zhuǎn)法(Varimax)。進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，就是要使因子載荷矩陣中因子載荷的平方值向0和1兩個(gè)方向分化，使大的載荷更大，小的載荷更小。接近于1的表明公因子與的相關(guān)性很強(qiáng)，在很大的程度上解釋了的變化；接近于0的表明與的相關(guān)性很弱。。第21頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：對(duì)我國(guó)上市公司的經(jīng)濟(jì)效益進(jìn)行因子分析Procfactormethod=principaln=2rotate=varinmaxall;Varx1-x6;Run;第22頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Factor1=0.95056x1+0.89158x2+0.75108x3