數(shù)學(xué)物理方程 格林函數(shù)法

數(shù)學(xué)物理方程格林函數(shù)法第1頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月

利用格林函數(shù)法求解一些平面或空間區(qū)域上位勢方程狄利克雷問題。介紹利用格林函數(shù)法求解一維熱傳導(dǎo)方程和波動方程半無界問題本章中心內(nèi)容第2頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月

格林（Green）函數(shù)，又稱為點(diǎn)源影響函數(shù)，是數(shù)學(xué)物理中的一個重要概念．格林函數(shù)代表一個點(diǎn)源在一定的邊界條件下和初始條件下所產(chǎn)生的場．知道了點(diǎn)源的場，就可以用疊加的方法計算出任意源所產(chǎn)生的場．

格林函數(shù)法是解數(shù)學(xué)物理方程的常用方法之一．第3頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月5.1Green公式

在研究Laplace方程和Poisson方程邊界問題的時候，要經(jīng)常利用格林公式，它是高等數(shù)學(xué)中Gauss公式的直接推廣。設(shè)為中的區(qū)域，充分光滑。設(shè)k為非負(fù)整數(shù)，以下用表示在上具有k階連續(xù)偏導(dǎo)的實(shí)函數(shù)全體，表示在上具有k階連續(xù)偏導(dǎo)的實(shí)函數(shù)全體。如表示在具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上連續(xù)。如將簡記為，簡記為或，等等。設(shè)和，則如下的高斯公式第4頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月或者如果引入哈密爾頓（Hamilton)算子：并記F=(P,Q,R),則Gauss公式具有如下簡潔性式其中為的單位外法向量。注1哈密爾頓算子是一個向量性算子，它作用于向量函數(shù)F=(P,Q,R)時，其運(yùn)算定義為第5頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月形式上相當(dāng)于兩個向量作點(diǎn)乘運(yùn)算，此即向量F的散度divF。而作用于數(shù)量函數(shù)f(x,y,z)時，其運(yùn)算定義為形式上相當(dāng)于向量的數(shù)乘運(yùn)算，此即向量函數(shù)的梯度grad、設(shè)在(3)式中取得直接計算可得將(5)式帶入到(4)式中，并整理得其中(6)式稱為格林第一公式第6頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月將（6）中函數(shù)u、v的位置互換，得（6）-（7），得（8）稱為格林第二公式。設(shè)，點(diǎn)，。引入函數(shù)，注意是關(guān)于六個變元和的函數(shù)，且第7頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月又兩邊對x求偏導(dǎo)，得即所以對（*）再對x求偏導(dǎo)，得整理，得第8頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月由對稱性，得所以即在中除點(diǎn)外處處滿足拉普拉斯方程。

設(shè)充分小使得記，則，在格林第二公式中，令，注意到，則有第9頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月或在球面上，有或因此第10頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月其中------積分中值定理

同理可得其中------積分中值定理

將（10）和（11）帶入到（9），得到令此時有第11頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月并且區(qū)域G趨向于區(qū)域，所以可得即（12）稱為格林第三公式。注2在二維情況中，格林第一公式和格林第二公式也成立。而對于格林第三公式，需要取格林第三公式，需要取此時，格林第三公式也成立。第12頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月5.2Laplace方程基本解和Green函數(shù)基本解做研究偏微分方程時起著重要的作用。這里首先介紹拉普拉斯方程的基本解，并做一些特殊區(qū)域上由基本解生產(chǎn)格林函數(shù)，由此給出相應(yīng)區(qū)域上的拉普拉斯方程或泊松方程邊值問題的解的表達(dá)式。5.2.1基本解設(shè)，若做點(diǎn)放置一單位正電荷，則該電荷在空間產(chǎn)生的點(diǎn)位分布為（舍去介電常數(shù)）電場中某點(diǎn)的電位是指在電場中將單位正電荷從該點(diǎn)移至電位參考點(diǎn)時電場力所做的功。上節(jié)已證在廣義函數(shù)意義下，第13頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月其中三維拉普拉斯方程的通解為：如果取就得到一個重要的特解，前面記作，與點(diǎn)選擇有關(guān)。稱為三維拉普拉斯方程的基本解。當(dāng)n=2時，二維拉普拉斯方程的基本解為其中。有在廣義函數(shù)意義下，第14頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月5.2.2格林函數(shù)考慮如下定解問題設(shè)為上述問題的解，則由格林第三公式，得由定解問題（5）（6）的自由項(xiàng)和邊值條件，可得和而在中，在邊界上的值未知，因此須進(jìn)一步處理。注如果邊界條件改為諾依曼條件，即定解問題變?yōu)榈?5頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月由格林第三公式，得須做進(jìn)一步處理。如何由格林第三公式得到定解問題（5）（6）的解？主要是如何消去。----構(gòu)造格林函數(shù)。設(shè)h為如下定解問題的解在格林第二公式第16頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月中，取v=h，得或則（7）+（10）得其中由第17頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月及可知，是如下定解問題的解稱為拉普拉斯方程在區(qū)域上的格林函數(shù)。由于G在上恒為0，又可得第18頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，若求出了區(qū)域上的格林函數(shù)，則便是定解問題的解。第19頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3半空間及圓域上的Dirichlet問題由前面的分析，我們可以看出，只要求出了給定區(qū)域上的格林函數(shù)，就可以得到該區(qū)域泊松方程狄利克雷問題的解。對一般區(qū)域，求格林函數(shù)并非易事。但對于某些特殊區(qū)域，可有一些方法。5.3.1半空間上的狄利克雷問題

設(shè)考慮定解問題

設(shè)，則為關(guān)于的對稱點(diǎn)。若在兩點(diǎn)各放置一個單位正電荷，則由三維拉普拉斯方程的基本解得知，它們做空間產(chǎn)生點(diǎn)位分別為第20頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月其中。由于關(guān)于對稱，且，則有即為上半空間的格林函數(shù)，且有直接計算可得第21頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月又第22頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月例1

求解下列定解問題解：第23頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第24頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月例2求解下列定解問題解：第25頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月練解第26頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月5.3.2圓域上的狄利克雷問題

設(shè)

考慮圓域上的狄利克雷問題

設(shè)為關(guān)于圓周的對稱點(diǎn)，即因此，對任意有，即所以第27頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月這說明函數(shù)在上恒為零。有由于，故即是圓域上的格林函數(shù)。引入極坐標(biāo)，設(shè)則用表示與的夾角，則有利用余弦定理，有第28頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月將上面兩式帶入到格林函數(shù)有第29頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月計算記，則有第30頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月這既是定解問題的解。第31頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第32頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第34頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第38頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第39頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第40頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第41頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第42頁，課件共50頁，創(chuàng)作于2023年2月第43頁，課件共50