有理系數多項式

有理系數多項式第1頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月二、本原多項式1.定義設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0

是一有理系數多項式.選取適當的整數c

乘f(x)，總可以使c

f(x)是一整系數多項式.如果c

f(x)的各項系數有公因子，就可以提出來，得到第2頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月c

f(x)=d

g(x)，也就是其中g(x)是整系數多項式，且各項系數沒有異于1的公因子.例如第3頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月定義10

如果一個非零的整系數多項式g(x)=bnxn+bn-1xn-1+…+b0

的系數bn,bn-1,…,b0

沒有異于1的公因子，也就是說，它們是互素的，它就稱為一個本原多項式.上面的分析表明，任何一個非零的有理系數多項式f(x)都可以表示成一個有理數r

與一個本原多項式g(x)的乘積，即第4頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月f(x)=r

g(x).可以證明，這種表示法除了差一個正負號是唯一的.亦即，如果f(x)=r

g(x)=r1

g1(x),其中g(x),g1(x)都是本原多項式，r=

r1,g(x)=

g1(x).因為f(x)與g(x)只差一個常數倍，所以f(x)的因式分解問題，可以歸結為本原多項式g(x)的因那么必有第5頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月式分解問題.下面我們進一步指出，一個本原多項式能否分解成兩個次數較低的有理系數多項式的乘乘積的問題是一致的.積與它能否分解成兩個次數較低的整系數多項式的作為準備，我們先證2.性質定理10(高斯(Gauss)引理)

兩個本原多項式的乘積還是本原多項式.第6頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月證明設g(x)=bmxm+bm-1xm-1+…+b0

f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0,是兩個本原多項式，h(x)=f(x)g(x)=dn+mxn+m+dn+m-1xn+m-1+…+d0

是它們的乘積.我們用反證法.如果h(x)不是本原的，也就是說h(x)的系數dn+m,dn+m-1

,…,d0

有而第7頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月一異于1的公因子，那么就有一個素數p

能整除h(x)的每一個系數.因為f(x)是本原的，所以p

不能同時整除f(x)的每一個系數.令ai

是第一個不能被p

整除的系數，即p|a0,…,p|ai-1,p|ai.同樣地，g(x)也是本原的，令bj是第一個不能被p

整除的系數，即p|b0,…,p|bj-1,p|bj.第8頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月我們來看h(x)的系數di+j,由乘積的定義di+j=aibj+ai+1bj-1+ai+2bj-2+...+ai-1bj+1+ai-2bj+2+….由上面的假設，p

整除等式左端的di+j

，p

整除右端aibj

以外的每一項，但是p

不能整除aibj

.這是不可能的.這就證明了，h(x)一定也是本原多項式.證畢第9頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月三、整系數多項式的分解定理定理11

如果一非零的整系數多項式能夠分解成兩個次數較低的有理系數多項式的乘積,那么它一定能分解成兩個次數較低的整系數多項式的乘積.證明設整系數多項式f(x)有分解式f(x)=g(x)h(x)，其中g(x),h(x)是有理系數多項式，且(g(x))<(f(x))，(h(x))<(f(x)).第10頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月令f(x)=af1(x)，g(x)=rg1(x)，h(x)=sh1(x)，這里f1(x)，g1(x)，h1(x)都是本原多項式，a是整數，r,s

是有理數.于是af1(x)=rsg1(x)h1(x).由g1(x)h1(x)是本原多項式，從而rs=a.這就是說，rs是一整數.因此，我們有第11頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月f(x)=(rsg1(x))h1(x).這里rsg1(x)與h1(x)都是整系數多項式，且次數都低于f(x)的次數.證畢由定理的證明容易得出推論

設f

(x)，g

(x)是整系數多項式，且g

(x)是本原的.如果

f

(x)=g

(x)h

(x)，其中h

(x)是有理系數多項式，那么

h

(x)一定是整系數的.第12頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月四、整系數多項式的有理根的求法定理12

設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一個整系數多項式，而是它的一個有理根，其中r,s

互素，那么必有s|an,r|a0.特別地，如果

f(x)的首項系數an=1，那么f(x)的有理根都是整數，而且是a0的因子.第13頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月證明因為是f(x)

的一個有理根.因此在有理數域上從而(sx-r)|f(x).因為

r,s

互素，所以sx-r是一個本原多項式.根據上述第14頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月f(x)=(sx-r)(bn-1xn-1+…+b0),式中bn-1,…,b0都是整數.比較兩邊系數，即得an

=sbn-1,a0=-rb0.因此s|an,r|a0.證畢第15頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月五、舉例例1

求方程2x4-x3+2x-3=0的有理根.解這個方程的有理根只可能是用剩余除法可以得出，除去1以外全不是它的根，因之這個方程的有理根只有x=1.第16頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月例2

證明f(x)=x3-5x+1在有理數域上不可約.證明如果f(x)可約，那么它至少有一個一次因子，也就是有一個有理根.但是f(x)的有理根只可能是1.直接驗算可知1全不是根，因而f(x)在有理數域上不可約.第17頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月六、整系數多項式不可約的條件定理13(艾森斯坦(Eisenstein)判別法)

設f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a0是一個整系數多項式.如果有一個素數p,使得1.

p

|

an;2.

p

|

an-1,an-2,…,a0;3.

p2

|

a0;那么f(x)在有理數域上是不可約的.第18頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月證明如果f(x)在有理數域上可約，那么由f(x)可分解成兩個次數較低的整系數多項式的乘積：f(x)=(blxl+bl-1xl-1+…+b0)(cmxm+cm-1xm-1+…+c0)(l,m<n,l+m=n).因此an=blcm,a0=b0c0.因為p|a0,所以p能整除b0或c0.但p2|a0,第19頁，課件共21頁，創(chuàng)作于2023年2月所以p

不能同時整除b0及c0.因此不妨假設p|b0

但p|c0.另一方面，因為p|an,所以p|bl.假設b0,b1,…,bl

中第一個不能被p

整除的是bk.比較f(x)中xk

的系數，得等式ak=bkc0+bk-1c1+…+b0ck.式中ak