數(shù)學(xué)物理方法 變分法

數(shù)學(xué)物理方法變分法第1頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

如果某個(gè)定解問(wèn)題不能嚴(yán)格解出，但另一個(gè)與它差別甚微的定解問(wèn)題能嚴(yán)格解出，那么就可以運(yùn)用微擾法求近似解．量子力學(xué)教科書中一般都要介紹微擾法，限于課時(shí)，這里就不再重復(fù)介紹．近似解法涉及：變分法，有限差分法和模擬法等．

變分法是研究求解泛函極值（極大或極?。┑姆椒?，變分問(wèn)題即是求泛函的極值問(wèn)題．把定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題，再求變分問(wèn)題的解．第2頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月變分法的優(yōu)點(diǎn):

(2)

變分法易于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的統(tǒng)一化．因?yàn)橐话愣?，?shù)學(xué)物理方程的定解問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題．尤其是前面介紹的斯特姆－劉維爾本征值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題，變分法提供了施－劉型本征值問(wèn)題的本征函數(shù)系的完備性等結(jié)論的證明；(1)變分法在物理上可以歸納定律．因?yàn)閹缀跛械淖匀欢啥寄苡米兎衷淼男问接枰员磉_(dá)；第3頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(3)

變分法是解數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題常用的近似方法，其基本思想是把數(shù)學(xué)物理定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變分問(wèn)題由直接解變分問(wèn)題發(fā)展了一些近似解法，其中最有用的是里茨（Ritz）法．由于里茨法中的試探函數(shù)的選取較為麻煩，計(jì)算系數(shù)矩陣也十分困難，隨著計(jì)算機(jī)的展，又迅速發(fā)展了一種有限元法；

(4)

變分法的應(yīng)用不僅在經(jīng)典物理和工程技術(shù)域，而且在現(xiàn)代量子場(chǎng)論，現(xiàn)代控制理論和現(xiàn)代信息理論等高技術(shù)領(lǐng)域都有十分廣泛的應(yīng)用．第4頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有限差分法：有限差分法把定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，然后通過(guò)電子計(jì)算機(jī)求定解問(wèn)題的數(shù)值解．模擬法：即用一定的物理模型來(lái)模擬所研究的定解問(wèn)題，而在模型上實(shí)測(cè)解的數(shù)值．

變分法是這些方法中最為重要和切實(shí)有效的方法，已經(jīng)廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究和工程計(jì)算之中，限于篇幅故本書主要詳細(xì)介紹經(jīng)典變分法的基本概念和理論．第5頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月13.1變分法的基本概念定義：變分法變分問(wèn)題

變分法就是求泛函極值的方法．變分問(wèn)題即是求泛函的極值問(wèn)題．一、泛函

變分法研究的對(duì)象是泛函，泛函是函數(shù)概念的推廣．為了說(shuō)明泛函概念先看一個(gè)例題：第6頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

考慮著名的最速降線落徑問(wèn)題。如圖13.1所示，已知A和B為不在同一鉛垂線和不同高度的兩點(diǎn)，要求找出A、B間的這樣一條曲線，當(dāng)一質(zhì)點(diǎn)在重力作用下沿這條曲線無(wú)摩擦地從A滑到B時(shí)，所需的時(shí)間T最?。畧D13.1第7頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月我們知道，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度是

因此從A滑到B所需的時(shí)間為即為（13.1.1）第8頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月式中代表對(duì)求一階導(dǎo)數(shù)．我們稱上述的為的泛函，而稱為可取的函數(shù)類，為泛函的定義域。簡(jiǎn)單地說(shuō)，泛函就是函數(shù)的函數(shù)（不是復(fù)合函數(shù)的那種含義）．一般來(lái)說(shuō)，設(shè)C是函數(shù)的集合，B是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的集合，如果對(duì)于C的任一元素在B中都有一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，則稱為的泛函，記為必須注意，泛函不同于通常講的函數(shù)．決定通常函數(shù)值的第9頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因素是自變量的取值，而決定泛函的值的因素則是函數(shù)的取形．如上面例子中的泛函T的變化是由函數(shù)（即從A到B的不同曲線）值，也不取決所引起的．它的值既不取決于某一個(gè)本身的變化于某一個(gè)值，而是取決于整個(gè)集合C中與的函數(shù)關(guān)系．定義：泛函泛函的核

泛函通常以積分形式出現(xiàn)，比如上面描述的最速降線落徑問(wèn)題的式（13.1.1）．更為一般而又典型的泛函定義為

(13.1.2)其中稱為泛函的核．第10頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、泛函的極值――變分法對(duì)于不同的自變量函數(shù)，與此相應(yīng)的泛函也有不同的數(shù)值．找出一個(gè)確定的自變量函數(shù)，使泛函

具有極值（極小或極大），這種泛函的極小值與極大值統(tǒng)稱為泛函的極值．引入泛函的概念后，對(duì)于上述的最速降線落徑問(wèn)題變?yōu)榉汉臉O小值問(wèn)題．物理學(xué)中常見(jiàn)的有光學(xué)中的費(fèi)馬(Fermat)原理，分析力學(xué)中的哈密頓(Hamiton)原理等，都是泛函的極值問(wèn)題．第11頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即直接分析所提出的問(wèn)題；另一類叫間接法，即把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解微分方程．為討論間接方法，先介紹變分和泛函的變分．三、變分

定義：變分

如果我們將泛函取極值時(shí)的函數(shù)（或函數(shù)曲線）定義為并定義與函數(shù)曲線鄰近的曲線（或略為變形的定義：變分法：所謂的變分法就是求泛函極值的方法．研究泛函極值問(wèn)題的方法可以歸為兩類：一類叫直接法，第12頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月曲線）作為比較曲線，記為其中是一個(gè)小參數(shù)；是一個(gè)具有二階導(dǎo)數(shù)的任意選定函數(shù)，規(guī)定它在一個(gè)小范圍內(nèi)變化，這限制主要保證泛函在極值處連續(xù)．在研究泛函極值時(shí)，通常將固定，而令變化，這樣規(guī)定的好處在于：建立了由參數(shù)到泛函值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此泛函就成為了參數(shù)的普通函數(shù)．原來(lái)泛函的極值問(wèn)題就成為第13頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月普通函數(shù)對(duì)的求極值的問(wèn)題．同時(shí)，函數(shù)曲線的變分定義為(13.1.3)因此可得(13.1.4)這里代表對(duì)求一階導(dǎo)數(shù)．

所以(13.1.5)即變分和微分可以交換次序．

第14頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

(13.1.6)在極值曲線附近，泛函

的增量，定義為(13.1.7)依照上述約定，當(dāng)時(shí)，泛函增量的線性主要部分定義為泛函的變分，記為四、泛函的變分定義：泛函的變分泛函的增量變分問(wèn)題泛函的變分定義為

(13.1.8)第15頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

在求一元或多元函數(shù)的極值時(shí)，微分起了很大的作用；同樣在研究泛函極值問(wèn)題時(shí)，變分起著類似微分的作用．因此，通常稱泛函極值問(wèn)題為變分問(wèn)題；稱求泛函極值的方法為變分法．解

注意：最后一步利用了一般在邊界上函數(shù)變分為零的事實(shí)，即例1

計(jì)算泛函的變分第16頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月13．2泛函的極值

泛函的極值問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)是比較復(fù)雜的．因?yàn)樗c泛函包含的自變量個(gè)數(shù)，未知函數(shù)的個(gè)數(shù)以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)等相關(guān)．另外，在求泛函極值時(shí)，有的還要加約束條件，且約束條件的類型也有不同，等等．下面我們首先討論泛函的極值的必要條件．第17頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、泛函的極值的必要條件――歐拉－拉格朗日方程

設(shè)的極值問(wèn)題有解（13.2.1）

現(xiàn)在推導(dǎo)這個(gè)解所滿足的常微分方程，這是用間接法研究泛函極值問(wèn)題的重要一環(huán)．設(shè)想這個(gè)解有變分則可視為參數(shù)的函數(shù)而當(dāng)時(shí)，第18頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)應(yīng)于式(13.2.1),即為取極值．于是原來(lái)的泛函極值問(wèn)題，就化為一個(gè)求普通函數(shù)的極值問(wèn)題．由函數(shù)取極值的必要條件，有即有（13.2.2）第19頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

1.泛函表示為一個(gè)自變量，一個(gè)函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的積分形式泛函表示為一個(gè)自變量，一個(gè)函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的積分形式，（13.1.2）若考慮兩端固定邊界的泛函問(wèn)題：積分是在區(qū)域內(nèi)通過(guò)兩點(diǎn)的任意曲線進(jìn)行的，其中第20頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月泛函中為由于兩端固定，所以要求，即．由(13.1.8)，有（13.2.3）第21頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月式(13.2.3)的積分號(hào)下既有，又有，對(duì)第二項(xiàng)應(yīng)用分部積分法可使積分號(hào)下出現(xiàn)(13.2.4)根據(jù)（17.2.2）,所以

,再根據(jù)（13.2.4）故有（13.2.5）第22頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因?yàn)椴⑶沂侨我獾?，所?/p>

(13.2.6)

上式(13.2.6)稱為歐拉（Euler）－拉格朗日（Lagrange）方程，簡(jiǎn)稱為E-L方程．此即泛函取極值的必要條件．即泛函的極值函數(shù)必須是滿足泛函的變分的函數(shù)類．因此，第23頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月把泛函的極值問(wèn)題稱為變分問(wèn)題．

注明：E-L方程是泛函取極值的必要條件，而不是充分條件．如果討論充分條件，則要計(jì)算二階變分，并考慮其正、負(fù)值,但對(duì)于實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)泛函具有明確的物理涵義，極值的存在性往往間接地在問(wèn)題的提法中就可以肯定，所以極值的存在性是不成問(wèn)題的，只要解出E-L方程，就可以得到泛函的極值．

E-L方程除了上面給出的形式(13.2.6)之外，另外還有四種特殊情況：第24頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(1)不顯含且因?yàn)槿鬍-L方程等價(jià)于

（13.2.7）第25頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)不依賴于且則E-L方程化為（13.2.8）(3)不依賴于且則E-L方程化為（13.2.9）第26頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由此可見(jiàn)僅為的函數(shù)．(4)關(guān)于是線性的：則E-L方程化為（13.2.10）

對(duì)于含有一個(gè)自變量，多個(gè)變量函數(shù)，以及有較高階變量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的泛函，類似上面的推導(dǎo)可得如下結(jié)論：第27頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.泛函表示為多個(gè)函數(shù)的積分形式則與此泛函極值問(wèn)題相應(yīng)的E-L方程為（13.2.11）第28頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.泛函的積分形式中含有高階導(dǎo)數(shù)與此泛函極值問(wèn)題相應(yīng)的E-L方程為（13.2.12）第29頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.泛函的積分形式中含有多元函數(shù)設(shè)為的二元函數(shù)，則與此泛函極值問(wèn)題相應(yīng)的E-L方程為（13.2.13）第30頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月不顯含，故其E-L方程為（13.2.7）式令故有例2

試求解最速降線落徑問(wèn)題，即變分問(wèn)題解目前，我們只能用間接方法來(lái)求解，由于第31頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月令分離變量得到再令代入上式得到即得到第32頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月此即為擺線的參數(shù)方程，積分常數(shù)可由初始位置（圖13.1的A,B兩點(diǎn)）決定．13.2.2泛函的條件極值問(wèn)題

在許多泛函的極值問(wèn)題中，變量函數(shù)還受到一些附加條件的限制，其中最常見(jiàn)和重要的一種是以積分形式表示的限制條件（13.2.14）第33頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即所謂的等周問(wèn)題：

(13.2.15)（注：這種問(wèn)題之所以稱為等周問(wèn)題，是因?yàn)樵跉v史上起源于求一條通過(guò)兩點(diǎn)，長(zhǎng)度固定為l的曲線使面積取極大值）第34頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其中為常數(shù)．此類問(wèn)題可以仿照普通函數(shù)的條件極值問(wèn)題的拉格朗日乘子法．即將附加條件(13.2.14)乘以參數(shù)，求其變分后，加到泛函取極值的必要條件中得到于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不帶條件的由上式所表示的變分問(wèn)題．

其對(duì)應(yīng)的E-L方程為第35頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這是通過(guò)和兩點(diǎn)的之下使泛函取極值的必要條件．它實(shí)際上是一個(gè)關(guān)于在附加條件（13.2.14）的二階常微分方程．其通解中含有三個(gè)參數(shù)，即和兩個(gè)積分常數(shù)．它們可由條件（13.2.14）來(lái)確定.和附加條件第36頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例3

求的極值，其中是歸一化的，即，且已知

解本題是求泛函的條件極值問(wèn)題，可化為變分問(wèn)題對(duì)應(yīng)的E-L方程為其通解為第37頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月代入附加條件得到代入歸一化條件得到于是得到，故原極值問(wèn)題的解為而題中要求的泛函的極值為第38頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)時(shí)，極值函數(shù)使得泛函數(shù)取得最小值例4

求泛函在條件下的極值曲線.解

此時(shí)則偏導(dǎo)數(shù)第39頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月.對(duì)應(yīng)的Euler方程為其通解為代入邊界條件可得所以極值曲線為

第40頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月13.3光學(xué)中的泛函極值典型例子泛函極值問(wèn)題的求解,通常有兩