95空間向量及其運算課件

§9.5空間向量及其運算

知識詮釋思維發(fā)散1.空間向量的概念:如同平面向量一樣,在空間中,我們把具有

大小和方向的量叫做向量.也用有向線段表示空間向量,方向

相同,且長度相等的有向線段表示同一向量或相等的向量.2.共線向量定理:對空間任意兩個向量a、b(b≠0),a∥b的充

要條件是存在唯一實數(shù)λ,使a=λb.3.共面向量定理:如果兩個向量a、b不共線,則向量p與a、b

共面的充要條件是存在唯一一組實數(shù)x,y,使p=xa+yb.一、空間向量的基本知識4.空間向量基本定理:如果三個向量a、b、c不共面,那么對

于空間任一向量p,存在唯一一組實數(shù)x,y,z,使p=xa+yb+zc.由空間向量基本定理可知,任意空間不共面的三個向量

構成空間的一個基底,此定理是空間向量分解的基礎.5.空間兩向量的夾角:已知兩個非零向量a、b,在空間中任取

一點O,作

=a,

=b,則∠AOB叫做向量a與b的夾角,記作<a,b>,且規(guī)定0≤<a,b>≤π.6.向量的數(shù)量積:已知空間兩個非零向量a、b,則|a||b|叫做向

量a、b的數(shù)量積,記作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>.規(guī)定:零向量與任何向量的數(shù)量積為0.對于非零向量a、b,有:(1)cos<a,b>=

,(2)|a|2=a·a=a2,(3)a⊥b?a·b=0.向量的數(shù)量積適合如下運算律:(1)交換律:a·b=b·a,(2)結(jié)合律:(λa)·b=λ(a·b),(3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.二、空間直角坐標系及空間兩點間的距離1.空間直角坐標系:以空間一點O為原點,建立三條兩兩垂直

的數(shù)軸:x軸,y軸,z軸.這時建立了空間直角坐標系O-xyz,其中

點O叫做坐標原點,x軸,y軸,z軸統(tǒng)稱坐標軸.由坐標軸確定的

平面叫做坐標平面.建系時,一般建立右手直角坐標系,右手直角坐標系的含義

是:當右手拇指指向x軸正方向,食指指向y軸正方向時,中指

一定指向z軸的正方向;空間一點M的坐標為有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),記作M(x,y,z),其中x叫

做M的橫坐標,y叫做點M的縱坐標,z叫做點M的豎坐標.2.空間兩點間的距離公式:設A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則|AB|=

.特別地,點A(x,y,z)與原點間的距離公式為|OA|=

.1.若點A(x2+4,4-y,1+2z)關于y軸的對稱點是B(-4x,9,7-z),則x,y,

z的值依次為

(

)(A)1,-4,9.

(B)2,-5,-8.(C)2,5,8.

(D)-2,-5,8.【解析】

?

【答案】B2.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b與2a-b互相垂直,則k的

值是

(

)(A)1.

(B)

.

(C)

.

(D)

.【解析】ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),由題意可得,(k-1,k,2)·(3,2,-2)=3k-3+2k-4=0,即k=

.【答案】D3.如果三點A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一直線上,則

(

)(A)a=3,b=-3.

(B)a=6,b=-1.(C)a=3,b=2.

(D)a=-2,b=1.【解析】設

=λ

?(a-1,-2,b+4)=λ(1,-1,3)?

?

【答案】C

核心突圍技能聚合題型1空間向量的表示與運算

例1在底面是平行四邊形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,設

=a,

=b,

=c,M、N、P分別是AA1、BC、C1D1的中點,試用a、b、c表示以下各向量:(1)

;(2)

;(3)

+

.【分析】要表示出所求各向量,必須把所求各向量放在圖形

中,合理利用向量加法和減法法則,與已知三個向量之間建立

關系才能進行求解.【解析】(1)∵P是C1D1的中點,∴

=

+

+

=a+

+

=a+c+

=a+c+b.(2)∵N是BC的中點,∴

=

+

+

=-a+b+

=-a+b+

=-a+b+

c.(3)∵M是AA1的中點,∴

=

+

=

+

=-

a+(a+c+

b)=

a+

b+c.又

=

+

=

+

=

+

=

c+a,∴

+

=(

a+

b+c)+(

c+a)=

a+

b+

c.【點評】用已知向量(通常為一組基底)表示未知向量,一定

要結(jié)合圖形,以圖形為指導,正確運用向量加法、減法與數(shù)乘

運算的幾何意義.變式訓練1在平行四邊形ABCD中,已知AB=AC=2,∠ACD=

90°,將它沿對角線AC折起,使AB與CD成30°角,則B、D兩點

間的距離為

.【解析】如圖,因為∠ACD=90°,所以

·

=0,

·

=0,又∵AB與CD成30°,設向量

與

的夾角為θ,∴θ=30°或150°.又

=

+

+

,∴

=(

+

+

)2

=

+

+

+2

·

+2

·

+2

·

=

+

+

+2

·

=22+22+22+2×2×2·cosθ,∴當θ=30°時,|

|=2

,當θ=150°時,|

|=2

.【答案】2

或2

例2在底面是平行四邊形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分別是A1D1、D1D、D1C1的中點.求證:平面E-FG∥平面AB1C.【分析】對于面面平行的證明,可以轉(zhuǎn)化為兩平面內(nèi)有兩條

相交直線分別平行,對于觀察能力強的同學可以充分利用三

角形的中位線得到線線平行;對于觀察能力稍弱的同學,可以

借助向量運算,避免添加輔助線.題型2利用空間向量證明立體幾何題【解析】設

=a,

=b,

=c,則

=

+

=

(a+b),

=a+b=2

,∴EG∥AC.又∵

=

+

=

(b-c),∵

=

+

=b-c=2

,∴EF∥B1C.又∵EG與EF相交,AC與B1C相交,∴平面EFG∥平面AB1C.【點評】合理選擇基底,利用向量共線證明直線平行,從而進

一步證明平面與平面平行.變式訓練2如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G

分別是B1B、AB、BC的中點.(1)證明:D1F⊥EG;(2)證明:D1F⊥平面AEG.【解析】以D為原點,DA、DC、DD1所在的直線分別為x、y

、z軸,建立空間直角坐標系,設正方體AC1的棱長為a,則D(0,

0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),D1(0,0,a),E(a,a,

),F(a,

,0),G(

,a,0).(1)

=(a,

,-a),

=(-

,0,-

).∵

·

=a·(-

)+

·0+(-a)·(-

)=0,∴D1F⊥EG.(2)

=(0,a,

),∴

·

=a·0+

·a-a·

=0,∴D1F⊥AE.由(1)知D1F⊥EG且EG∩AE=E,∴D1F⊥平面AEG.例3設向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),計算3a-2b,a·b,a與b所成角的余弦值,并確定λ,μ的關系,使λa+μb與z軸垂直.【分析】準確把握向量運算規(guī)則,仔細運算即可.【解析】由已知3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(5,13,-28),a·b=(3,5,-4)·(2,1,8)=3×2+5×1+(-4)×8=-21,∵|a|=

=5

,題型3空間向量的坐標運算|b|=

=

,∴cos<a,b>=

=-

.由(λa+μb)·(0,0,1)=-4λ+8μ=0知,只要滿足λ=2μ,λa+μb與z軸垂直.【點評】本題旨在考查向量的線性運算,數(shù)量積運算,向量的

夾角余弦公式.變式訓練3已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,

求:(1)a,b,c;(2)(a+c)與(b+c)所成角的余弦值.【解析】(1)∵

∴x=2,y=-4,z=2.∴a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),c=(3,-2,2).(2)由(1)知,a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),所以(a+c)與(b+c)所成角

的余弦值為

=

=

=-.

例4在長方體OABC-O1A1B1C1中,|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,E是BC的中點,建立空間直角坐標系,用向量方法解下列問題:(1)求直線AO1與B1E所成角的余弦值;(2)作O1D⊥AC于D,求點O1到點D的距離.【分析】根據(jù)向量的夾角余弦公式,求出點的坐標,然后逐步

仔細運算.題型4坐標運算的應用【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系.(1)由題意得A(2,0,0),O1(0,0,2),B1(2,3,2),E(1,3,0).∴

=(-2,0,2),

=(-1,0,-2),∴cos<

,

>=

=-

,∴AO1與B1E所成角的余弦值為

.(2)由題意得

⊥

,

∥

,∵C(0,3,0),設D(x,y,0),∴

=(x,y,-2),

=(x-2,y,0),

=(-2,3,0),∴

解得

∴D(

,

,0),∴|O1D|=

=

.【點評】本題重點考查向量夾角余弦公式,兩點間的距離公

式,應熟練運用這兩個公式,計算時,也應認真仔細,防止“一著不慎,滿盤皆輸”.變式訓練4

如圖,在空間四邊形ABCD中,AB,BC,BD兩兩垂直,且AB=BC=

2,E是AC的中點,向量

與

的夾角的余弦值為-

,求BD的長度.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系,由題意有B(0,0,

0),A(0,2,0),C(2,0,0),則E(1,1,0).設D(0,0,z)(z>0),則

=(1,1,0),

=(0,-2,z),∴

·

=|

|·|

|cosθ=

·

cosθ=-2,∴cosθ=

,又向量

和

夾角的余弦值為-

,∴

=-

,解之得z=3,即BD=3,所以BD的長度為3.

1.空間向量的表示與運算,一方面繼承了平面向量的相關概

念,另一方面也有利于解決立體幾何相關的問題,應扎實掌握.2.利用空間向量證明立體幾何題,充分體現(xiàn)了向量這個工具的作用.3.把向量在坐標系中坐標化,進一步規(guī)范了運算,計算更加簡單.例已知正四面體A-BCD的棱長為1,E為BD的中點,F為AC的中點,試求出線段EF的長.軸的正半軸建立空間直角坐標系.則由已知得:

=

+

=-

+

=-

(

+

)+

=-

-

+

,∴

=(-

,-

,

),【錯解】如圖,以C為原點,

、

、

分別為x軸、y軸、z∴|

|=

=

.【剖析】平面上,只有當基底兩兩垂直時,才好這樣表示,并

且要弄清

=(-

,-

,

)=-

-

+

,而這三者之間的夾角是60°,而非90°,這也是導致|

|=

的錯誤原因.【正解】|

|=

=

.基礎·角度·思路一、選擇題(本大題共5小題,每小題6分)1.(基礎再現(xiàn))空間的任意三個向量a,b,3a-2b,它們一定是

(

)(A)共線向量.

(B)共面向量.(C)不共面向量.

(D)既不共線也不共面向量.【解析】如果a,b是不共線的兩個向量,由共面向量定理知,a,

b,3a-2b共面;若a,b共線,則a,b,3a-2b共線,當然也共面,故選B.【答案】B2.(基礎再現(xiàn))有4個命題:①若p=xa+yb,則p與a、b共面;②若p與a、b共面,則p=xa+yb;③若

=x

+y

,則P、M、A、B共面;④若P、M、A、B共面,則

=x

+y

.其中真命題的個數(shù)是

(

)(A)1.

(B)2.

(C)3.

(D)4.【解析】命題①③正確,命題②④不正確.因命題②中若a

∥b,則p不能用a,b表示,命題④中,若M、A、B三點共線,則

也不能用

、

表示.故選B.【答案】B3.(視角拓展)如圖所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=

AB=BC=6,則PC等于

(

)(A)6

.

(B)6.(C)12.

(D)144.【解析】因為

=

+

+

,所以

=

+

+

+2

·=36+36+36+2×36cos60°=144.所以|

|=12.故選C.【答案】C4.(視角拓展)若四邊形ABCD為平行四邊形,且A(4,1,3),B(2,-5,

1),C(3,7,-5),則頂點D的坐標為

(

)(A)(

,4,-1).

(B)(2,3,1).(C)(-3,1,5).

(D)(5,13,-3).【解析】由

=

,可求得D(5,13,-3),故答案選D.【答案】D5.(高度提升)設兩向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),x1,y1,z1與x2,y2,z2均

不為零,如果(x1+x2)2+(y1+y2)2+(z1+z2)2=

+

+

+

+

+

成立,

那么向量a與b的關系是

(

)(A)相交.

(B)平行.

(C)垂直.

(D)都有可能.【解析】從所給條件可以看出左邊是(a+b)2,右邊表示的是a2

+b2,即(a+b)2=a2+b2,由向量的運算知,2a·b=0,∴a與b是垂直的.【答案】C二、填空題(本大題共4小題,每小題7分)6.(視角拓展)在△ABC中,已知

=(2,4,0),

=(-1,3,0),則∠ABC=

.【解析】因為

=(-2,-4,0),

=(-1,3,0),所以

·

=2-12+0=-10,|

|=

=2

,|

|=

=

,所以cos<

,

>=

=

=-

.所以∠ABC=135°.【答案】135°7.(視角拓展)已知P,A,B,C四點共面且對于空間任一點O都有

=2

+

+λ

,則λ=

.【解析】因為P、A、B、C四點共面,所以

=x

+y

+z

,且x+y+z=1,所以2+

+λ=1,得λ=-

.【答案】-

8.(視角拓展)在四面體O-ABC中,

=a,

=b,

=c,D為BC的中點,E為AD的中點,則

=

(用a,b,c表示).【解析】如圖,由三角形法則,易得

=

-

=b-a,

=

-

=c-b,

=

=

(c-b),∴

=

+

=

b+

c-a,

=

=

b+

c-

a,∴

=

+

=a+

b+

c-

a=

a+

b+

c.【答案】

a+

b+

c9.(高度提升)設O是坐標原點,已知

=(1,2,3),

=(2,1,2),

=(1,1,2),點Q在直線OP上運動,則當

·

取得最小值時,點Q的坐標為

.【解析】設Q(a,a,2a),則

=(1-a,2-a,3-2a),

=(2-a,1-a,2-2a),即

·

=(1-a)(2-a)+(2-a)(1-a)+(3-2a)(2-2a)=6a2-16a+10=6(a-

)2-

,當a=

時,

·

有最小值,故Q(

,

,

).【答案】(

,

,

)三、解答題(本大題共3小題,每小題14分)10.(高度提升)一個多面體的三視圖及直觀圖如圖所示,M,N

分別是A1B,B1C1的中點.試建立空間直角坐標系,寫出直觀圖

中各點的坐標,并求直線MN與A1C1所成角的余弦值.【解析】根據(jù)三視圖及所給的數(shù)值可得AB=BC=a,AC=

a,所以∠ABC=90°,即AB⊥BC.又B1B⊥平面ABC,∴分別以

,

,

為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系如圖所示,則B(0,0,0),C(a,0,0),A(0,a,0),A1(0,a,a),B1(0,0,a),C1(a,0,a),M(0,

,

),N(

,0,a),∴

=(

,-

,

),

=(a,0,a)-(0,a,a)=(a,-a,0).設直線MN與A1C1所成角為θ,∴cosθ=

=

=

,∴直線MN與A1C1所成角的余弦值為

.11.(高度提升)已知空間三點A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以

、

為鄰邊的平行四邊形的面積;(2)若|