大學(xué)物理-第二章-氣體動(dòng)理論2課件

§2.4麥克斯韋速率和速度分布規(guī)律

一．分子速率分布函數(shù)二．麥克斯韋速率分布律§2.5麥克斯韋速率分布實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

一．麥克斯韋速率分布實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證二．麥克斯韋速度分布律§2.6玻爾茲曼分布定律1氣體分子熱運(yùn)動(dòng)是雜亂無(wú)章的，由于其他分子的不斷碰撞，單個(gè)分子的運(yùn)動(dòng)速度的方向和大小是不可預(yù)知，但是大量分子的整體卻會(huì)出現(xiàn)一些統(tǒng)計(jì)規(guī)律：

分子數(shù)按位置分布平均說(shuō)來(lái)是均勻的。分子數(shù)按速度方向分布平均說(shuō)來(lái)是均勻的。在容器內(nèi)任何一處，不論怎樣取體積ΔV，只要ΔV中包含有大量的分子ΔN，則ΔV21.

無(wú)論在容器中的什么地方，只要ΔV大小相同，ΔV包含的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率就相等；

分子數(shù)按空間位置分布是等概率的

分子數(shù)按位置分布平均說(shuō)來(lái)是均勻的。分子數(shù)按速度方向分布平均說(shuō)來(lái)是均勻的。2.

同理，無(wú)論任何時(shí)刻沿任一方向運(yùn)動(dòng)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率都相等；分子數(shù)按速度方向分布是等概率的3理論和實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)氣體處于平衡態(tài)時(shí)，分子數(shù)按速率的分布也遵循著一個(gè)完全穩(wěn)定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律

——麥克斯韋速率分布律問(wèn)題：

分子數(shù)按速度的大小的分布有什么規(guī)律呢？1859年，理論上也就是說(shuō)，在總數(shù)為N的分子中，具有各種速率的分子各有多少？或這些分子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，出現(xiàn)在各個(gè)速率范圍內(nèi)的概率是多少？4§2.5麥克斯韋速率分布律和速度分布律

一．分子速率分布函數(shù)為了說(shuō)明這個(gè)規(guī)律，下面首先介紹分子速率分布函數(shù)的概念分子的速率在原則上可以連續(xù)地取值，從0到∞；在各個(gè)速率范圍中分子數(shù)是不連續(xù)的；3.如何來(lái)研究分子數(shù)按速率的分布？將速率分成一些小的區(qū)間，按這些區(qū)間來(lái)計(jì)算分子數(shù)設(shè)氣體分子總數(shù)為N，速率處在v到v+dv

之間的分子數(shù)為dN

，5特點(diǎn)：1.

不同v附近的速率區(qū)間dv

內(nèi)分子數(shù)dN

是不同的，這一比率是速率v的函數(shù)；2.

在區(qū)間dv

足夠小的情況下，這一比率還應(yīng)和區(qū)間的大小dv

成正比。設(shè)定：氣體分子總數(shù)為N，速率處在v到v+dv

之間的分子數(shù)為dN

：速率在v到v+dv

之間的分子數(shù)占總分子數(shù)比率為6式中寫成等式——分子速率分布函數(shù)物理意義：由等式右邊可以看出分子速率分布函數(shù)表示速率在v附近，單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。7——分子速率分布函數(shù)討論1.就大量分子而言，表示速率在v到v+dv

區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比率

2.對(duì)單個(gè)分子而言，由于分子的速率在不斷的改變，它的速率有時(shí)處在v到v+dv

區(qū)間內(nèi)，有時(shí)也可能處在這個(gè)區(qū)間外，因此f(v)dv表示單個(gè)分子處于v到v+dv

區(qū)間內(nèi)一種預(yù)計(jì)或者估計(jì)，也就是前面提到的概率81.它的大小反映單個(gè)分子處于v到v+dv

區(qū)間的可能性的大??；2.任何時(shí)刻分子具有什么樣的速率無(wú)法確定，但是具有某一速率的可能性大小是可以預(yù)計(jì)的。因此表示單個(gè)分子處于v到v+dv

區(qū)間內(nèi)一種預(yù)計(jì)或者估計(jì)，也就是前面提到的概率f(v)dv對(duì)于單個(gè)分子的意義說(shuō)明：9——分子速率分布函數(shù)討論速率處在v1到v2這個(gè)有限速率區(qū)間中的分子數(shù)可用下列積分計(jì)算表示速率處在v到v+dv

區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)；速率處在0到∞整個(gè)區(qū)域中的分子數(shù)3.函數(shù)變式：Nf(v)v=dN10意味著：1.

對(duì)大量分子來(lái)說(shuō)，任意分子的速率必然落在0

到∞整個(gè)區(qū)域中的；2.

對(duì)單個(gè)分子來(lái)說(shuō)表示按速率分布單個(gè)分子處于0到∞整個(gè)區(qū)域中的概率等于1。4.分子速率分布函數(shù)的歸一化11二．麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律就是給出了一定條件下的速率分布函數(shù)的具體形式麥克斯韋速率分布律——麥克斯韋速率分布函數(shù)在平衡態(tài)下，氣體分子速率在v到v+dv

區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為其中12——麥克斯韋速率分布函數(shù)T

是氣體的熱力學(xué)溫度，m是一個(gè)分子的質(zhì)量，k

是玻爾茲曼常數(shù)對(duì)于給定氣體（m一定），只與溫度有關(guān)。13麥克斯韋速率分布曲線以速率v為橫軸，以為縱軸，畫出的圖線就是麥克斯韋速率分布曲線，它能形象地表示出氣體按速率分布的情況o14則曲線下所圍整個(gè)面積等于1曲線所圍面積及物理意義o在曲線下v附近取一寬度為dv

的小窄條小窄條面積就等于物理意義：就等于在該區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率思考？圖示陰影部分的面積的意義15曲線特征從曲線形狀可以看出，速率很小和速率很大的分子數(shù)都很少,或者說(shuō)分子取速率很大或很小的概率都很?。?.從曲線看，在某一速率vp

處，f(v)函數(shù)有一極大值?；蛘哒f(shuō)分子速率取的概率最大物理意義：若把整個(gè)速率范圍分成許多相等的小區(qū)間，則所在區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率最大o最概然速率16溫度對(duì)分布曲線影響不同溫度下的分布曲線有何不同呢？對(duì)于給定氣體（m一定），f(v)

只與溫度有關(guān)。下圖給出了某種氣體在不同溫度下的速率分布函數(shù)請(qǐng)分析溫度對(duì)分子速率分布的影響？T1T3T217T1T3T2溫度升高，曲線的峰變低，并且向速率大的一側(cè)移動(dòng)；2.隨溫度升高，曲線下的面積高度下降，寬度變寬，最可幾速率的值變寬，而f(v)

減小。181、最概然速率vp由速率分布函數(shù)的極值條件：——與分布函數(shù)f（v）的極大值對(duì)應(yīng)的速率即：得：麥克斯韋速率分布律應(yīng)用三種特殊速率192、平均速率v因考慮到分子速率是從0~連續(xù)分布的，故應(yīng)用自0~的積分來(lái)求和。于是

——大量分子無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)速率的算術(shù)平均值20從而可求得方均根：同理：3、方均根速率vrms（或）v2速率的方均值為——大量分子無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)速率平方的平均值的平方根21三種速率的比較f(v)0v以上三種統(tǒng)計(jì)速率各有不同的意義和作用vp<<vv2

計(jì)算分子的平動(dòng)動(dòng)能；討論分子的速率分布；計(jì)算分子平均自由程。221)T一定時(shí)2)m（μ）一定時(shí)

討論23要驗(yàn)證分子速率分布規(guī)律，需要高真空技術(shù)。直到20世紀(jì)20年代，才開始能對(duì)氣體分子速率進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)定：最早測(cè)定分子速率的是1920年斯特恩（Stern）1934年我國(guó)物理學(xué)家葛正權(quán)曾測(cè)定過(guò)鉍（Bi）蒸汽分子的速率分布實(shí)驗(yàn)結(jié)果都與麥克斯韋速率分布律大致相符。1955年蜜勒（Miler）和庫(kù)什（P.Kusch）做的比較精確地驗(yàn)證了麥克斯韋速率分布律下面介紹一個(gè)測(cè)定分子速率分布的實(shí)驗(yàn)§2.5麥克斯韋速率分布實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

一．麥克斯韋速率分布實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證24小孔充分小,改變,測(cè)D上的沉積厚度,就可測(cè)氣體速率分布蒸汽源檢測(cè)器ROD抽氣抽氣密勒-庫(kù)什實(shí)驗(yàn)裝置及演示1955年，Miller和Kusch用鉀（和鉈）蒸汽作的分子射流實(shí)驗(yàn)。25PCBASSφl(shuí)ωA

恒溫箱——金屬蒸氣源P：接受分子的膠片屏高真空的容器顯然只有滿足下面兩個(gè)關(guān)系的分子，才通過(guò)C盤狹縫射到P上。當(dāng)ω

，l

，φ

一定時(shí)，只有速率滿足上式的分子，才能通過(guò)C盤狹縫射到P上。這時(shí)B

和C起著速率選擇器的作用，改變?chǔ)?/p>

（或l及φ），可使速度大小不同的分子通過(guò)。26實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：實(shí)驗(yàn)與理論符合較好。說(shuō)明蒸汽源內(nèi)的原子的速率分布是遵守麥克斯韋速率分布律的實(shí)驗(yàn)表明：大量分子的速率分布遵從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律

——麥克斯韋速率分布律27例.

有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為求:

1）速率分布曲線

2）由v0求常數(shù)C 3）粒子的平均速率解:1）速率分布曲線（如圖所示）2）常數(shù)

C由歸一化條件求得3）平均速率：所以，有28二．麥克斯韋速度分布律只要用速度分量代替速率，并將其推廣到三維情形，就可以得到麥克斯韋速度分布律。它表示分子速度分量處在之間的概率29——麥克斯韋速度分布函數(shù)30是氣體分子具有速度分量vi的概率。31平均速度是氣體分子具有速度分量vi的概率。32說(shuō)明：上面介紹了分子按速率和速度分布的情況，并假設(shè)分子在空間位置的分布是均勻的，即認(rèn)為在容器中的任一處都有相同的分子數(shù)密度。但這僅適用于氣體不處在外力場(chǎng)中的情形，如果氣體受到外力場(chǎng)的作用情形就會(huì)不同例如：

處在地面附近的空氣，氣體分子在重力作用下要落向地面，即傾向于落向勢(shì)能最低處，但由于分子存在熱運(yùn)動(dòng)，又使它們向上擴(kuò)散開來(lái)，這兩傾向達(dá)到平衡時(shí)，就出現(xiàn)了空氣分子沿豎直方向作上疏下密的分布。33麥克斯韋速度分布函數(shù)只與分子運(yùn)動(dòng)有關(guān)，那么分子按空間位置的分布也必然與分子在外力場(chǎng)中的勢(shì)能有關(guān)。玻爾茲曼將麥克斯韋速度分布律作了推廣?！?.6玻爾茲曼分布定律(自學(xué))34玻爾茲曼提出：氣體在平衡態(tài)下，分子速度處在區(qū)間vx~vx+dvx

，

vy~vy+dvy

，

vz~vz+dvz

，和位置處在區(qū)間x~x+dx，y~y+dy，z~z+dz中的分子數(shù)目為：式中分別表示分子動(dòng)能和分子在外場(chǎng)中的勢(shì)能。——玻爾茲曼分布定律35——玻爾茲曼分布定律將上式對(duì)位置積分就是麥克斯韋速度分布；將上式對(duì)速度積分就得到氣體分子數(shù)按位置的分布。36分子數(shù)密度上式表明：對(duì)于相同的體積元dxdydz

來(lái)說(shuō)，勢(shì)能大的區(qū)域分子數(shù)少