【教學(xué)】《正方形的性質(zhì)與判定》(數(shù)學(xué)北師大九上)課件

暢言教育·特殊平行四邊形正方形的性質(zhì)與判定（第一課時(shí)）活動(dòng):觀察這些圖片，你什么發(fā)現(xiàn)？正方形四條邊有什么關(guān)系？四個(gè)角呢？導(dǎo)入新課

正方形的定義一活動(dòng)1：準(zhǔn)備一張矩形的紙片，按照下圖折疊,然后展開，得到一個(gè)四邊形.問題1：折疊后得到的特殊四邊形是什么四邊形？正方形講授新課活動(dòng)2：把可以活動(dòng)的菱形框架的一個(gè)角變?yōu)橹苯?，觀察這時(shí)菱形框架的形狀.問題2：經(jīng)過變化后得到特殊四邊形是什么四邊形？有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形.正方形正方形的性質(zhì)探究和證明二ABCD填一填：角：

邊：

對(duì)角線：

對(duì)稱性：

四個(gè)角都是直角.四條邊相等.對(duì)角線相等且互相垂直平分.aaaa軸對(duì)稱圖形（4條對(duì)稱軸）.1.正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊相等. 2.正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分.定理已知：如右圖,四邊形ABCD是正方形.求證：正方形ABCD四邊相等,四個(gè)角都是直角.ABCD證明：∵四邊形ABCD是正方形. ∴∠A=90°,AB=AC.（正方形的定義）

又∵正方形是平行四邊形. ∴正方形是矩形,（矩形的定義） 正方形是菱形.(菱形的定義) ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,

AB=BC=CD=AD.定理證明已知：如右圖,四邊形ABCD是正方形.對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O.求證：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.ABCDO請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手完成以上證明？提示：可以先通過證明來得到正方形是矩形、菱形，然后利用矩形和菱形的定理來完成該題.想一想：

正方形是矩形嗎？是菱形嗎？

矩形菱形正方形平行四邊形正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以平行四邊形、矩形、菱形有的性質(zhì),正方形都有.歸納歸納結(jié)論正方形對(duì)角線邊邊對(duì)角線對(duì)角線角對(duì)邊平行且相等相互平分相等四個(gè)角相等都是90°相互垂直且平分對(duì)角四邊相等對(duì)稱性軸對(duì)稱圖形（4條對(duì)稱軸）例1：如圖在正方形ABCD中,E為CD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CE=CF.BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由.正方形性質(zhì)定理的應(yīng)用三典例精析解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四邊形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°.（正方形的四條邊都相等,四個(gè)角都是直角）∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.ABCFEABDFE∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.(2)延長(zhǎng)BE交DE于點(diǎn)M,∵△BCE≌△DCF

,∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°

,∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°

,∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.CM例2：如圖，已知四邊形ABCD是正方形,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O

,

MN∥AB

,且分別于OA

,

OB相交于點(diǎn)M

,

N.求證：（1）BM

=CN;（2）BM⊥CN.ABCDOMN證明：（1）∵M(jìn)N∥AB.∴∠1

=∠2

=∠3

=∠4

=

45°. ∴OM=ON. ∵OA=OB, ∴OA-OM=OB-ON,AM=BN.

又∵∠2=∠NBC,AB=BC. ∴△ABM≌△BCN(SAS)∴BM=CN.1234ABCDOMN(2)延長(zhǎng)CN交線段MB于點(diǎn)Q.∵△ABM≌△BCN.∴∠6=∠8.∵∠OCB=∠ABO=45°.∴∠5=∠7.又∵∠ONC=∠QNB.∴180°-∠5-∠ONC

=180°-∠7-∠QNB,∠CON=∠NQB=90°.∴BM⊥CN.Q57681．在正方形ABC中,∠ADB=

,∠DAC=

,

∠BOC=

.2.在正方形ABCD中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且AE=AB，則∠EBC的度數(shù)是

.ADBCOADBCOE45°90°22.5°第1題第2題45°當(dāng)堂練習(xí)3.如圖，已知正方形ABCD

,以AB為邊向正方形外作等邊△ABE,連結(jié)DE

、

CE

,求∠DEC的度數(shù).DAEBC解：∵△ABE是等邊三角形.∴AB=AE=BE,

∠ABE=∠BEA=∠EAB=60°.

又∵四邊形ABCD是正方形.∴AD=BC=AE=BE,

∠DAB=∠ABC=90°.∴∠DAE=∠CBE=150°.∴∠AED=∠EDA=∠CEB=∠BCE=15°.∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=30°.1.四個(gè)角都是直角2.四條邊都相等3.對(duì)角線相等且互相垂直平分正方形性質(zhì)定義有一組鄰相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形課堂小結(jié)課后作業(yè)P22A-1層作業(yè)：習(xí)題1.7A-2層作業(yè)：知識(shí)技能T1，T2B層作業(yè)：數(shù)學(xué)理解T3暢言教育本課時(shí)編寫：合肥市第三十八中學(xué)徐晶老師第一單元·特殊平行四邊形正方形的性質(zhì)與判定（第二課時(shí)）問題1：什么是正方形？正方形有哪些性質(zhì)？ABCD正方形：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形.正方形性質(zhì)：①四個(gè)角都是直角;

②四條邊都相等; ③對(duì)角線相等且互相垂直平分.O導(dǎo)入新課問題2：你是如何判斷是矩形、菱形？平行四邊形矩形菱形四邊形三個(gè)角是直角四條邊相等定義三個(gè)判定定理定義對(duì)角線相等定義對(duì)角線垂直

正方形判定的定理一動(dòng)一動(dòng)：過點(diǎn)A作射線AM的垂線AN,分別在AM

,

AN上取點(diǎn)B

,

D

,使AB=AD

,作DC∥AB

,

BC∥AD

,得四邊形ABCD.AMNBDC問題1：上面所畫四邊形ABCD是正方形嗎？為什么？講授新課想一想：將矩形紙片對(duì)折兩次，怎樣裁剪才能使剪下的三角形展開后是個(gè)正方形？（1）（2）（3）（4）菱形問題2：滿足怎樣條件的矩形是正方形？矩形正方形一組鄰邊相等對(duì)角線互相垂直問題3：滿足怎樣條件的菱形是正方形？正方形一個(gè)角是直角對(duì)角線相等1.對(duì)角線相等的菱形是正方形.

2.對(duì)角線垂直的矩形是正方形.

3.有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.定理正方形判定的兩條途徑：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形條件菱形條件(1)(2)一個(gè)直角對(duì)角線相等一組鄰邊相等對(duì)角線垂直例1：如圖,在矩形ABCD中,

BE平分∠ABC

,

CE平分∠DCB

,

BF∥CE

,

CF∥BE.求證：四邊形BECF是正方形.

正方形判定定理的應(yīng)用二典例精析FABECD解析：先由兩組平行線得出四邊形BECF平行四邊形；再由一個(gè)直角，得出是矩形；最后由一組鄰邊相等可得正方形；45°45°FABECD證明:∵BF∥CE,CF∥BE，

∴四邊形BECF是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC

=90°,

∠DCB=90°,

∵BE平分∠ABC,

CE平分∠DCB,∴∠EBC

=45°,

∠ECB=45°,

∴∠EBC=∠

ECB.∴EB=EC,∴□BECF是菱形.在△EBC中∵∠EBC

=45°,∠ECB

=45°,∴∠BEC

=90°,∴菱形BECF是正方形.例2：已知：如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC

,∠ABC的平分線于點(diǎn)D,

DE⊥BC于點(diǎn)E

,

DF⊥AC于點(diǎn)F.求證：四邊形CEDF是正方形.證明:如圖所示,過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G.∵DF⊥AC

,

DE⊥BC

,∴∠DFC=∠DEC=90°.又∠C=90°,∴四邊形CEDF是矩形（有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形）.∴AD平分∠BAC

,

DF⊥AC

,

DG⊥AB.∴DF=DG.同理可得DE=DG

,∴DE=DF.∴四邊形CEDF是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）.CEBAFDG例3：如圖，EG,FH過正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.證明：∵四邊形ABCD為正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO≌△BEO,∴OE=OH.同理可證：OE=OF=OG,BACBOEHGF∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四邊形EFGH為菱形.∵EO+GO=FO+HO

,即EG=HF,∴四邊形EFGH為正方形.BACBOEHGF做一做：順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形.順次連接矩形、正方形各邊中點(diǎn)能得到怎樣的特殊平行四邊形？ABCDABCDABCD矩形正方形任意四邊形平行四邊形菱形正方形EFGHEFGHEFGH中點(diǎn)四邊形三總結(jié)歸納常見中點(diǎn)四邊形比較1.下列命題正確的是（）A.四個(gè)角都相等的四邊形是正方形B.四條邊都相等的四邊形是正方形C.對(duì)角線相等的平行四邊形是正方形D.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形2．四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形一定是（）A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四邊形DC當(dāng)堂練習(xí)3.如圖，在四邊形ABCD中,

AB=BC

,對(duì)角線BD平分ABC

,

P是BD上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PMAD

,

PNCD

,垂足分別為M、N.(1)求證：ADB=CDB;(2)若ADC=90,求證：四邊形MPND是正方形.CABDPMN證明：（1）∵AB=BC,BD平分∠ABC.∴∠1=∠2.∴△ABD≌△CBD(AAS).∴∠ADB=∠CDB.12CABDPMN（2）∵∠ADC=90°;

又∵PM⊥AD,PN⊥CD;∴∠PMD=∠PND=90°.∴四邊形NPMD是矩形.∵∠ADB=∠CDB;∴∠ADB=∠CDB=45°.∴∠MPD=∠NPD=45°.

∴DM=PM,DN=PN.∴四邊形NPMD是矩形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）.有一個(gè)角是90°（或?qū)蔷€互相垂直）有一對(duì)鄰邊相等（或?qū)蔷€相等）平行四邊形矩形菱形正方形一組鄰邊相等且一個(gè)內(nèi)角為直角（或?qū)蔷€互相垂直平分且相等）有一個(gè)角是90°（或?qū)蔷€互相垂直）有一對(duì)鄰邊相等（或?qū)蔷€相等）課堂小結(jié)課后作業(yè)必做：1.習(xí)題（1、3）2.用所學(xué)中點(diǎn)四邊形的知識(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)基本圖形，然后在方格紙內(nèi)通過平移、旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱進(jìn)行圖案設(shè)計(jì)。選做：習(xí)題（5）暢言教育本課時(shí)編寫：合肥市第三十八中學(xué)徐晶老師第一單元·特殊平行四邊形正方形的性質(zhì)與判定（小結(jié)與復(fù)習(xí)）

項(xiàng)目四邊形對(duì)邊角對(duì)角線對(duì)稱性平行且相等平行且四邊相等平行且四邊相等四個(gè)角都是直角對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)四個(gè)角都是直角互相平分且相等互相垂直平分且相等，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角中心對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形互相垂直且平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角一、菱形、矩形、正方形的性質(zhì)要點(diǎn)梳理

四邊形條件①定義：有一外角是直角的平行四邊形②三個(gè)角是直角的四邊形③對(duì)角線相等的平行四邊形①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形②四條邊都相等的四邊形③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形①定義：一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形②有一組鄰邊相等的矩形③有一個(gè)角是直角的菱形二、菱形、矩形、正方形的常用判定方法例1：如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的邊長(zhǎng)AB和對(duì)角線AC的長(zhǎng).解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD(菱形的對(duì)角線互相垂直)

OB=OD=BD=×6=3(菱形的對(duì)角線互相平分)在等腰三角形ABC中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形.∴AB=BD=6.ABCOD考點(diǎn)一菱形的性質(zhì)和判定考點(diǎn)講練證明：在△AOB中. ∵AB=,

OA=2,OB=1.∴AB2=AO2+OB2.∴△AOB是直角三角形,∠AOB是直角.

∴AC⊥BD. ∴□ABCD是菱形

(對(duì)角線垂直的平行四邊形是菱形).1.已知：如右圖,在□ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AB=,OA=2,OB=1.求證：□ABCD是菱形.ABCOD針對(duì)訓(xùn)練22.已知：如圖,在△ABC,

AD是角平分線,點(diǎn)E、F分別在AB、

AD上,且AE=AC,EF=ED.求證：四邊形CDEF是菱形.ACBEDF證明：∵∠1=∠2,

又∵AE=AC,

∴△ACD≌

△AED(SAS).

同理△ACF≌△AEF(SAS). ∴CD=ED,CF=EF.

又∵EF=ED, ∴四邊形ABCD是菱形（四邊相等的四邊形是菱形）.13.如圖，兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，猜想重疊部分的四邊形ABCD是什么形狀？說說你的理由.ABCDEF解：四邊形ABCD是菱形.過點(diǎn)C作AB邊的垂線交點(diǎn)E,作AD邊上的垂線交點(diǎn)F.S四邊形ABCD=AD

·CF=AB

·CE

.由題意可知CE=CF且四邊形ABCD是平行四邊形.∴AD=AB.∴四邊形ABCD是菱形.例2：如圖,在矩形ABCD中,兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O,∠AOD=120°,AB=2.5

,求矩形對(duì)角線的長(zhǎng).解：∵四邊形ABCD是矩形.∴AC=

BD(矩形的對(duì)角線相等).

OA=

OC=

AC,OB=OD=

BD,

(矩形對(duì)角線相互平分) ∴OA=OD.ABCDO考點(diǎn)二矩形的性質(zhì)和判定ABCDO∵∠AOD=120°,∴∠ODA=∠OAD=

(180°-120°)=30°.又∵∠DAB=90°,（矩形的四個(gè)角都是直角）∴BD

=2AB

=

2×2.5=5.4.如圖,在□ABCD中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O

,△ABO是等邊三角形,

AB=4,求□ABCD的面積.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OA=OC,OB=OD.又∵△ABO是等邊三角形,∴OA=OB=AB=4,∠BAC=60°.∴AC=BD=2OA=2×4=8.ABCDO針對(duì)訓(xùn)練∴□ABCD是矩形

（對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）.∴∠ABC=90°（矩形的四個(gè)角都是直角）

.

在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,

∴BC= .∴S□ABCD=AB·BC=4× =ABCDO5.如圖，O是菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于點(diǎn)E，四邊形CEBO是矩形嗎？說出你的理由.DABCEO解：四邊形CEBO是矩形.理由如下：已知四邊形ABCD是菱形.∴AC⊥BD.∴∠BOC=90°.∵DE∥AC,CE∥BD，∴四邊形CEBO是平行四邊形.

∴四邊形CEBO是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）.例3：如圖在正方形ABCD中,E為CD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CE=CF.BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四邊形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°.（正方形的四條邊都相等,四個(gè)角都是直角）∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.ABDCFE考點(diǎn)三正方形的性質(zhì)和判定∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.(2)延長(zhǎng)BE交DE于點(diǎn)M,∵△BCE≌△DCF

,∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°

,∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°

,∴∠