基本不等式解題方法

基本不等式解題方法

基本不等式應用1.若$x>0$，則$x+\frac{11}{x}\geq2\sqrt{11}$（當且僅當$x=\sqrt{11}$時取等）；若$x<0$，則$x+\frac{11}{x}\leq-2$（當且僅當$x=-1$時取等）或$x+\frac{11}{x}\geq2$（當且僅當$x=1$時取等）；若$x\neq0$，則$x+\frac{1}{x}\geq2$即$x+\frac{1}{x}\geq2$或$x+\frac{1}{x}\leq-2$（當且僅當$x=-1$時取等）2.若$ab>0$，則$\frac{a}+\frac{a}\geq2$（當且僅當$a=b$時取等）；若$ab\neq0$，則$\frac{a}+\frac{a}\geq2$或$\frac{a}+\frac{a}\leq-2$（當且僅當$a=-b$時取等）3.若$a,b\in\mathbb{R}$，則$(a-b)^2\geq0$（當且僅當$a=b$時取等）即$a^2+b^2\geq2ab$（當且僅當$a=b$時取等）注：（1）當兩個正數(shù)的積為定值時，可以求它們的和的最小值，當兩個正數(shù)的和為定值時，可以求它們的積的最大值，正所謂“積定和最小，和定積最大”。（2）求最值的條件為“一正，二定，三取等”。（3）均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應用。應用一：求最值。例1：求下列函數(shù)的值域（1）$y=3x^2+\frac{2}{x}$（2）$y=x+\frac{2}{x^2}$解：（1）$y=3x^2+\frac{2}{x}\geq2\sqrt{3x^2\cdot\frac{2}{x}}=2\sqrt{6}$，所以值域為$[2\sqrt{6},+\infty)$。當$x=\sqrt{2}$時，$y=3x^2+\frac{2}{x}=11+2\sqrt{2}$，故最小值為$11+2\sqrt{2}$。（2）$y=x+\frac{2}{x^2}=x+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}\leqx+2\sqrt{\frac{1}{x^2}\cdot\frac{1}{x^2}}=x+\frac{2}{|x|}$當$x>0$時，$y\geq2$，當$x<0$時，$y\leq-2$，故值域為$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$。解題技巧：技巧一：湊項例1：已知$x<\frac{5}{4}$，求函數(shù)$y=4x-2+\frac{1}{5-4x}$的最大值。解：因為$x<\frac{5}{4}$，所以首先要“調(diào)整”符號，又$4x-2+\frac{1}{5-4x}$不是常數(shù)，所以對$4x-2$要進行拆、湊項：$x<\frac{5}{4}$，$\therefore5-4x>0$，$\because4x-2=2(2x-1)$，$\therefore5-4x=\frac{5}{2}-2(2x-1)$，$\thereforey=4x-2+\frac{1}{5-4x}=-\frac{4x-5}{5-4x}+4x-2=\frac{16x^2-26x+9}{5-4x}$$\because\frac{16x^2-26x+9}{5-4x}=\frac{16(x-\frac{13}{16})^2-\frac{23}{8}}{5-4x}\geq-\frac{23}{8}$$\thereforey\leq-\frac{23}{8}$，當且僅當$x=\frac{13}{16}$時取等號。故$y_{\max}=-\frac{23}{8}$。評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1：當$x>0$時，求$y=x(8-2x)$的最大值。解析：由已知，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值。注意到$2x+(8-2x)=8$為定值，故只需將$y=x(8-2x)$湊上一個系數(shù)即可。$y=x(8-2x)=2x\cdot\frac{4-x}{2}\leq2\left(\frac{x+\frac{4-x}{2}}{2}\right)^2=2$，當且僅當$x=2$時取等號。故$y_{\max}=2$。解析：本題需要先將文章中的格式錯誤和明顯有問題的段落刪除，然后對每段話進行小幅度改寫，使其更加清晰明了。技巧一：分離例1.求函數(shù)y＝x2－6x＋5的最小值。解析：將y＝（x－3）2－4分離，得到y(tǒng)的最小值為－4，當且僅當x＝3時取“＝”號。技巧二：湊系數(shù)例2.已知x＞0，求函數(shù)y＝x＋1/x的最小值。解析：將y＝x＋1/x＝x2＋1/x2＋2分離，得到y(tǒng)的最小值為2，當且僅當x＝1時取“＝”號。技巧三：分離例3.求y＝x2＋7x＋10/x＋1(x＞－1)的值域。解析：將y＝（x＋3）＋1/x＋1分離，當x＞－1/3時，y的最小值為2；當x＝－1/3時，y的最小值為－2/3。技巧四：換元例4.求函數(shù)y＝x2－5x＋6/x的最小值。解析：令t＝x－2/x，則y＝t2－2分離，得到y(tǒng)的最小值為－2，當且僅當x＝1或x＝2時取“＝”號。技巧五：注意單調(diào)性例5.已知x＞0，求函數(shù)y＝x－2/x的最小值。解析：將y＝x－2/x＝（x－1）2－1分離，得到y(tǒng)的最小值為－1，當且僅當x＝1時取“＝”號。由于x－2/x在x＞0時單調(diào)遞減，所以y的最小值為－1。練習1.求函數(shù)y＝1/t＋1/(1－t)的最小值，并求取得最小值時，t的值。2.已知x＜1，求函數(shù)y＝x/(1－x)的最大值。3.已知x＜2/3，求函數(shù)y＝x(2－3x)的最大值。4.若實數(shù)滿足a＋b＝2，則3a＋3b的最小值是多少？解析：無需改寫，直接刪除格式錯誤和明顯有問題的段落。分析：由題目可得2b＋ab＋a＝30，即a(2＋b)＝30－2b，因為a，b為正實數(shù)，所以2＋b＞0，即b＞－2，又因為a(2＋b)＝30－2b＞0，所以a＞0，故可以采用均值不等式求解。設2＋b＝k，則a＝(30－2b)/k，因為a，b為正實數(shù)，所以k＞0，代入y＝ab＝(30－2b)/(2＋b)得y＝15－(60/(2＋b))，因為2＋b＞0，所以y的最小值為15，當且僅當b＝－2時，y取得最小值。應用三：基本不等式與恒成立問題已知$x>0,y>0$且$\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}=1$，求使不等式$x+y\geqm$恒成立的實數(shù)$m$的取值范圍。解：令$x+y=k$，則$\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}=1$可化為$\dfrac{9}{k-x}+\dfrac{1}{k-y}=1$。由基本不等式可得：$\left(\dfrac{9}{k-x}+\dfrac{1}{k-y}\right)\left[(k-x)+(k-y)\right]\geq(3+1)^2=16$，即$(k-x)+(k-y)\geq\dfrac{16}{10}=\dfrac{8}{5}$。又因為$x>0,y>0$，所以$k=x+y>0$，故$m$的取值范圍為$(-\infty,\dfrac{8}{5}]$。應用四：均值定理在比較大小中的應用若$a>b>1$，$P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}$，$Q=\dfrac{1}{2}\left(\loga+\logb\right)$，$R=\log\dfrac{a+b}{2}$，則$P,Q,R$的大小關系是什么。分析：由于$a>b>1$，所以$\loga>\logb$，即$Q>\dfrac{1}{