安徽省滁州市來(lái)安縣半塔中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析

安徽省滁州市來(lái)安縣半塔中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，正方體中，，分別為棱、上的點(diǎn)；已知下列判斷：①平面；②在側(cè)面上的正投影是面積為定值的三角形；③在平面內(nèi)總存在與平面平行的直線；④平面與平面所成的二面角（銳角）的大小與點(diǎn)的位置有關(guān)，與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)；其中正確判斷的個(gè)數(shù)有

(

)A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)參考答案：B略2.某次數(shù)學(xué)測(cè)試后從兩個(gè)班中各隨機(jī)的抽取10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，作出它們的莖葉圖如圖所示，已知甲班的中位數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，乙班的中位數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，則由莖葉圖可得

（

）A．

B．C．

D．參考答案：A3.如圖給出的是計(jì)算的值的一個(gè)程序框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是A．i>10?

B．i<10?

C．i>20?

D．i<20?參考答案：A4.（理）設(shè)全集是實(shí)數(shù)集，，，則圖中陰影部分表示的集合是A． B． C． D．參考答案：B：Venn圖表示的是,因?yàn)?，，所以，故選B。5.函數(shù)（其中）的圖象如圖所示，為了得到的圖像，則只要將的圖像 （

）

A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度

B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度

D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度參考答案：A略6.（5分）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+6）=f（x）．當(dāng)x∈[﹣3，﹣1）時(shí)，f（x）=﹣（x+2）2，當(dāng)x∈[﹣1，3）時(shí)，f（x）=x，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=（）A．336B．355C．1676D．2015參考答案：A【考點(diǎn)】：數(shù)列與函數(shù)的綜合．【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】：直接利用函數(shù)的周期性，求出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的和，然后求解即可．解：定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+6）=f（x）．可得函數(shù)的周期為：6，當(dāng)x∈[﹣3，﹣1）時(shí)，f（x）=﹣（x+2）2，當(dāng)x∈[﹣1，3）時(shí)，f（x）=x，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（﹣3）=﹣1，f（4）=f（﹣2）=0，f（5）=f（﹣1）=﹣1，f（6）=f（0）=0，2015=6×335+5，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+335[f（1）+f（2）+…+f（6）]=1+2﹣1+0﹣1+335×（1+2﹣1+0﹣1+0）=336．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查數(shù)列與函數(shù)相結(jié)合，函數(shù)的值的求法，函數(shù)的周期性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．7.已知復(fù)數(shù)（其中i是虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z落在第二象限，則a的范圍(-1,

B.(-1.1)

C.(-∞,-1)

D.(1,)參考答案：C略8.設(shè)甲、乙兩地的距離為，小王騎自行車勻速?gòu)募椎氐揭业赜昧?0分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又勻速?gòu)囊业胤祷丶椎赜昧?0分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過(guò)的路程y和其所用的時(shí)間x的函數(shù)的圖象為

參考答案：D9.設(shè)x∈R，則x=l是的()

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A10.把五位領(lǐng)導(dǎo)派往三個(gè)不同的城市監(jiān)督檢查指導(dǎo)食品衛(wèi)生工作，要求每個(gè)城市至少派一位領(lǐng)導(dǎo)的不同分配方案有（

）A.36種

B.150種

C.240種

D.300種參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知雙曲線，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，右準(zhǔn)線與一條漸近線的交點(diǎn)為P，且|OP|、|PF|、|OF|成等差數(shù)列，則雙曲線的離心率

.參考答案：答案:

12.已知復(fù)數(shù)，則z的虛部為

．參考答案：113.如圖，邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC放置在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AC在x軸上，頂點(diǎn)B與y軸上的定點(diǎn)P重合．將正三角形ABC沿x軸正方向滾動(dòng)，即先以頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)頂點(diǎn)B落在x軸上時(shí)，再以頂點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此繼續(xù)．當(dāng)△ABC滾動(dòng)到△A1B1C1時(shí)，頂點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為；在滾動(dòng)過(guò)程中，的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由題意便可知道，點(diǎn)B的軌跡為兩個(gè)圓心角都為的圓弧和一個(gè)點(diǎn)，這樣即可求出點(diǎn)B的軌跡長(zhǎng)度，分別求出點(diǎn)B在滾動(dòng)前后的縱坐標(biāo)的最大值，并求出P（），這樣即可求出的最大值．【解答】解：根據(jù)題意知，點(diǎn)B的軌跡為兩個(gè)圓心角為所對(duì)的圓弧和一個(gè)點(diǎn)；且圓弧的半徑為2；∴頂點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為；，設(shè)B（x，y）；①?zèng)]滾動(dòng)前點(diǎn)B坐標(biāo)；∴；②第一次滾動(dòng)后B點(diǎn)縱坐標(biāo)y≤2；∴；③第二次滾動(dòng)后B點(diǎn)坐標(biāo)（3，0）；∴；④第三次滾動(dòng)后B點(diǎn)縱坐標(biāo)y≤2；∴；∴的最大值為．故答案為：．14.如圖，B是AC的中點(diǎn)，，P是平行四邊形BCDE內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且．有以下結(jié)論：①當(dāng)x＝0時(shí)，y∈[2，3]；②當(dāng)P是線段CE的中點(diǎn)時(shí)，；③若x+y為定值1，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的軌跡是一條線段；④x﹣y的最大值為﹣1；其中你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)____．參考答案：②③④【分析】利用向量共線的充要條件判斷出①錯(cuò)，③對(duì)；利用向量的運(yùn)算法則求出，求出x，y判斷出②對(duì),利用三點(diǎn)共線解得④對(duì)【詳解】對(duì)于①當(dāng)，據(jù)共線向量的充要條件得到P在線段BE上，故1≤y≤3，故①錯(cuò)對(duì)于②當(dāng)P是線段CE的中點(diǎn)時(shí)，故②對(duì)對(duì)于③x+y為定值1時(shí)，A，B，P三點(diǎn)共線，又P是平行四邊形BCDE內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，故P的軌跡是線段，故③對(duì)對(duì)④，，令，則，當(dāng)共線，則，當(dāng)平移到過(guò)B時(shí)，x﹣y的最大值為﹣1，故④對(duì)故答案為②③④【點(diǎn)睛】本題考查向量的運(yùn)算法則、向量共線的充要條件,考查推理能力，是中檔題15.．正三棱錐內(nèi)接于球，且底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則球的表面積為

．參考答案：如圖，設(shè)三棱錐的外接球球心為O，半徑為r，BC=CD=BD=，AB=AC=AD=2，，M為正的中心，則DM=1，AM=，OA=OD=r，所以，解得，所以．16.如圖，已知點(diǎn)在圓直徑的延長(zhǎng)線上，過(guò)作圓的切線,切點(diǎn)為若,則圓的面積為

.參考答案：略17.和棱長(zhǎng)為2的正方體6個(gè)面都相切的球的表面積是_________．參考答案：4π三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（13分）

已知函數(shù)

上恒成立.

（1）求的值；

（2）若

（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使函數(shù)上有最小值－5？若

存在，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：解析:（1）

恒成立

即恒成立

顯然時(shí)，上式不能恒成立

是二次函數(shù)

由于對(duì)一切于是由二次函數(shù)的性質(zhì)可得

即

．

（2）

即

當(dāng)，當(dāng)．

（3）

該函數(shù)圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為

假設(shè)存在實(shí)數(shù)m使函數(shù)區(qū)間

上有

最小值－5.

①當(dāng)上是遞增的.

解得舍去

②當(dāng)上是遞減的，而在

區(qū)間上是遞增的，

即

解得

③當(dāng)時(shí)，上遞減的

即

解得應(yīng)舍去.

綜上可得，當(dāng)時(shí)，

函數(shù)19.（2015?大連模擬）已知曲線C：，直線l：（t為參數(shù)）（1）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，寫(xiě)出直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的參數(shù)方程；（2）過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；坐標(biāo)系和參數(shù)方程．分析：（1）把曲線C的普通方程化為參數(shù)方程，把直線l的參數(shù)方程化為普通方程，再把普通方程化為極坐標(biāo)方程即可；（2）利用曲線C的參數(shù)方程求出點(diǎn)P到直線l的距離d，計(jì)算|PA|=，利用三角函數(shù)的恒等變換求出它的最大與最小值即可．解答：解：（1）∵曲線C：，∴C的參數(shù)方程為，θ為參數(shù)；又直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），化為普通方程是l：y=2﹣x，把代入得，ρsinθ=2﹣ρcosθ，化簡(jiǎn)，得ρ（sinθ+cosθ）=2，即ρsin（θ+）=1，∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+）=1；（2）設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P（2cosθ，sinθ），則點(diǎn)P到直線l的距離為d==，∴|PA|==2d=|sin（θ+α）﹣2|，其中α為銳角，當(dāng)sin（θ+α）=﹣1時(shí)，|PA|取得最大值，為+2；當(dāng)sin（θ+α）=1時(shí)，|PA|取得最小值，為﹣2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓的參數(shù)方程和極坐標(biāo)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了三角函數(shù)的恒等變換的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．20.已知是函數(shù)的極值點(diǎn).（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）求證：函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)，且.（參考數(shù)據(jù)：，，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）參考答案：(Ⅰ)(Ⅱ)見(jiàn)證明【分析】(Ⅰ)根據(jù)，求得實(shí)數(shù)的值，通過(guò)導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證函數(shù)單調(diào)，可知時(shí)極值點(diǎn)為，滿足題意；(Ⅱ)由(Ⅰ)函數(shù)的極小點(diǎn)值位于，此時(shí)的零點(diǎn)位于，且此為的極小點(diǎn)值點(diǎn)，代入，中，化簡(jiǎn)即可得到關(guān)于的二次函數(shù)，求解二次函數(shù)在區(qū)間上的值域即可證明結(jié)論?！驹斀狻拷猓?Ⅰ)因?yàn)椋沂菢O值點(diǎn)，所以，所以.此時(shí)，設(shè)，則.則當(dāng)時(shí)，為減函數(shù).又，所以在時(shí)，，為增函數(shù)；時(shí)，，為減函數(shù).所以為的極大值點(diǎn)，符合題意.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，且，所以存在當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù)，所以函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn).又，已知，可得，所以，所以，且滿足.所以.其中也可以用如下方式證明：，設(shè)，則.則當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù).所以所以在，所以【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵是能夠利用零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)處理問(wèn)題，從而可將證明問(wèn)題轉(zhuǎn)化為某一個(gè)區(qū)間內(nèi)二次函數(shù)值域問(wèn)題的求解，考查了學(xué)生基本計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化與劃歸思想，屬于難題。21.如圖，等邊三角形PAC所在平面與梯形ABCD所在平面互相垂直，且有，，.（1）證明：平面PAB⊥平面PAC；（2）求二面角的余弦值.參考答案：（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）由平面幾何知識(shí)可得，再由面面垂直的性質(zhì)定理得平面，最后由面面垂直的判定定理得結(jié)論；（2）取中點(diǎn)為，可得，從而有平面，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面和平面的法向量，利用法向量的夾角得出二面角（注意二面角是銳角還是鈍角）.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，則四邊形為菱形，即有，所以.又平面，平面平面，平面平面，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）由（1）可得，取中點(diǎn)，連接，則，，又平面，平面平面，平面平面，∴平面.以為原點(diǎn)建系如圖，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得.設(shè)平面的法向量為，則，取，，.∴二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的判定與求二面角.在立體幾何證明中，得出結(jié)論時(shí)，注意定理的條件要寫(xiě)全，否則證明過(guò)程不全面.求空間角問(wèn)題，可用向量法求解，即建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的方向向量和平面的法向量，利用向量夾角與空間角的關(guān)系求解，這里對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力要求較高.22.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（﹣1，0），其傾斜角為α，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系．設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直線l與曲線C有公共點(diǎn)，求α的取值范圍；（2）設(shè)M（x，y）為曲線C上任意一點(diǎn)，求x+y的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系；簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．專題：直線與圓．分析：（1）先根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的公式，算出曲線C的直角坐標(biāo)方程，再結(jié)合直線l的參數(shù)方程：，聯(lián)解得到關(guān)于參數(shù)t的二次方程，運(yùn)用根的判別式列式并解之，即可得到角α的取值范圍；（2）由（1）可得曲線C的參數(shù)方程，從而得到x+y=3+2sin（θ+），最后結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到x+y的取值范圍．解答： 解：（1）將曲線ρ2﹣6ρcosθ+5=0化