2023年高三一模數(shù)學(xué)試題

2022—2023學(xué)年第二學(xué)期期中練習(xí)

高三數(shù)學(xué)2023.04

本試卷共4頁，150分?？荚嚂r(shí)長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答做卡上，在武卷上作答無

效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題共10小題，每小期4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求

的一項(xiàng)。

(1)已知集合/={x|l<x<3),5=(0,1,2),則力八8二

(A){2}(B)(0,1)(C)(1,2)(D)(0,1,2)

(2)若a+2i=i(b+i)(%6WR),其中i是虛數(shù)單位，則a+b=

(A)-1(B)1(C)-3(D)3

(3)在等差數(shù)列&}中，。2=】，。4=5,貝=

(A)9(B)11(C)13(D)15

(4)已知拋物線/=4x的焦點(diǎn)為"點(diǎn)P在該拋物線上，且尸的橫坐標(biāo)為4,貝(1IPFI=

(A)2(B)3(C)4(D)5

(5)若+貝U4-。3+02-。1=

(A)-1(B)1(C)15(D)16

(6)已知直線”x+w與圓O：d+”=4交于4,8兩點(diǎn)，且△/。8為等邊三角形，則利的值為

(A)±y/2(B)土用(C)±2(D)土面

(7)在△4BC中，△C=90。，48=30。，NB4c的平分線交于點(diǎn)D.若而=A初+HAC

(LMGR),則公=

(A)y(B)y(C)2(D)3

(9)巳知等比數(shù)列⑷的公比為9,且記*=為/…4(”=1，2,3,…)，則工>0且4>1”

是。區(qū))為遞增數(shù)列”的

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件

(10)劉老師沿著某公園的環(huán)形跑道(周長大于1km)按逆時(shí)針方向跑步,

他從起點(diǎn)出發(fā)、并用軟件記錄了運(yùn)動(dòng)軌跡，他每跑1km,軟件會(huì)在

運(yùn)動(dòng)軌跡上標(biāo)注出相應(yīng)的里程數(shù).已知?jiǎng)⒗蠋煿才芰?1kw,恰好回

到起點(diǎn),前5km的記錄數(shù)據(jù)如圖所示，則劉老師總共跑的圈數(shù)為

(A)7(B)8(C)9(D)10

二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。

(11)不等式土土>0的解集為__________?

x+2

(12)已知雙曲線。：m-當(dāng)=1的漸近線方程為六土后，則C的離心率為________.

ab

(13)已知函數(shù)/1(x)=sin(x+?)(0w”2兀).若f(x)在區(qū)間兀]上單調(diào)遞減，則少的一個(gè)取值

可以為.

[(x-a+l)(x+l),x<1,

(14)設(shè)函數(shù)為外=,

Ilgx-a,x>l.

①當(dāng)a=0時(shí)，>V(D)=;

②若/(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是.

(15)在2ABC中，"CB=90。，4c=3C=2,。是邊4C的中點(diǎn)，E是邊數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)(不與4,B

重合)，過點(diǎn)E作4c的平行線交3c于點(diǎn)尸，將△BE尸沿即折起，點(diǎn)3折起后的位置記為

點(diǎn)P,得到四棱錐P-/CfE,如圖所示.給出下列四個(gè)結(jié)論：P

①ACH平面PEF；、

②SPEC不可能為等腰三角形；

③存在點(diǎn)E,P,使得PD_LZE；DC

④當(dāng)四棱錐P-4CFE的體積最大時(shí)，AE=y/2.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

高三年級(jí)(數(shù)學(xué))第2頁(共4頁)

如圖,直三棱柱中

D是相?的中點(diǎn).

（I）證明：CQ坪面BCD；

（D）求直筑CD與平面BC\D所成角的正弦曲

（17）（本小題14分）

在△X5C中.fcsin24=yfiasmB.

（I）求々；

（U）若a"C的面積為3b，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇_個(gè)作為已知

使△9＜：存在且唯一確定，求°的值,

和相）：sMC=^；釧牛②：於芋；條例）：^=畫

47

注：如果選擇的條件不符合要求，第（H）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解

答，按第一個(gè)解答計(jì)分.彳

（18）（本小題14分）

網(wǎng)購生鮮蔬菜成為很多家庭日常消費(fèi)的新選擇.某小區(qū)物業(yè)對(duì)本小區(qū)三月份參與網(wǎng)購生鮮蔬

菜的家庭的網(wǎng)購次數(shù)進(jìn)行調(diào)查，從一單元和二單元參與網(wǎng)購生鮮蔬菜的家庭中各隨機(jī)抽取io戶,

分別記為Z組和8組，這20戶家庭三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜的次數(shù)如下圖：

4

47

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且各戶網(wǎng)購生鮮蔬菜的情況互不影響.

（I）從一單元參與網(wǎng)購生鮮蔬菜的家庭中隨機(jī)抽取1戶，估計(jì)該戶三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于

20的概率；

（口）從一單元和二單元參與網(wǎng)購生鮮蔬菜的家庭中各隨機(jī)抽取1戶，記這兩戶中三月份網(wǎng)購生鮮

蔬菜次數(shù)大于20的戶數(shù)為X,估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）;

（DI）從/組和8組中分別隨機(jī)抽取2戶家庭，記6為n組中抽取的兩戶家庭三月份網(wǎng)購生鮮蔬

菜次數(shù)大于20的戶數(shù)，4為§組中抽取的兩戶家庭三月份網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)大于20的戶數(shù),

比較方差。G）與。（&）的大小?（結(jié)論不要求證明）

高三年級(jí)（數(shù)學(xué)）第3頁（共4頁）

(19)(本小題14分)

已知就回E：鳥+1=1(。>6>0)的左、右頂點(diǎn)分別為4,上、下頂點(diǎn)分別為0，與

ab

I3向I=2,四邊形4B”/)的周長為4遍.

(I)求橢圓￡的方程;

(口)設(shè)斜率為太的直線/與X軸交于點(diǎn)尸，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M,M點(diǎn)”關(guān)于y軸的對(duì)

稱點(diǎn)為AC、直線MW與N軸交于點(diǎn)。,若△OP。的面積為2,求Z的值.

(20)(本小題15分)

已知函數(shù)〃幻=/7.

(I)當(dāng)。=1時(shí)，求曲線片/㈤在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程；

(D)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(n)若存在X?^G[-1,1],使得/(陽)/3)N9,求a的取值范圍.

(21)(本小題15分)

已知數(shù)列｛%｝.給出兩個(gè)性質(zhì)：

①對(duì)于｛a?｝中任意兩項(xiàng)q，勺(),在d｝中都存在一項(xiàng)會(huì)，使得ak=a巧；

②對(duì)于其｝中任意連續(xù)三項(xiàng),，a“+i，an+2,均有(a?-an+1-an+2)(an--^-an+l~an^2)=0.

(I)分別判斷以下兩個(gè)數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，并說明理由：

(i)有窮數(shù)列⑷:4=2小(〃=1,2,3);

(H)無窮蜥II0｝:6?=2n-l(n=l,2,3,…).

(D)若有窮數(shù)列｛四｝滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，且各項(xiàng)互不相等，求項(xiàng)數(shù)m的最大值；

(I!I)若數(shù)列｛a“｝滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，且為>0,a2<-l,%=2,求的通項(xiàng)公式.

南三年級(jí)(數(shù)學(xué))第4頁(共4頁)

2022—2023學(xué)年第二學(xué)期期中練習(xí)

高三數(shù)學(xué)

參考答案

一、選擇題

題目12345678910

答案ABCDCDBABB

二、填空題

(11)(一0°,一2)(1,4-℃))(12)2

（13）］（答案不唯一，夕€?,勺）(14)1；(^?,0][2,+oo)

262

(15)①③

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。

（16）（本小題13分）

解：（I）由直三棱柱ABC-AqG可知BCLCG，又因?yàn)锳C_L3C,且4c|CC.=C,

所以BCJ.平面CGAA.

由C|Du平面CGAA,所以BC^GD.

在矩形CGAA中，AD=DA,=\,CCt=2,所以。g=0,￡>C=&.

可得所以CQ_LC￡>.

又因?yàn)?cCD=C,

所以G。，平面BCD.

（II）由題意可知，C4,C8,CC|兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系C-qz,

高三數(shù)學(xué)參考答案第1頁（共7頁）

則C(0,0,0),Z)(l,0,1),5(0,1,0),G(0,0,2),

BD=,BCy=(0,-1,2),CD=(1,0,1).

設(shè)平面5G。的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),則

n-BD=0,(x-y+z=0,

<___.即<~c

n-BC]=0,[-y+2z=0.

令z=l,則y=2,x=l,得”=(1,2,1).

設(shè)直線CD與平面BCtD所成角為。,

—卬〃|右

貝ijsinQ=|cos<CD,n>|='.=—,

Ml?l3

所以直線CO與平面BCQ所成角的正弦值為坐.

(17)(本小題14分)

解：(I)由加in24=JiosinB及正弦定理，得sin5sin24=JJsin4sin3.

由倍角公式得2sin5sin4cos4=GsinZsinB.

在AABC中，sinZn0,sin8n0,

得cosA=—.

2

因?yàn)?€(0，W)，

所以4=?.

6

(II)記△X8C的面積為S△...

選條件②：

由(I)知力=/，又由題知Sggf=3G>

6

可得S。*=g比sin/

得be=12>/3.

又由條件②，即2=亞，解得6=3G,C=4.

c4

由余弦定理，得

高三數(shù)學(xué)參考答案第2頁（共7頁）

a2=b2-^c2—2hccosA

=27+16-2x3由X4X走，

2

=7

所以。=J7.

選條件③：

又由條件③，即cosC=與以及Ce（O㈤,可得si心事

1@+與組=通

所以sin8=sin(4+C)=sinZcosC+cos4sinC=

272714

由(I)知4=5,

6

又由題知S△詆=3百，可得S△詆=gbcsin4

得be=12>/3.

由正弦定理得。：b:c=sin/：sin8:sinC=7:3JIT:4近.

可設(shè)a=7k,b=3/k,c=Nik.

由be=12，得左=-

得a=5/7.

（18）（本小題14分）

解：（I）設(shè)該戶網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)超過20次為事件C,在4組10戶中超過20次的有3戶，由

樣本頻率估計(jì)總體概率，則P（O=-.

10

（II）由樣本頻率估計(jì)總體概率，一單元參與網(wǎng)購家庭隨機(jī)抽取1戶的網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)超過20

次概率為上，二單元參與網(wǎng)購家庭隨機(jī)抽取1戶的網(wǎng)購生鮮蔬菜次數(shù)超過20次概率為乙.

1010

X的取值范圍為{0,1,2}.

N,7o1

^(^=0)=(1--)x(1——)=—,

1010100

373729

P(X=1)=—x(!--)+(!-—)x—=—

1010101050

尸。=2）=看/喘.

E(X)=0x—!-+lx29c21,

-----F2x-----=1.

10050100

高三數(shù)學(xué)參考答案第3頁（共7頁）

(Ill)。&)=。?).

19.（本小題14分）

解：（1）依題意可得：

'2b=2,

4\la2+b2=4\/6.

解得卜=技

[b=L

橢圓E的方程為《+y2=i

5

（II）依題意，可設(shè)直線/方程為y="+機(jī)（切zwO）,MOQI）,陽/,%）?

r2_i

聯(lián)立方程行+y=L

y=lex+m.

得(5k2+l)x2+lOknr+5m2-5=0.

A=(l0km)2-4<5k2+l)(5w2-5)=100A:2-20m2+20>0,BP5k2>rrT

10%”?5w2-5

靈丁F"赤p

在直線/方程y=丘+機(jī)中，令y=0,得'=-'，得P(一生,0).

kk

依題意得M'(F，y),得直線M'N方程為y="2(x+xJ+M.

x2+百

令x=0,得.

x}+x2

所以△op。的面積為S.Q=四三士』.

ZZ/C||%?X-)

xiy2+x2y1=Xj(kx2+m)+x2(kx]+in)=2kx[x2+〃7(3+x2)

_2k5m2-510km?-10-

-5*2+l~5k2+l~5r+1'

即5必?！贵脇?|或|=2,解得％=±L經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.

△°世2k\|10fo?|4

所以出的值為士4.

4

高三數(shù)學(xué)參考答案第4頁（共7頁）

(20)(本小題15分)

解：(I)當(dāng)4=1時(shí)，f(x)=ev-x,

則”0)=1?

求導(dǎo)得r(x)=ev-l,

得尸(0)=0.

所以曲線y=f(x)在(0,/(0))處的切線方程為y=l.

(II)求導(dǎo)得f\x)=-1.

當(dāng)a40時(shí)，/(x)<0恒成立，此時(shí)/(x)在R上單調(diào)遞減.

當(dāng)4>0時(shí).，令/(x)=o,解得x=-乂.

a

“X)與/'(X)的變化情況如下：

/ln〃、Ina/Ina、

X(-00,------------)(----收)

aaa

尸㈤—0+

“X)X極小值/

由上表可知，f(x)的減區(qū)間為(-00,-m9),增區(qū)間為(-回,+?>).

aa

綜上，當(dāng)時(shí)，/(x)的減區(qū)間為(fo,go),無增區(qū)間；

當(dāng)〃>0時(shí)，/(X)的減區(qū)間為(-8,-皿)，增區(qū)間為(_U吆,+8).

aa

(III)將/(x)在區(qū)間［-1,1］上的最大值記為/(x)max,最小值記為/(x)mjn.

由題意,若玉使得|/(x)|N3成立,即23或/(乩而4-3.

當(dāng)時(shí)，=-X>-%>-1.

所以若玉使得|/(x)|23成立，只需/(x)0m23.

由(II)可知/(x)在區(qū)間［-1川上單調(diào)或先減后增，故/(冷鵬為”-1)與/⑴中的較大者,

所以只需當(dāng)/(T)23或/(1)23即可滿足題意.

即/(-l)=e_o+l>3^/(l)=ea-l>3.

解得aM—ln2或〃Nln4.

綜上所述，a的取值范圍是(fo,-ln2］［In4,-B?).

高三數(shù)學(xué)參考答案第5頁(共7頁)

(21)(本小題15分)

解：(I)(i)不滿足.令i=j=3,%%=16不是數(shù)列｛?！埃械捻?xiàng).

(ii)滿足.對(duì)于任意生與白刃)，=(2/-1)(2J-1)=2(2(/-i-j+1)-1.

由于—i—/+1N1,故令k=2ij_i-j+l即可.

(II)(1)對(duì)于有窮數(shù)列｛4｝記其非零項(xiàng)中，絕對(duì)值最大的一項(xiàng)為冊(cè)，絕對(duì)值最小的一項(xiàng)為4.

故令i=/=p時(shí)，存在一項(xiàng)14|=|aiai|=a；.

又冊(cè)是數(shù)列｛4｝非零項(xiàng)中絕對(duì)值最大的，所以|與但”；，即0<|4區(qū)1.

再令i="=q時(shí)，存在一項(xiàng)|akH4%1=aj

又％是數(shù)列｛凡｝非零項(xiàng)中絕對(duì)值最小的，所以區(qū)為"

又10%國怎區(qū)1,

所以數(shù)列所有非零項(xiàng)的絕對(duì)值均為1.

又?jǐn)?shù)列｛4｝的各項(xiàng)均不相等，所以其至多有共3項(xiàng).

所以，〃W3.

(2)構(gòu)造數(shù)歹1"。"｝:0,-1』.

其任意兩項(xiàng)乘積均為0,7,1之一，滿足性質(zhì)①.

其連續(xù)三項(xiàng)滿足0-(-1)-1=0,滿足性質(zhì)②.

又其各項(xiàng)均不相等，所以該數(shù)列滿足條件，此時(shí)m=3.

(3)由(1)(2),帆的最大值為3.

(Ill)(1)首先證明:當(dāng)4>0,出<-1時(shí)，數(shù)列滿足%T>o,%<0,且IqIV4+21/=1,2,3,….(*)

因?yàn)閷?duì)于任意數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)。“，4,+1，4“+2，總有(%-%+1-%+2)3,-g%-限)=°?

即可+2=%-《川或%+2=4“-；〃心不論是哪種情形，均有

當(dāng)見>。>“,用時(shí)，an+2??+1>a?>0,即|an+21>|an\.

aa

當(dāng)為<°<4+1時(shí)，a“+2-n~\4,+l<4<0，亦有In+2l>l《J

又4>0>-1>々，故性質(zhì)(*)得證.

(2)考慮三項(xiàng)，有〃3=4—氏或。3=4-g。，.

若〃3=4-4，則4=。3+。2<1，此時(shí)令i=J=l，有q2V4,由性質(zhì)(*)知不存在％使得

%>0,且%=a\<4