微積分下1第七章

一、空間曲線的一般方程二、空間曲線在坐標面上的投影三、小結思考題第三節(jié)空間曲線及其在坐標面上的投影一、空間曲線的一般方程G(

x,

y,

z)

=

0空間曲線的一般方程空間曲線C可看作空間兩曲面的交線.F

(

x,

y,

z)

=

0特點：曲線上的點都滿足方程，滿足方程的點都在曲線上，不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程.xozyS1S2C例1

方程組表示怎樣的曲線？2

x

+

3

y

+

3z

=

6

x2

+

y2

=

12

x

+

3

y

+

3z

=

6解

x2

+

y2

=

1

表示圓柱面，2

x

+3

y

+3z

=6

表示平面，

x2

+

y2

=

1交線為橢圓.表示怎樣的曲線？例2

方程組2

2a2a(

x

-

2)

+

y

=

4z

=

a2

-

x2

-

y2解z

=

a2

-

x2

-

y2上半球面,2

2a2a(

x

-

2)

+

y

=

4圓柱面,交線如圖.G(

x,

y,

z)

=

0F

(

x,

y,

z)

=

0設空間曲線的一般方程：消去變量z后得：

H

(x,y)=0曲線關于xoy

的投影柱面投影柱面的特征：以此空間曲線為準線，垂直于所投影的坐標面.二、空間曲線在坐標面上的投影如圖:投影曲線的研究過程.空間曲線投影曲線投影柱面類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影

x

=

0R(

y,

z)

=

0

y

=

0T

(

x,

z)

=

0yoz

面上的投影曲線,

xoz面上的投影曲線,z

=

0H

(

x,

y)

=

0空間曲線在xoy

面上的投影曲線在坐標面上的投影.例3

求曲線2

1z

=

x2

+

y2

+

z2

=

1解（1）消去變量z后得x2

+

y2

=

3

,4在xoy面上的投影為34,z

=

0x2

+

y2

=232

, |

x

|￡

;

y

=

0z

=

1（3）同理在yoz

面上的投影也為線段.232

, |

y

|￡

.

x

=

0z

=

12所以在xoz

面上的投影為線段.（2）因為曲線在平面z

=1

上，例4求拋物面

y

2

+

z

2

=

x

與平面

x

+

2

y

-

z

=

0的截線在三個坐標面上的投影曲線方程.截線方程為

x

+

2

y

-

z

=

0

y2

+

z2

=

x解如圖,,（2）消去y得投影

y

=

0

x2

+

5z2

-

2

xz

-

4

x

=

0（3）消去x

得投影.x

=

0

y2

+

z2

+

2

y

-

z

=

0（1）消去z

得投影,

x2

+

5

y2

+

4

xy

-

x

=

0z

=

0補充:空間立體或曲面在坐標面上的投影.空間立體曲面例5設一個立體,由上半球面

z

=

4

-

x2

-

y2和

z

=

3(

x2

+

y2

)錐面所圍成,求它在

xoy面上的投影.半球面和錐面的交線為解z

=z

=C

:

4

-

x2

-

y2

,3(

x2

+

y2

),消去

z

得投影柱面

x2

+

y2

=

1,則交線C

在xoy

面上的投影為z

=

0.

x2

+

y2

=

1,一個圓,\

所求立體在xoy

面上的投影為x2

+

y2

￡

1.空間曲線的一般方程．F

(

x,

y,

z)

=

0三、小結空間曲線在坐標面上的投影．

H

(

x,

y)

=

0

R(

y,

z)

=

0

T

(

x,

z)

=

0z

=

0

x

=

0

y

=

0

G(

x,

y,

z)

=

0思考題求橢圓拋物面2

y

2

+x

2

=z

與拋物柱面

2

-x

2

=z的交線關于xoy面的投影柱面和在xoy面上的投影曲線方程.思考題解答,22

-

x

=

z2

y2

+

x2

=

z交線方程為消去z

得投影柱面x2

+

y2

=

1,xoy.在 面上的投影為

z

=

0

x2

+

y2

=

1一、填空題：曲面x2

+

9

y2

=

10z與

yoz平面的交線是

；通過曲線2x2

+

y2

+

z2

=

16,

x2

+

z2

-

y2

=

0，且母線平行于

y軸的柱面方程是

；曲線x2

+z2

+3

yz

-2x

+3z

-3

=0,y

-z

+1

=0在xoz平面上的投影方程是

；

y

=

2x

-

34.

方程組

y

=

5x

+1在平面解析幾何中表示

；5.方程組

4

+

9

=

1y2

x2在平面解析幾何中表示

y

=

3

，在空間解析幾何中表示

；練習題6

.

旋轉拋物面z

=

x

2

+

y2

(0

￡

z

￡

4)在xoy面上的投影為

，在

yoz

面上的投影為

，在zox

面上的投影為

.二、畫出下列曲線在第一卦限的圖形：1.

z

=

4

-

x

2

-

y

22.2

2x

+

z

=

a

2

x

-

y

=

0

x

2

+

y

2

=

a

2三、將曲線

y

=x

x

2

+

y

2

+

z

2

=

9化為參數(shù)方程．四、求螺旋線

y

=a

sinq

在三個坐標面上的投影曲線z

=

bq的直角坐標方程.

x

=

a

cosq五、求由上半球面z

=a

2

-x

2

-y

2

,柱面

x

2

+y

2

-ax

=0

及平面z

=0

所圍成的立體，在

xoy

面和xoz

面上的投影.一、1.

9

x

=

0

y2

=

10

z； 2.

3

y2

-

z

2

=

16,3

x

2

+

2z

2

=

16；3.

y

=

0

x

2

+

4z

2

-

2

x

-

3

=

0；4.兩直線的交點,兩平面的交線；x

2

y2橢圓與其一切線的交點,橢圓柱面

+ =

1與4

9其切平面y

=3的交線；x

2

+

y2

￡

4,

y2

￡

z

<

4,

x

2

￡

z

￡

4.練習題答案三、

y

=z

=

3

sin

tcos

t

,(0

￡

t

￡

2p).2

3

2

x

=

3

cos

t四、