人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第17章勾股定理全套課件

第十七章

勾股定理17.1勾股定理第1課時(shí)

勾股定理第十七章勾股定理17.1勾股定理第1課時(shí)勾股定理11課堂講解2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)勾股定理勾股定理與圖形的面積1課堂講解2課時(shí)流程逐點(diǎn)課堂小結(jié)課后作業(yè)勾股定理2相傳2500年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來(lái)觀(guān)察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？相傳2500年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作3A、B、C的面積有什么關(guān)系？直角三角形三邊有什么關(guān)系？ABC讓我們一起探索這個(gè)古老的定理吧！A、B、C的面積有什么關(guān)系？ABC讓我們一起探索這個(gè)古老的定41知識(shí)點(diǎn)勾股定理知1－導(dǎo)我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱(chēng)為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱(chēng)為股，斜邊稱(chēng)為弦.圖1稱(chēng)為“弦圖”，最早是由三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作法時(shí)給出的.

弦股勾圖11知識(shí)點(diǎn)勾股定理知1－導(dǎo)我國(guó)古代把直角三角形5知1－導(dǎo)ABCABC(圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積)圖2-1圖2-2(1)觀(guān)察圖2-1

正方形A中含有

個(gè)

小方格，即A的面積

是

個(gè)單位面積.正方形B的面積是

個(gè)單位面積.正方形C的面積是

個(gè)單位面積.99918知1－導(dǎo)ABCABC(圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積)圖2-6知1－導(dǎo)ABCABC(圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積)圖2-1圖2-2分“割”成若干個(gè)直角邊為整數(shù)的三角形=18(單位面積)S正方形c知1－導(dǎo)ABCABC(圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積)圖2-7知1－導(dǎo)ABCABC(圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積)圖2-1圖2-2(2)在圖2-2中，正方形A，B，

C中各含有多少個(gè)小方格？

它們的面積各是多少？(3)你能發(fā)現(xiàn)圖2-1中三個(gè)正方

形A，B，C的面積之間有

什么關(guān)系嗎？SA+SB=SC

即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積.知1－導(dǎo)ABCABC(圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積)圖2-8知1－導(dǎo)ABCacbSa+Sb=Sc觀(guān)察所得到的各組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？猜想:兩直角邊a、b與斜邊c之間的關(guān)系？a2+b2=c2知1－導(dǎo)ABCacbSa+Sb=Sc觀(guān)察所得到的各組數(shù)據(jù)，你9知1－講┏a2+b2=c2acb

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股弦

勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)知1－講┏a2+b2=c2acb直角三10知1－講定義：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2＋b2＝c2.數(shù)學(xué)表達(dá)式：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，則a2＋b2＝c2.知1－講定義：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．11分清斜邊和直角邊．因?yàn)樵赗t△ABC中，a，b，c是三邊，所以可以用勾股定理解決問(wèn)題．例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的

對(duì)邊分別是a，b，c.(1)已知a＝b＝6，求c；

(2)已知c＝3，b＝2，求a；(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b.知1－講導(dǎo)引：分清斜邊和直角邊．因?yàn)樵赗t△ABC中，a，b，例112(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，∴由勾股定理，得(2)∵∠C＝90°，c＝3，b＝2，∴由勾股定理，得(3)∵∠C＝90°，a∶b＝2∶1，∴a＝2b.

又c＝5，由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，

解得b＝知1－講解：(1)∵∠C＝90°，a＝b＝6，知1－講解：13總

結(jié)知1－講

利用勾股定理求直角三角形的邊長(zhǎng)的方法：一般都要經(jīng)過(guò)“一分二代三化簡(jiǎn)”這“三步曲”，即一分：分清哪條邊是斜邊，哪些是直角邊；二代：將已知邊長(zhǎng)及兩邊之間的關(guān)系式代入a2＋b2＝c2（假設(shè)c是斜邊）；三化簡(jiǎn)．總結(jié)知1－講利用勾股定理求直角三角形的141

設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b，斜邊

長(zhǎng)為c.(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=5，b=12，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.知1－練（來(lái)自《教材》）(1)(2)(3)解：1設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a和b，斜邊知1－15知1－練下列說(shuō)法中正確的是(

)A．已知a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，則a2＋b2＝c2B．在直角三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的

平方C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2＋b2＝c2D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2＋b2＝c2C2知1－練下列說(shuō)法中正確的是()C216知1－練3

若一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，

斜邊長(zhǎng)為c，則下列關(guān)于a，b，c的關(guān)系式中不正確的是(

)A．b2＝c2－a2B．a(chǎn)2＝c2－b2C．b2＝a2－c2

D．c2＝a2＋b2C知1－練3若一個(gè)直角三角形的兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，C17知1－練【中考·東營(yíng)】在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC邊上的高AD＝6，則另一邊BC等于(

)A．10B．8C．6或10D．8或10C4知1－練【中考·東營(yíng)】在△ABC中，AB＝10，AC＝218知1－練【中考·陜西】如圖，將兩個(gè)大小、形狀完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A重合，點(diǎn)C′落在邊AB上，連接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，則B′C的長(zhǎng)為(

)A．3B．6C．3D.A5知1－練【中考·陜西】如圖，將兩個(gè)大小、形狀完全相同的△A19知1－練【中考·漳州】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)B，C)，若線(xiàn)段AD長(zhǎng)為正整數(shù)，則點(diǎn)D的個(gè)數(shù)共有(

)A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)C6知1－練【中考·漳州】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，B20知1－練如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，且AB＝4，BD＝5，則點(diǎn)D到BC的距離是(

)A．3

B．4

C．5

D．6A7知1－練如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠AB212知識(shí)點(diǎn)勾股定理與面積的關(guān)系知2－導(dǎo)

在一張紙上畫(huà)4個(gè)與圖所示的全等的直角三邊形，并把它們剪下來(lái)．如圖所示，用這四個(gè)直角三角形進(jìn)行拼擺，將得到一個(gè)以a+b為邊長(zhǎng)的大正方形和以直角形斜邊c為邊長(zhǎng)的小正方形．2知識(shí)點(diǎn)勾股定理與面積的關(guān)系知2－導(dǎo)在一張22歸納知2－導(dǎo)

觀(guān)察圖形，容易得到大正方形的邊長(zhǎng)為

a+b，所以大正方形的面積是(a+b)2．又因?yàn)榇笳叫问怯?個(gè)全等的直角三角形和中間的正方形拼成的，所以大正方形的面積又可表示成

ab×4+c2．因此有(a+b)2=ab×4+c2．整理得a2+b2=c2，即a、b、c為邊的直角三角形滿(mǎn)足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．歸納知2－導(dǎo)觀(guān)察圖形，容易得到大正方23知2－講例2觀(guān)察如圖所示的圖形，回答問(wèn)題：(1)如圖①，△DEF為直角三角形，正方形P的面積

為9，正方形Q的面積為15，則正方形M的面積

為_(kāi)_______；(2)如圖②，分別以直角

三角形ABC的三邊長(zhǎng)為直徑向三角形外作三個(gè)半圓，

則這三個(gè)半圓形的面積之間的關(guān)系式是________；(用圖中字母表示)(3)如圖③，如果直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為3和4，分別以直角三角形的三邊長(zhǎng)為直徑作半圓，請(qǐng)你

利用(2)中得出的結(jié)論求陰影部分的面積．知2－講例2觀(guān)察如圖所示的圖形，回答問(wèn)題：24知2－講(1)根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理可得DF2＝DE2＋EF2，即正方形M的面積＝9＋15＝24；(2)

另外由勾股定理可知AC2＋BC2＝AB2，所以S1＋S2＝S3；(3)陰影部分的面積＝兩個(gè)小半圓形的面積和＋直角三角

形的面積－大半圓形的面積，由(2)可知兩個(gè)小半圓形

的面積和＝大半圓形的面積，所以陰影部分的面積＝

直角三角形的面積．導(dǎo)引：知2－講(1)根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理可得導(dǎo)引：25知2－講(1)24

(2)S1＋S2＝S3(3)設(shè)兩個(gè)小半圓形的面積分別為S1，S2，大半圓

形的面積為S3，三角形的面積為S△，

則S陰影＝S1＋S2＋S△－S3

＝S△＝×3×4＝6.解：知2－講(1)24解：26總

結(jié)知2－講

與直角三角形三邊相連的正方形、半圓及正多邊形、圓都具有相同的結(jié)論：兩直角邊上圖形面積的和等于斜邊上的圖形面積．本例考查了勾股定理及正方形的面積公式，半圓形面積的求法，解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵是仔細(xì)觀(guān)察所給圖形，面積與邊長(zhǎng)、直徑有平方關(guān)系，就很容易聯(lián)想到勾股定理．總結(jié)知2－講與直角三角形三邊相連的正方271

如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊

形都是正方形.已知正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分

別是12，16，9，12，求最大正方形E的面積.知2－練（來(lái)自《教材》）SE＝(122＋162)＋(92＋122)

＝400＋225

＝625.解：1如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊知2－練282(中考·株洲)如圖，以直角三角形的三邊a，b，c為

邊或直徑，分別向外作等邊三角形，半圓，等腰直

角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿(mǎn)足S1＋S2＝S3的圖形個(gè)數(shù)是(

)A．1B．2C．3D．4知2－練D2(中考·株洲)如圖，以直角三角形的三邊a，b，c為29知2－練3如圖，直線(xiàn)l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a，c的面

積分別為3和4，則b的面積為(

)A．3B．4C．5D．7D知2－練3如圖，直線(xiàn)l上有三個(gè)正方形a，b，c，若a30知2－練如圖，已知△ABC為直角三角形，分別以直角邊AC，BC為直徑作半圓AmC和BnC，以AB為直徑作半圓ACB，記兩個(gè)月牙形陰影部分的面積之和為S1，△ABC的面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系為(

)A．S1＞S2

B．S1＜S2

C．S1＝S2

D．不能確定4C知2－練如圖，已知△ABC為直角三角形，分別以直角邊AC，B31知2－練【中考·溫州】四個(gè)全等的直角三角形按如圖所示方式圍成正方形ABCD，過(guò)各較長(zhǎng)直角邊的中點(diǎn)作垂線(xiàn)，圍成面積為S的小正方形EFGH，已知AM為Rt△ABM較長(zhǎng)直角邊，AM＝2EF，則正方形ABCD的面積為(

)A．12S

B．10SC．9S

D．8S5C知2－練【中考·溫州】四個(gè)全等的直角三角形按如圖所示方式圍321.勾股定理的適用條件：直角三角形；它反映了直角

三角形三邊關(guān)系．2．由勾股定理的基本關(guān)系式：a2＋b2＝c2可得到一些

變形關(guān)系式：c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2

＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．1知識(shí)小結(jié)1.勾股定理的適用條件：直角三角形；它反映了直角1知識(shí)33

在△ABC中，邊AB＝15，AC＝13，高AD＝12，則△ABC的周長(zhǎng)是(

)A．42B．32C．42或32D．不能確定C2易錯(cuò)小結(jié)在△ABC中，邊AB＝15，AC＝13，34本題應(yīng)分△ABC為銳角三角形和△ABC為鈍角三角形兩種情況討論．解本題時(shí)常常容易忽略其中一種情況而出錯(cuò)．易錯(cuò)點(diǎn)：考慮問(wèn)題不全面而漏解.本題應(yīng)分△ABC為銳角三角形和△ABC為鈍角三角形兩種情況討35第1節(jié)

勾股定理第1課時(shí)

勾股定理第十七章勾股定理第1節(jié)勾股定理第十七章勾股定理36123456789101112131415123456789101112131415371知識(shí)點(diǎn)勾股定理1．直角三角形_________________等于____________．即：如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么________________．兩直角邊的平方和斜邊的平方a2＋b2＝c2返回1知識(shí)點(diǎn)勾股定理1．直角三角形_______________38返回2．(中考·濱州)在直角三角形中，若勾為3，股為4，則弦為(

)A．5 B．6C．7 D．8A返回2．(中考·濱州)在直角三角形中，若勾為3，股為4，則弦39返回3．(中考·荊門(mén))如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線(xiàn)．已知AB＝5，AD＝3，則BC的長(zhǎng)為(

)A．5 B．6C．8 D．10C返回3．(中考·荊門(mén))如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是40返回4．若在△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，則BC的長(zhǎng)是(

)A．14 B．4C．14或4 D．無(wú)法確定C返回4．若在△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝1241返回5．(中考·漳州)如圖，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝8，D是線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)B，C)，若線(xiàn)段AD長(zhǎng)為正整數(shù)，則點(diǎn)D的個(gè)數(shù)共有(

)A．5個(gè)

B．4個(gè)

C．3個(gè)

D．2個(gè)C返回5．(中考·漳州)如圖，在△ABC中，已知AB＝AC＝542返回6．(中考·麗水)我國(guó)三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了驗(yàn)證勾股定理，創(chuàng)造了一幅“弦圖”，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”，如圖①所示．在圖②中，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為14，正方形IJKL的邊長(zhǎng)為2，且IJ∥AB，則正方形EFGH的邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．10返回6．(中考·麗水)我國(guó)三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了驗(yàn)證勾股定理43返回2知識(shí)點(diǎn)勾股定理與圖形的面積7．勾股定理通常是用________法來(lái)驗(yàn)證的，因此很多涉及直角三角形的圖形面積問(wèn)題，通常用________來(lái)解決．面積勾股定理返回2知識(shí)點(diǎn)勾股定理與圖形的面積7．勾股定理通常是用____44返回8．如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，滿(mǎn)足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，則陰影部分的面積是(

)A．48 B．60C．76 D．80C返回8．如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，滿(mǎn)足∠AEB＝90°，45返回9．如圖，在Rt△ABC中，AB＝4，分別以AC，BC為直徑作半圓，面積分別記為S1，S2，則S1＋S2的值等于(

)A．2π B．4πC．8π D．16πA返回9．如圖，在Rt△ABC中，AB＝4，分別以AC，BC為46返回10．如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別是3，5，2，3，則最大正方形E的面積是(

)A．13 B．26C．47 D．94C返回10．如圖是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形47返回11．如圖，將一塊邊長(zhǎng)為a的正方形(最中間的小正方形)與四塊邊長(zhǎng)為b的正方形(其中b＞a)拼接在一起，則四邊形ABCD的面積為(

)A．b2＋(b－a)2

B．b2＋a2C．(b＋a)2

D．a(chǎn)2＋2abA返回11．如圖，將一塊邊長(zhǎng)為a的正方形(最中間的小正方形)與481題型勾股定理在求線(xiàn)段長(zhǎng)中的應(yīng)用12．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB＝.求：(1)DC的長(zhǎng)；(2)AB的長(zhǎng)．1題型勾股定理在求線(xiàn)段長(zhǎng)中的應(yīng)用12．如圖，在△ABC中，C49解：返回(1)在Rt△BCD中，DC2＝BC2－BD2＝32－

＝

，∴DC＝.(2)在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝42－

＝

，∴AD＝.∴AB＝AD＋BD＝

＋

＝5.解：返回(1)在Rt△BCD中，DC2＝BC2－BD2＝32502題型勾股定理在求面積中的應(yīng)用13．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m．求四邊形ABCD的面積．2題型勾股定理在求面積中的應(yīng)用13．如圖，在四邊形ABCD中51解：如圖，連接AC.

∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABC與△ACD都是直角三角形．在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625，∴AC＝25.解：如圖，連接AC.52在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理，得AD2＝AC2－CD2＝252－72＝576，∴AD＝24.∴S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝

AB·BC＋

AD·CD＝

×20×15＋×24×7＝234(m2)．返回在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理，返回533題型勾股定理在折疊問(wèn)題中的應(yīng)用14．如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD的一邊AD向下折疊，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處．已知AB＝CD＝8cm，BC＝AD＝10cm，求EC的長(zhǎng)．3題型勾股定理在折疊問(wèn)題中的應(yīng)用14．如圖，將長(zhǎng)方形紙片AB54解：根據(jù)題意，得△AFE≌△ADE，∴AF＝AD＝10cm，EF＝ED.∴EF＋EC＝DC＝8cm.在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理得BF2＝AF2－AB2＝102－82＝36，∴BF＝6cm.∴FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm)．解：根據(jù)題意，得△AFE≌△ADE，55設(shè)EC＝xcm，則EF＝DC－EC＝(8－x)cm.

在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理得EC2＋FC2＝EF2，即x2＋42＝(8－x)2.解這個(gè)方程，得x＝3，即EC的長(zhǎng)為3cm.返回設(shè)EC＝xcm，則EF＝DC－EC＝(8－x)cm.返56倍長(zhǎng)中線(xiàn)法15．(中考·柳州)如圖，在△ABC中，D為AC邊的中點(diǎn)，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的長(zhǎng)；(2)在△ABC中，求BC邊上高的長(zhǎng)．倍長(zhǎng)中線(xiàn)法15．(中考·柳州)如圖，在△ABC中，D為AC邊57解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理得DB＝3.(2)如圖，延長(zhǎng)BD至E，使DE＝DB，連接AE.∵D是AC邊的中點(diǎn)，∴AD＝CD.在△EDA和△BDC中，AD＝CD∠ADE＝∠CDBDE＝DB解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，AD＝CD58∴△EDA≌△BDC(SAS)．∴∠DAE＝∠DCB.∴AE∥BC.∵DB⊥BC，∴△ABC中BC邊上的高的長(zhǎng)等于BE的長(zhǎng)．易知BE＝2BD＝6，∴BC邊上的高的長(zhǎng)為6.點(diǎn)撥返回∴△EDA≌△BDC(SAS)．點(diǎn)撥返回59返回【思路點(diǎn)撥】倍長(zhǎng)中線(xiàn)BD，說(shuō)明2BD等于△ABC中BC邊上的高．返回【思路點(diǎn)撥】倍長(zhǎng)中線(xiàn)BD，說(shuō)明2BD等于△ABC中BC邊60第十七章

勾股定理17.1勾股定理第2課時(shí)

勾股定理的實(shí)際應(yīng)用第十七章勾股定理17.1勾股定理第2課時(shí)勾股定理611課堂講解2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)求實(shí)際中長(zhǎng)（高）度的應(yīng)用求實(shí)際中的最短距離的應(yīng)用1課堂講解2課時(shí)流程逐點(diǎn)課堂小結(jié)課后作業(yè)求實(shí)際中長(zhǎng)（高）度的62

如圖所示，一棱長(zhǎng)為3cm的正方體．把所有的面都分成3×3個(gè)小正方形，假若一只螞蟻每秒爬2cm，則它從下底面A點(diǎn)，沿表面爬行至右側(cè)的B點(diǎn)，最少要花幾秒?如圖所示，一棱長(zhǎng)為3cm的正方體．把所有的631知識(shí)點(diǎn)求實(shí)際中長(zhǎng)（高）度的應(yīng)用問(wèn)題

如圖所示，從電線(xiàn)桿離地面8m處向地面拉一條鋼索，若這條鋼索在地面的固定點(diǎn)距離電線(xiàn)桿底部6m，那么需要多長(zhǎng)的鋼索?知1－導(dǎo)1知識(shí)點(diǎn)求實(shí)際中長(zhǎng)（高）度的應(yīng)用問(wèn)題如圖所64歸納知1－導(dǎo)

應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題，首先需要構(gòu)造直角三角形，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知兩邊求直角三角形中第三邊的問(wèn)題.然后確定好直角邊和斜邊，根據(jù)勾股定理a2＋b2=c2求出待求的線(xiàn)段長(zhǎng)度，即三角形的邊長(zhǎng).勾股定理在生活中有廣泛應(yīng)用，例如長(zhǎng)度，高度，距離，面積，體積等問(wèn)題都可以利用勾股定理來(lái)解答.歸納知1－導(dǎo)應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題65可以看出，木板橫著或豎著都不能從門(mén)框內(nèi)通過(guò)，只能試試斜著能否通過(guò).門(mén)框?qū)蔷€(xiàn)AC的長(zhǎng)度是斜著能通過(guò)的最大長(zhǎng)度.求出AC，再與木板的寬比較，就能知道木板能否通過(guò).在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5.AC=≈2.24.因?yàn)锳C大于木板的寬2.2m，所以木板能從門(mén)框內(nèi)通過(guò).例1一個(gè)門(mén)框的尺寸如圖所示，一塊長(zhǎng)3m，

寬2.2m的長(zhǎng)方形薄木板能否從門(mén)框內(nèi)通

過(guò)？為什么？知1－講（來(lái)自《教材》）分析：解：可以看出，木板橫著或豎著都不能從門(mén)例1一個(gè)門(mén)框的尺寸66總

結(jié)知1－講

實(shí)際問(wèn)題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，也就是建立直角三角形模型，利用勾股定理來(lái)解答.總結(jié)知1－講實(shí)際問(wèn)題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題67解：可以看出，BD=OD-OB.

在Rt△AOB中，根據(jù)勾股定理，

OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1.OB==1.

在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理，OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4

-0.5)2=3.15.OD

=≈1.77,

BD=OD-OB≈l.77-1=0.77.

所以梯子的頂端沿墻下滑0.5m時(shí)，梯子底端并不是也外

移0.5m，而是外移約0.77m.例2如圖,一架2.6m長(zhǎng)的梯子AB斜靠在一豎直的

墻AO上，這時(shí)AO為2.4m.如果梯子的頂端A沿

墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？知1－講（來(lái)自《教材》）解：可以看出，BD=OD-OB.例2如圖,一架2.68總

結(jié)知1－講

生活中的一些實(shí)際問(wèn)題常常通過(guò)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型(直角三角形)來(lái)求解，勾股定理在生活中應(yīng)用面廣，建立的模型有時(shí)并不是已知兩邊求第三邊，而只是告訴了其中的一些關(guān)系，一般可設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)表示它們之間的關(guān)系，然后根據(jù)勾股定理列方程解決問(wèn)題．總結(jié)知1－講生活中的一些實(shí)際問(wèn)題常常通691

如圖，池塘邊有兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是與BA方向成

直角的AC方向上一點(diǎn)，測(cè)得BC=60m，AC=20m.求A，B兩點(diǎn)間的距離(結(jié)果取整數(shù)).知1－練（來(lái)自《教材》）在Rt△BAC中，BC＝60m，AC＝20m，由勾股定理，得AB＝

＝≈57(m)．答：A，B兩點(diǎn)間的距離約為57m.解：1如圖，池塘邊有兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是與BA方向成知1－702

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)

A(5，0)和B(0，4).求這兩點(diǎn)之間的距離.知1－練（來(lái)自《教材》）由點(diǎn)A(5，0)，B(0，4)可知OA＝5，OB＝4，又因?yàn)椤螧OA＝90°，所以根據(jù)勾股定理，得AB＝

＝解：2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(5，0)和知713(中考·安順)如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高10米，另一

棵高4米，兩樹(shù)相距8米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)

頂飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)頂，小鳥(niǎo)至少飛行(

)A．8米

B．10米

C．12米

D．14米知1－練B3(中考·安順)如圖，有兩棵樹(shù)，一棵高10米，另一知172【中考·紹興】如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻腳的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為(

)A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米知1－練4C【中考·紹興】如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在73【中考·黃岡】在黃岡長(zhǎng)江大橋的東端一處空地上，有一塊矩形的標(biāo)語(yǔ)牌ABCD(如圖所示)，已知標(biāo)語(yǔ)牌的高AB＝5m，在地面的點(diǎn)E處，測(cè)得標(biāo)語(yǔ)牌點(diǎn)A的仰角(即∠AEB)為30°，在地面的點(diǎn)F處，測(cè)得標(biāo)語(yǔ)牌點(diǎn)A的仰角(即∠AFB)為75°，且點(diǎn)E，F(xiàn)，B，C在同一直線(xiàn)上，求點(diǎn)E與點(diǎn)F之間的距離．(計(jì)算結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73)知1－練5【中考·黃岡】在黃岡長(zhǎng)江大橋的東端一處空地上，有一塊矩形的74知1－練如圖，作FH⊥AE于H.由題意可知∠HAF＝∠HFA＝45°，∴AH＝HF，設(shè)AH＝HF＝xm，則EF＝2xm，EH＝

xm，在Rt△AEB中，∵∠E＝30°，AB＝5m，∴AE＝2AB＝10m，∴x＋

x＝10，∴x＝5－5，∴EF＝10－10≈7.3(m)，答：點(diǎn)E與點(diǎn)F之間的距離約為7.3m.解：知1－練如圖，作FH⊥AE于H.解：752知識(shí)點(diǎn)求實(shí)際中的最短距離的應(yīng)用知2－導(dǎo)如圖1所示，有一個(gè)圓柱，它的高等于12cm，底面上圓的周長(zhǎng)等于18cm.在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻，它想吃到上底面與點(diǎn)A相對(duì)的點(diǎn)B處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？(1)自己做一個(gè)圓柱，嘗試從點(diǎn)A到點(diǎn)B沿圓柱側(cè)面畫(huà)出幾條路線(xiàn)，你覺(jué)得哪條路線(xiàn)最短呢？問(wèn)題圖12知識(shí)點(diǎn)求實(shí)際中的最短距離的應(yīng)用知2－導(dǎo)如圖76知2－導(dǎo)(2)如圖2所示，將圓柱側(cè)面剪開(kāi)展成一個(gè)長(zhǎng)方形，從點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短路線(xiàn)是什么？你畫(huà)對(duì)了嗎？(3)螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，想吃到點(diǎn)B處的食物，它沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？(4)若螞蟻先從點(diǎn)A直接爬到點(diǎn)C，然后再?gòu)狞c(diǎn)C沿地面直徑爬到點(diǎn)B，這樣爬的總路程與沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程比較，哪一條更短些？圖2知2－導(dǎo)(2)如圖2所示，將圓柱側(cè)圖277歸納知2－導(dǎo)

最短路徑問(wèn)題要轉(zhuǎn)化到平面圖形上，建立直角三角形模型，利用勾股定理解答.歸納知2－導(dǎo)最短路徑問(wèn)題要轉(zhuǎn)化到平面圖78知2－講例3如圖所示的長(zhǎng)方體的高為4cm，底面是長(zhǎng)為5cm，寬

為3cm的長(zhǎng)方形．一只螞蟻從頂點(diǎn)A出

發(fā)沿長(zhǎng)方體的表面爬到頂點(diǎn)B.求：(1)螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程；(2)螞蟻沿著棱爬行(不能重復(fù)爬行同一

條棱)的最長(zhǎng)路程．(1)螞蟻爬行的最短路線(xiàn)可放在平面內(nèi)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，

線(xiàn)段最短”去探求，而與頂點(diǎn)A，B相關(guān)的兩個(gè)面展開(kāi)共

有三種方式，先根據(jù)勾股定理求出每一種方式下螞蟻

爬行的最短路程，從而可知螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程．(2)最長(zhǎng)路線(xiàn)應(yīng)該是依次經(jīng)過(guò)長(zhǎng)為5cm，4cm，5cm，4cm，3cm，4cm，5cm的棱．導(dǎo)引：知2－講例3如圖所示的長(zhǎng)方體的高為4cm，底面是長(zhǎng)為79知2－講(1)將長(zhǎng)方體與頂點(diǎn)A，B相關(guān)的兩個(gè)面展開(kāi)，共有三

種方式，如圖所示．若螞蟻沿側(cè)面爬行，如圖①，

則爬行的最短路程為

若螞蟻沿側(cè)面和上面爬行，如圖②③，

解：

知2－講(1)將長(zhǎng)方體與頂點(diǎn)A，B相關(guān)的兩個(gè)面展開(kāi)，共有三解80知2－講

則爬行的最短路程分別為

因?yàn)?/p>

＜4＜3，

所以螞蟻經(jīng)過(guò)的最短路程是cm.(2)5＋4＋5＋4＋3＋4＋5＝30(cm)，所以螞蟻沿著棱

爬行的最長(zhǎng)路程是30cm.知2－講則爬行的最短路程分別為81總

結(jié)知2－講

幾何體的表面上兩點(diǎn)間的最短路程問(wèn)題的解決方法是將幾何體表面展開(kāi)，即將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，然后利用“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”去確定路線(xiàn)，最后利用勾股定理計(jì)算．總結(jié)知2－講幾何體的表面上兩點(diǎn)間的最短82知2－練如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC＝6cm，P是母線(xiàn)BC上一點(diǎn)，且PC＝

BC.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)P的最短距離是(

)A.cm

B．5cm

C．3cm

D．7cm1B知2－練如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為6cm，AC是底面圓的直徑，83知2－練【中考·營(yíng)口】如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在BC上，BD＝3，DC＝1，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)，則PC＋PD的最小值為(

)A．4B．5C．6D．72B知2－練【中考·營(yíng)口】如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠A84知2－練【中考·安徽】如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足S△PAB＝

S長(zhǎng)方形ABCD，則點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和PA＋PB的最小值為(

)A.B.C．

D.3D知2－練【中考·安徽】如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝5，851.勾股定理從邊的角度刻畫(huà)了直角三角形的重要特征，

應(yīng)用勾股定理可以求出直角三角形中的直角邊或者

斜邊的長(zhǎng)度，在實(shí)際應(yīng)用中要注意：(1)勾股定理的應(yīng)用是以直角三角形存在(或容易構(gòu)造

直角三角形)為基礎(chǔ)；(2)表示直角三角形邊長(zhǎng)的a,b,c不是固定不變的，c不一定是斜邊的長(zhǎng).1知識(shí)小結(jié)1.勾股定理從邊的角度刻畫(huà)了直角三角形的重要特征，862.在直線(xiàn)上找一點(diǎn)，使其到直線(xiàn)同側(cè)的兩點(diǎn)的距離之

和最短的方法：先找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線(xiàn)的

對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)的線(xiàn)段與該直線(xiàn)的

交點(diǎn)即為所找的點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)的線(xiàn)段長(zhǎng)就

是最短距離之和．以連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn)的線(xiàn)段

為斜邊，構(gòu)造出一個(gè)兩條直角邊已知的直角三角形，

然后利用勾股定理即可求出最短距離之和．2.在直線(xiàn)上找一點(diǎn)，使其到直線(xiàn)同側(cè)的兩點(diǎn)的距離之87

如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C

的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A

爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短距離是(

)A．5

B．25

C．10＋5

D．35B2易錯(cuò)小結(jié)易錯(cuò)點(diǎn)：求最短路徑時(shí)對(duì)立體圖形展開(kāi)情況考慮不全面

導(dǎo)致錯(cuò)解.如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)88第1節(jié)

勾股定理第2課時(shí)

勾股定理的實(shí)際應(yīng)用第十七章勾股定理第1節(jié)勾股定理第十七章勾股定理8912345678910111213141234567891011121314901知識(shí)點(diǎn)求實(shí)際中長(zhǎng)(高)度的應(yīng)用返回1．建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型時(shí)，關(guān)鍵是畫(huà)出符合題意的圖形，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何中的直角三角形問(wèn)題，運(yùn)用________定理求解．勾股1知識(shí)點(diǎn)求實(shí)際中長(zhǎng)(高)度的應(yīng)用返回1．建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模91返回2．如圖，在校園內(nèi)有兩棵樹(shù)，相距12m，一棵樹(shù)高13m，另一棵樹(shù)高8m，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的頂端飛到另一棵樹(shù)的頂端，小鳥(niǎo)至少要飛________m.13返回2．如圖，在校園內(nèi)有兩棵樹(shù)，相距12m，一棵樹(shù)高13923．(中考·荊州)《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問(wèn)題(如圖)：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問(wèn)折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，問(wèn)折斷處離地面的高度是多少？3．(中考·荊州)《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問(wèn)題(如圖)：93設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為(

)A．x2－6＝(10－x)2

B．x2－62＝(10－x)2C．x2＋6＝(10－x)2

D．x2＋62＝(10－x)2D返回設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為()D返回94返回4．如圖，一個(gè)梯子AB長(zhǎng)2.5米，頂端A靠在墻AC上，這時(shí)梯子下端B與墻腳C距離為1.5米，梯子滑動(dòng)后停在DE的位置上，測(cè)得BD長(zhǎng)為0.9米，則梯子頂端A下移了(

)A．0.9米 B．1.3米C．1.5米 D．2米B返回4．如圖，一個(gè)梯子AB長(zhǎng)2.5米，頂端A靠在墻AC上，這95返回5．小亮準(zhǔn)備測(cè)量一段河水的深度，他把一根竹竿插到離岸邊1.5m遠(yuǎn)的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的頂端拉向岸邊，竿頂和岸邊的水面剛好相齊，則河水的深度為(

)A．2m B．2.5mC．2.25m D．3mA返回5．小亮準(zhǔn)備測(cè)量一段河水的深度，他把一根竹竿插到離岸邊196返回2知識(shí)點(diǎn)求實(shí)際中的最短距離的應(yīng)用6．求實(shí)際中的最短距離的實(shí)質(zhì)是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何中的兩點(diǎn)間的距離或點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的模型，然后利用_________________或____________進(jìn)行說(shuō)理，最后利用__________________來(lái)求出這個(gè)最短距離．兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短垂線(xiàn)段最短勾股定理返回2知識(shí)點(diǎn)求實(shí)際中的最短距離的應(yīng)用6．求實(shí)際中的最短距離的97返回類(lèi)型1展開(kāi)圖中的最短距離7．如圖，一只螞蟻沿著棱長(zhǎng)為2的正方體表面從點(diǎn)A出發(fā)，經(jīng)過(guò)3個(gè)面爬到點(diǎn)B，如果它運(yùn)動(dòng)的路徑是最短的，則最短路徑的長(zhǎng)為_(kāi)_______．返回類(lèi)型1展開(kāi)圖中的最短距離7．如圖，一只螞蟻沿著棱長(zhǎng)為298返回8．(中考·東營(yíng))如圖，圓柱的高AB＝3，底面直徑BC＝3，現(xiàn)有一只螞蟻想從A處沿圓柱表面爬到對(duì)角C處捕食，則它爬行的最短距離是(

)A． B．C. D．C返回8．(中考·東營(yíng))如圖，圓柱的高AB＝3，底面直徑BC＝99返回9．(中考·營(yíng)口)如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在BC上，BD＝3，DC＝1，點(diǎn)P是AB上的動(dòng)點(diǎn)，則PC＋PD的最小值為(

)A．4 B．5C．6 D．7類(lèi)型2對(duì)稱(chēng)點(diǎn)中的最短距離B

返回9．(中考·營(yíng)口)如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠AC100返回10．(中考·安徽)如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝5，AD＝3，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足S△PAB＝

S長(zhǎng)方形ABCD，則點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)距離之和PA＋PB的最小值為(

) B.C．5 D.D返回10．(中考·安徽)如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝5，10111．有一輛裝滿(mǎn)貨物的卡車(chē)，高5m，寬3.2m(貨物的頂部是水平的)，要通過(guò)如圖所示的截面的上半部分是半圓，下半部分是長(zhǎng)方形的隧道，已知半圓的直徑為4m，長(zhǎng)方形豎直的一條邊長(zhǎng)是4.6m.1題型勾股定理在求高度中的應(yīng)用11．有一輛裝滿(mǎn)貨物的卡車(chē)，高5m，寬3.2m(貨物的頂102(1)這輛卡車(chē)能否通過(guò)此隧道？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)為了減少交通擁堵，交通部門(mén)想把該隧道改為雙向二車(chē)道，這時(shí)這輛卡車(chē)能通過(guò)這條隧道嗎？(1)這輛卡車(chē)能否通過(guò)此隧道？請(qǐng)說(shuō)明理由；103(1)能通過(guò)．理由如下：如圖，設(shè)O為半圓的圓心，AB為半圓的直徑，在OB上截取OE＝3.2÷2＝1.6(m)，過(guò)E作EF⊥AB交半圓于F，連接OF.在Rt△OEF中，OF2＝OE2＋EF2，即22＝1.62＋EF2，EF＝1.2m，1.2＋4.6＝5.8(m)>5m，所以這輛卡車(chē)能通過(guò)此隧道．解：(1)能通過(guò)．理由如下：解：104(2)當(dāng)把該隧道改為雙向二車(chē)道時(shí)，4÷2＝2(m)<3.2m，所以這時(shí)這輛卡車(chē)不能通過(guò)這條隧道．返回(2)當(dāng)把該隧道改為雙向二車(chē)道時(shí)，返回1052題型勾股定理在求圓柱上兩點(diǎn)最短距離中的應(yīng)用12．為籌備迎接新生晚會(huì)，同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)了一個(gè)圓柱形燈罩，底色漆成白色，然后纏繞紅色油紙，如圖所示．已知圓柱的高為108cm，其橫截面周長(zhǎng)為36cm，如果在側(cè)面上均勻纏繞油紙4圈，應(yīng)裁剪多長(zhǎng)的油紙？2題型勾股定理在求圓柱上兩點(diǎn)最短距離中的應(yīng)用12．為籌備迎接106解：返回將圓柱形燈罩側(cè)面展開(kāi)如圖所示．在Rt△ABC中，AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)．根據(jù)勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，所以AB＝45cm.所以整個(gè)油紙的長(zhǎng)為45×4＝180(cm)．故應(yīng)裁剪180cm長(zhǎng)的油紙．解：返回將圓柱形燈罩側(cè)面展開(kāi)如圖所示．1073題型勾股定理在求圓錐上兩點(diǎn)最短距離中的應(yīng)用13．如圖，有一個(gè)高為12cm，底面直徑為10cm的圓錐．現(xiàn)有一只螞蟻在圓錐的頂點(diǎn)M處，它想吃圓錐底部N處的食物，求螞蟻需要爬行的最短路程．3題型勾股定理在求圓錐上兩點(diǎn)最短距離中的應(yīng)用13．如圖，有一108解：如圖，設(shè)O為圓錐底面圓的圓心，連接MO，NO，MN.則MO⊥NO，MN就是螞蟻爬行的最短路程．由題意知MO＝12cm，NO＝5cm，所以在Rt△MNO中，MN2＝122＋52，即MN＝13cm.答：螞蟻需要爬行的最短路程為13cm.返回解：如圖，設(shè)O為圓錐底面圓的圓心，返回109方程思想14．如圖，在一棵樹(shù)的10m高的B處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹(shù)，走到離樹(shù)20m處的池塘A處，另一只猴子爬到樹(shù)頂D后直接躍向池塘A處(假設(shè)它經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)為直線(xiàn))．如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的路程相等，求這棵樹(shù)的高．方程思想14．如圖，在一棵樹(shù)的10m高的B處有兩只猴子，其110解：設(shè)BD＝xm，由題意知BC＋AC＝BD＋AD，∴AD＝(30－x)m.∴(10＋x)2＋202＝(30－x)2，解得x＝5，∴x＋10＝15.答：這棵樹(shù)的高為15m.點(diǎn)撥返回解：設(shè)BD＝xm，由題意知BC＋AC＝BD＋AD，∴AD＝111返回【思路點(diǎn)撥】通過(guò)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)兩只猴子經(jīng)過(guò)的路程相等表示出AD的長(zhǎng)度，再利用勾股定理列方程求解．返回【思路點(diǎn)撥】通過(guò)設(shè)未知數(shù)，根據(jù)兩只猴子經(jīng)過(guò)的路程相等表示112第十七章

勾股定理17.1勾股定理第3課時(shí)

勾股定理的幾何應(yīng)用第十七章勾股定理17.1勾股定理第3課時(shí)勾股定理1131課堂講解2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)課后作業(yè)用勾股定理在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)勾股定在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用1課堂講解2課時(shí)流程逐點(diǎn)課堂小結(jié)課后作業(yè)用勾股定理在數(shù)軸上表114

某拍賣(mài)行貼出了如下的一個(gè)土地拍賣(mài)廣告：

如下圖，有面積為560英畝的土地拍賣(mài)，土地共分三個(gè)正方形，面積分別為74英畝、116英畝、370英畝．三個(gè)正方形恰好圍著一個(gè)池塘，如果有人能計(jì)算出池塘的準(zhǔn)確面積．則池塘不計(jì)入土地價(jià)錢(qián)白白奉送．英國(guó)數(shù)學(xué)家巴爾教授曾經(jīng)巧妙地解答了這個(gè)問(wèn)題，你能解決嗎?某拍賣(mài)行貼出了如下的一個(gè)土地拍賣(mài)廣告：1151知識(shí)點(diǎn)用勾股定理在數(shù)軸上表示數(shù)

我們知道數(shù)軸上的點(diǎn)有的表示有理數(shù)，有的表示無(wú)理數(shù)，你能在數(shù)軸上畫(huà)出表示

的點(diǎn)嗎？

如果能畫(huà)出長(zhǎng)為

的線(xiàn)段，就能在數(shù)軸上畫(huà)出表示

的點(diǎn).容易知道，長(zhǎng)為

的線(xiàn)段是兩條直角邊的長(zhǎng)都為1的直角三角形的斜邊.長(zhǎng)為

的線(xiàn)段能是直角邊的長(zhǎng)為正整數(shù)的直角三角形的斜邊嗎？知1－講1知識(shí)點(diǎn)用勾股定理在數(shù)軸上表示數(shù)我們知道數(shù)軸116知1－講

利用勾股定理，可以發(fā)現(xiàn)，直角邊的長(zhǎng)為正整數(shù)2,3的直角三角形的斜邊長(zhǎng)為

.由此，可以依照如下方法在數(shù)軸上畫(huà)出表示

的點(diǎn).

如圖,在數(shù)軸上找出表示3的點(diǎn)A，則OA=3,過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)l垂直于OA，在l上取點(diǎn)B，使AB=2,以原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)C即為表示

的點(diǎn).知1－講利用勾股定理，可以發(fā)現(xiàn)，直角邊的長(zhǎng)為117總

結(jié)知1－講

類(lèi)似地，利用勾股定理，可以作出長(zhǎng)為

…的線(xiàn)段(圖1).按照同樣方法，可以在數(shù)軸上畫(huà)出表示

…的點(diǎn)(圖2).

圖1圖2總結(jié)知1－講類(lèi)似地，利用勾股定理，可118利用

a＝

可以作出．如圖2，先作出與已知線(xiàn)段AB垂直，且與已知線(xiàn)段的端點(diǎn)A相交的直線(xiàn)l，在直線(xiàn)l上以A為端點(diǎn)截取長(zhǎng)為2a的線(xiàn)段AC，連接BC，則線(xiàn)段BC即為所求．如圖2，BC就是所求作的線(xiàn)段．例1如圖1，已知線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為a，請(qǐng)作出長(zhǎng)為

a的

段．(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)知1－講圖1圖2導(dǎo)引：解：利用a＝可119總

結(jié)知1－講

這類(lèi)問(wèn)題要作的線(xiàn)段一般是直角三角形的斜邊，根據(jù)勾股定理由要作的線(xiàn)段確定兩直角邊的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．總結(jié)知1－講這類(lèi)問(wèn)題要作的線(xiàn)段一般是直角三角形1201在數(shù)軸上做出表示的點(diǎn).知1－練（來(lái)自《教材》）如圖所示．作法：(1)在數(shù)軸上找出表示4的點(diǎn)A，則OA＝4；(2)過(guò)A作直線(xiàn)l垂直于OA；(3)在直線(xiàn)l上取點(diǎn)B，使AB＝1；(4)以原點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑作弧，弧與

數(shù)軸的交點(diǎn)C即為表示

的點(diǎn)．解：1在數(shù)軸上做出表示的點(diǎn).知1－練（1212如圖，點(diǎn)C表示的數(shù)是(

)A．1B.C．1.5D.知1－練D2如圖，點(diǎn)C表示的數(shù)是()知1－練D122如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，3)，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)P的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)介于(

)A．－4和－3之間B．3和4之間C．－5和－4之間D．4和5之間知1－練3A如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－2，3)，以點(diǎn)O為1232知識(shí)點(diǎn)勾股定在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用知2－講例2如圖，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC

＝10.求BC的長(zhǎng)．導(dǎo)引：題中沒(méi)有直角三角形，可以通

過(guò)作高構(gòu)建直角三角形；過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，圖中會(huì)出現(xiàn)

兩個(gè)直角三角形——Rt△ACD和Rt△ABD，這兩

個(gè)直角三角形有一條公共邊AD，借助這條公共邊，

可建立起直角三角形之間的聯(lián)系．2知識(shí)點(diǎn)勾股定在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用知2－講例2如圖，在124知2－講解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D.∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝

AC＝5.

在Rt△ACD中，AD

在Rt△ABD中，BD∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.知2－講解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D.125總

結(jié)知2－講

利用勾股定理求非直角三角形中線(xiàn)段的長(zhǎng)的方法：作三角形一邊上的高，將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形，然后利用勾股定理并結(jié)合已知條件，采用推理或列方程的方法解決問(wèn)題．總結(jié)知2－講利用勾股定理求非直角三角形1261

如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)是6.求：(1)高AD的長(zhǎng)；(2)這個(gè)三角形的面積.知2－練（來(lái)自《教材》）(1)由題意可知，在Rt△ADB中，

AB＝6，BD＝

BC＝3，∠ADB＝90°.

由勾股定理，

得AD＝(2)S△ABC＝

BC·AD＝×6×3

＝解：1如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)是6.求：知2－練（來(lái)自《教127如圖是由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形構(gòu)成的“田字格”，只用沒(méi)有刻度的直尺在這個(gè)“田字格”中最多可以作出長(zhǎng)度為

的線(xiàn)段________條．知2－練28如圖是由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形構(gòu)成的“田字格”，只用沒(méi)有刻度的128知2－練3如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則△ABC中，

長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的邊有(

)A．0條

B．1條

C．2條

D．3條C知2－練3如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則△AB129知2－練4如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則BE的長(zhǎng)為(

)A．4cmB．5cmC．6cmD．10cmB知2－練4如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊AC＝130【2017·宜賓】如圖，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，將△ABE沿BE折疊，使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線(xiàn)BD上F處，則DE的長(zhǎng)是(

)A．3B.C．5D.知2－練5C【2017·宜賓】如圖，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝131如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC邊上的高AD＝6cm，腰AB上的高CE＝8cm，則△ABC的周長(zhǎng)等于________cm.知1－練6如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC邊上的高AD＝61321．勾股定理與三角形三邊平方關(guān)系的綜合應(yīng)用：?jiǎn)我粦?yīng)用：先由三角形三邊平方關(guān)系得出直角三角形后，

再求這個(gè)直角三角形的角度和面積：綜合應(yīng)用：先用勾股定理求出三角形的邊長(zhǎng)，再由三角形

平方關(guān)系確定三角形的形狀，進(jìn)而解決其他問(wèn)題；逆向應(yīng)用：如果一個(gè)三角形兩條較小邊長(zhǎng)的平方和不等于

最大邊長(zhǎng)的平方，那么這個(gè)三角形就不是直角三角形.1知識(shí)小結(jié)1．勾股定理與三角形三邊平方關(guān)系的綜合應(yīng)用：1知識(shí)小結(jié)1332．應(yīng)用勾股定理解題的方法：(1)添線(xiàn)應(yīng)用，即題中無(wú)直角三角形，可以通過(guò)作垂線(xiàn)，構(gòu)

造直角三角形，應(yīng)用勾股定理求解；(2)借助方程應(yīng)用，即題中雖有直角三角形，但已知線(xiàn)段的

長(zhǎng)不完全是直角三角形的邊長(zhǎng)，可通過(guò)設(shè)未知數(shù)，構(gòu)建

方程，解答計(jì)算問(wèn)題；(3)建模應(yīng)用，即將實(shí)際問(wèn)題建立直角三角形模型，通過(guò)勾

股定理解決實(shí)際問(wèn)題．2．應(yīng)用勾股定理解題的方法：134如圖，把長(zhǎng)方形紙條ABCD沿EF，GH同時(shí)折疊，B，C兩點(diǎn)恰好落在AD邊的P點(diǎn)處，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，則長(zhǎng)方形ABCD的面積為_(kāi)_______．115.22易錯(cuò)小結(jié)如圖，把長(zhǎng)方形紙條ABCD沿EF，GH同時(shí)折疊，B，C兩點(diǎn)恰135在Rt△PFH中，F(xiàn)H＝

＝10，∴BC＝BF＋FH＋CH＝PF＋FH＋PH＝8＋10＋6＝24.設(shè)△PFH的邊FH上的高為h，則h＝

＝4.8，∴S長(zhǎng)方形ABCD＝24×4.8＝115.2.在Rt△PFH中，F(xiàn)H＝136易錯(cuò)點(diǎn)：忽視題目中條件而求不出答案.解此題時(shí)要靈活運(yùn)用折疊前后對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等，從而求出BC的長(zhǎng)，然后再運(yùn)用面積法求出△PFH中FH邊上的高，本題容易因忽視條件而求不出答案．易錯(cuò)總結(jié)：易錯(cuò)點(diǎn)：忽視題目中條件而求不出答案.解此題時(shí)要靈活運(yùn)用折疊前137第1節(jié)

勾股定理第3課時(shí)

勾股定理的幾何應(yīng)用第十七章勾股定理第1節(jié)勾股定理第十七章勾股定理13812345678910111213123456789101112131391知識(shí)點(diǎn)用勾股定理在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)1．在數(shù)軸上找表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)，其實(shí)質(zhì)是確定兩直角邊長(zhǎng)分別為正整數(shù)的直角三角形的斜邊的長(zhǎng)．例如：在數(shù)軸上找表示±的點(diǎn)時(shí)，是以原點(diǎn)O為圓心，以?xún)芍苯沁呴L(zhǎng)分別為_(kāi)_______的直角三角形的________為半徑畫(huà)弧，與數(shù)軸的兩個(gè)交點(diǎn)即為表示±

的點(diǎn)．3，2斜邊長(zhǎng)返回1知識(shí)點(diǎn)用勾股定理在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)1．在數(shù)軸上找表示無(wú)理數(shù)的140返回2．(中考·臺(tái)州)如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)O，A，B分別表示數(shù)0，1，2，過(guò)點(diǎn)B作PQ⊥AB，以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交PQ于點(diǎn)C，以原點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交數(shù)軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M表示的數(shù)是(

) B.C. D.B返回2．(中考·臺(tái)州)如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)O，A，B分別表示數(shù)01413．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，點(diǎn)A，B在數(shù)軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線(xiàn)AC的長(zhǎng)為半徑作弧交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M表示的數(shù)為(

)A．2 B.C.

D.C返回3．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，點(diǎn)A，B在142返回4．(中考·吉林)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(4，0)，B(0，3)，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______．(－1，0)返回4．(中考·吉林)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(4，0)143返回5．如圖，OP＝1，過(guò)點(diǎn)P作PP1⊥OP，且PP1＝1，得OP1＝

；再過(guò)P1作P1P2⊥OP1，且P1P2