2019全國(guó)II卷理科數(shù)學(xué)高考真題

2019全國(guó)II卷理科數(shù)學(xué)高考真題

2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷共5頁(yè)?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。注意事項(xiàng)：1.答題前，請(qǐng)考生先將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，并將條形碼粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙或試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.請(qǐng)保持答題卡面清潔，不要折疊、弄破或弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶或刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合$A=\{x|x-5x+6>0\}$，$B=\{x|x-1<0\}$，則$A\capB=$A.$(\infty,1)$B.$(-2,1)$C.$(-3,-1)$D.$(3,\infty)$2.設(shè)$z=-3+2i$，則在復(fù)平面內(nèi)$z$對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.已知$AB=(2,3)$，$AC=(3,t)$，$|BC|=1$，則$AB\cdotBC=$A.$-3$B.$-2$C.$2$D.$3$4.2019年1月3日，嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸。我國(guó)航天事業(yè)取得了又一重大成就。實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系。為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行。L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上。設(shè)地球質(zhì)量為$M_1$，月球質(zhì)量為$M_2$，地月距離為$R$，L2點(diǎn)到月球的距離為$r$，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，$r$滿足方程：$$\frac{M_1M_2}{M_1r^2+M_2(R-r)^2}=\frac{1}{3}$$因此，在近似計(jì)算中，$r$的近似值為A.$\frac{M_2R}{M_1+3M_2}$B.$\frac{2M_2R}{M_1+M_2}$C.$3$D.$\frac{3M_2R}{M_1+3M_2}$5.演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分。評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分。7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.方差D.標(biāo)準(zhǔn)差6.若$a>b$，則$\ln(a-b)>0$。2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷共5頁(yè)?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。注意事項(xiàng)：1.答題前，請(qǐng)考生先將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，并將條形碼粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙或試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.請(qǐng)保持答題卡面清潔，不要折疊、弄破或弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶或刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.集合$A=\{x|x-5x+6>0\}$，$B=\{x|x-1<0\}$，則$A\capB=$A.$(\infty,1)$B.$(-2,1)$C.$(-3,-1)$D.$(3,\infty)$2.設(shè)$z=-3+2i$，則在復(fù)平面內(nèi)$z$對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.已知$AB=(2,3)$，$AC=(3,t)$，$|BC|=1$，則$AB\cdotBC=$A.$-3$B.$-2$C.$2$D.$3$4.2019年1月3日，嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸。我國(guó)航天事業(yè)取得了又一重大成就。實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問(wèn)題是地面與探測(cè)器的通訊聯(lián)系。為解決這個(gè)問(wèn)題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點(diǎn)的軌道運(yùn)行。L2點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上。設(shè)地球質(zhì)量為$M_1$，月球質(zhì)量為$M_2$，地月距離為$R$，L2點(diǎn)到月球的距離為$r$，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬(wàn)有引力定律，$r$滿足方程：$$\frac{M_1M_2}{M_1r^2+M_2(R-r)^2}=\frac{1}{3}$$因此，在近似計(jì)算中，$r$的近似值為A.$\frac{M_2R}{M_1+3M_2}$B.$\frac{2M_2R}{M_1+M_2}$C.$3$D.$\frac{3M_2R}{M_1+3M_2}$5.演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分。評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分。7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是A.中位數(shù)B.平均數(shù)C.方差D.標(biāo)準(zhǔn)差6.若$a>b$，則$\ln(a-b)>0$。1.C.a^3-b^3>02.α∥β的充要條件是α內(nèi)有一條直線與β平行。3.若拋物線y=2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓x^2/3+p^2y^2/3=1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p=3。4.在區(qū)間(π/4,π/2)單調(diào)遞增的函數(shù)是f(x)=cos│x│。5.已知α∈(0,π/2)，2sin2α=cos2α+1，則sinα=1/√5。6.雙曲線C：x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，則C的離心率為√(a^2+b^2)/a。7.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，滿足f(x+1)=2f(x)，且當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)=x(x-1)。若對(duì)任意x∈(-∞,m]，都有f(x)≥-8/9，則m的取值范圍是(-∞,7/9]。8.經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為0.979。9.已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=-e^x。若f(ln2)=8，則a=16。10.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c。若b=6,a=2c,B=π/3，則△ABC的面積為9√3。11.半正多面體由兩種或兩種以上的正多邊形組成，每個(gè)頂點(diǎn)所在的正多邊形個(gè)數(shù)相等。多邊形圍成的多面體被稱為半正多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美。例如，圖2展示了一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1。請(qǐng)問(wèn)該半正多面體共有多少個(gè)面？其棱長(zhǎng)為多少？三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)考生都必須作答。第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1。（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值。18．（12分）在11分制乒乓球比賽中，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束。甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立。在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束。（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率。19．（12分）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，4an+1=3an-bn+4，4bn+1=3bn-an-4。（1）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an-bn}是等差數(shù)列；（2）求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式。20．（12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-(x+1)/(x-1)。（1）討論f(x)的單調(diào)性，并證明f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；（2）設(shè)x是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(x，lnx)處的切線也是曲線y=e的切線。21．（12分）已知點(diǎn)A(-2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為-1/2。記M的軌跡為曲線C。（1）求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G。（i）證明：△PQG是直角三角形；（ii）求△PQG面積的最大值。22.[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為極點(diǎn)，點(diǎn)M(ρ,θ)(ρ>0)在曲線C:ρ=4sinθ上，直線l過(guò)點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直，垂足為P。(1)當(dāng)θ=π/3時(shí)，求ρ及l(fā)的極坐標(biāo)方程；解：當(dāng)θ=π/3時(shí)，ρ=4sin(π/3)=2√3。直線l垂直于OM，OM的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，所以O(shè)M的斜率為dy/dx=d(ρsinθ)/d(ρcosθ)=tanθ。因?yàn)橹本€l與OM垂直，所以直線l的斜率為-tan(π/3)=-√3。設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=ksec(θ-α)，其中k>0，0≤α<π/2。因?yàn)辄c(diǎn)A在直線l上，所以4=ksec(-α)，即k=4secα。因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上，所以2√3=ksec(π/3-α)，即2√3=4sec(α-π/6)。解得α=π/6，所以直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=4sec(θ-π/6)。(2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程。解：當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，OM的長(zhǎng)度不變，所以點(diǎn)P在線段OM上時(shí)，OP的長(zhǎng)度也不變。設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(r,φ)，則有r=OP=OMsinθ=ρsinθ=4sinθsinθ=2sin2θ。因此，P點(diǎn)的極坐標(biāo)方程為r=2sin2θ。23.[選修4—5：不等式選講]（10分）已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a)。(1)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)<0的解集；解：當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1)。當(dāng)x<1時(shí)，有x-1<0，x-2<0，所以f(x)=-(x-1)(x-2)(x-1)-(x-1)(x-2)(x-1)=-2(x-1)(x-2)(x-1)<0。當(dāng)1≤x<2時(shí)，有x-1≥0，x-2<0，所以f(x)=(x-1)(x-2)(x-1)-(x-1)(x-2)(x-1)=0。當(dāng)x≥2時(shí)，有x-1≥0，x-2≥0，所以f(x)=(x-1)(x-2)(x-1)+(x-1)(x-2)(x-1)=2(x-1)(x-2)(x-1)>0。因此，不等式f(x)<0的解集為x<1。(2)若x∈(-∞,1)時(shí)，f(x)<0，求a的取值范圍。解：當(dāng)x<1時(shí)，有f(x)<0，即-(x-a)(x-2)(x-a)<0。因?yàn)閤-a和x-a都是非負(fù)數(shù)，所以當(dāng)x<1時(shí)，必須有x-2<0，即x<2。因此，a的取值范圍為a∈(-∞,1)。2.X=4且甲獲勝的概率計(jì)算如下：在10:10平局的情況下，兩人再打4個(gè)球，前兩個(gè)球甲、乙各得1分，后兩個(gè)球都是甲得分。因此，所求概率為[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1。19.(1)根據(jù)題設(shè)得到4(an+1+bn+1)=2(an+bn)，即an+1+bn+1=1/2(an+bn)。又因?yàn)閍1+b1=l，所以{an+bn}是一個(gè)首項(xiàng)為1，公比為1/(an+bn)×1/2的等比數(shù)列。(2)由(1)知，an+bn=1，所以an=1/2(n-1)，an-bn=2n-1。因此，bn=(an+bn)-(an-bn)=n。20.(1)f(x)的定義域?yàn)?0,1)∪(1,+∞)。因?yàn)閒'(x)=x(x-1)2(e+1)/(e2+1)(e2-3)>0，所以f(x)在(0,1)和(1,+∞)單調(diào)遞增。f(e)=2-2e/(e+1)<0，因此f(x)在(1,+∞)有唯一零點(diǎn)x1，即f(x)=0。又因?yàn)閒(x)=x/(x-1)-ln(x)/(x+1)，所以f(x)在(0,1)有唯一零點(diǎn)。綜上，f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)。(2)因?yàn)閒(x)=x/(x-1)-ln(x)/(x+1)，所以f'(x)=[(x-1)ln(x)+x(x+2)]/(x-1)2(x+1)2。令f'(x)=k，解得x=e/(e-k)。點(diǎn)B(-lnx,f(x))在曲線y=ex上。由題設(shè)得f(x)=(x+1)/(x-1)-ln(x)/(x+1)，即ln(x)=(x+1)/(x-1)-f(x)/(x+1)。因此，直線AB的斜率k=-f(x1)=-x1/(x1+1)。曲線y=e在點(diǎn)B(-lnx,x)處的切線的斜率是1，因此曲線y=ln(x)在點(diǎn)A(x,ln(x))處的切線的斜率也是1。由此可知，曲線y=ln(x)在點(diǎn)A(x,ln(x))處的切線也是曲線y=ex的切線。注：原文第一段中的“兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束”應(yīng)改為“兩人再打4個(gè)球”。原文第二段中的“公比為1/(an+bn)×1/2”應(yīng)改為“公比為1/(an+bn)÷2”。1.當(dāng)|x|不等于2時(shí)，橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在(0,2)和(0,-2)。橢圓在x軸上，不含左右頂點(diǎn)。2.(i)假設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為y=kx(k>0)。由x^2+y^2=1得x=±sqrt(1-y^2)。記u=(1+2k^2)^(-1/2)，則P(u,uk)、Q(-u,-uk)、E(u,0)，直線QG的斜率為k/(2u(1+2k^2))，方程為y=(x-u)/(2u(1+2k^2))。由x^2/(4a^2)+y^2/(b^2)=1得(2+k^2)x^2-2uk^2x+k^2u^2-8=0。設(shè)G(x_G