正弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)(同名5371)

PAGEPAGE4《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)教師：廖儀君思南縣第六中學(xué)一、教材分析《正弦定理》是人教版教材必修五第一章《解三角形》的第一節(jié)內(nèi)容，也是三角形理論中的一個(gè)重要內(nèi)容，與初中學(xué)習(xí)的三角形的邊和角的基本關(guān)系有密切的聯(lián)系。在此之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過了直角三角形的邊角的量化關(guān)系，正弦函數(shù)和余弦函數(shù)，知識儲備已足夠。它是后續(xù)課程中解三角形的理論依據(jù)，也是解決實(shí)際生活中許多測量問題的工具。因此熟練掌握正弦定理能為接下來學(xué)習(xí)解三角形打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，并能在實(shí)際應(yīng)用中靈活變通。二、教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)：理解并掌握正弦定理及其推導(dǎo)過程，運(yùn)用正弦定理解三角形。能力目標(biāo)：探索正弦定理的推導(dǎo)過程，用歸納法得出結(jié)論，并能掌握多種推導(dǎo)方法。情感目標(biāo)：通過多種推導(dǎo)方法得出正弦定理，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)公式的準(zhǔn)確性和整潔對稱美以及數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。三、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的內(nèi)容和變型與延伸，正弦定理的多種推導(dǎo)方法及基本應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的探索及推導(dǎo)。已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。已知兩角和任意一邊解三角形。四、教法啟發(fā)式教育教學(xué)法。本節(jié)知識遵循以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體的指導(dǎo)思想，采用與學(xué)生共同探索的教學(xué)方法，命題教學(xué)的發(fā)生型模式，以問題實(shí)際為參照對象，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲，讓學(xué)生的思維由問題開始，到猜想的得出，猜想的探究，定理的推導(dǎo)，并逐步得到深化，且運(yùn)用例題和習(xí)題來強(qiáng)化內(nèi)容的掌握，突破重難點(diǎn)。即指導(dǎo)學(xué)生掌握“觀察——猜想——證明——應(yīng)用”這一思維方法。學(xué)生采用自主式、合作式、探討式的學(xué)習(xí)方法，這樣能使學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識和探究精神。五、教學(xué)過程（一）、引入。提問：在中學(xué)的初中階段我們學(xué)習(xí)了直角三角形的邊角之間有一定的準(zhǔn)確量化關(guān)系：（1）正弦，余弦，正切；（2）勾股定理兩銳角互余；可以解直角三角形。同時(shí)我們知道，在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系。那我們能不能得到關(guān)于任意三角形邊、角準(zhǔn)確量化的關(guān)系表達(dá)式從而解三角形呢？（二）、歸納命題1、特殊的三角形直角三角形中來探討邊與角的數(shù)量關(guān)系：A在如圖Rt三角形ABC中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義Abcbc所以，CCa又B所以aB在直角三角形中，得出這一關(guān)系。那么，對于一般的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立呢？2、命題證明首先考慮銳角三角形，要找到邊與角正弦之間的關(guān)系，就要找到橋梁，那就是構(gòu)造出直角三角形——作高線。作上的高,根據(jù)三角函數(shù)的定義，所以，同理，在中，解：由sineq\f(C,2)coseq\f(C,2)＝eq\f(1,4)，得sinC＝eq\f(1,2)，又C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,6)或C＝eq\f(5π,6).由sinBsinC＝cos2eq\f(A,2)，得sinBsinC＝eq\f(1,2)[1－cos(B＋C)]，即2sinBsinC＝1－cos(B＋C)，即2sinBsinC＋cos(B＋C)＝1，變形得cosBcosC＋sinBsinC＝1，即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝eq\f(π,6)，B＝C＝eq\f(5π,6)(舍去)，A＝π－(B＋C)＝eq\f(2π,3).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得b＝c＝aeq\f(sinB,sinA)＝2eq\r(3)×eq\f(\f(1,2),\f(\r(3),2))＝2.故A＝eq\f(2π,3)，B＝eq\f(π,6)，b＝c＝2.2.在△ABC中，A、B為銳角，角A、B、C所對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且cos2A＝eq\f(3,5)，sinB＝eq\f(\r(10),10).(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝eq\r(2)－1，求a，b，c的值．解：(1)∵A、B為銳角，sinB＝eq\f(\r(10),10)，∴cosB＝eq\r(1－sin2B)＝eq\f(3\r(10),10).又cos2A＝1－2sin2A＝eq\f(3,5)，∴sinA＝eq\f(\r(5),5)，cosA＝eq\f(2\r(5),5)，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝eq\f(π,4).(2)由(1)知，C＝eq\f(3π,4)，∴sinC＝eq\f(\r(2),2).由正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)得：eq\r(5)a＝eq\r(10)b＝eq\r(2)c，即a＝eq\r(2)b，c＝eq\r(5)b.∵a－b＝eq\r(2)－1，∴eq\r(2)b－b＝eq\r(2)－1，∴b＝1.∴a＝eq\r(2)，c＝eq\r(5).4、形成命題域、命題系完成課本探究（課本P3）開始我們運(yùn)用分類討論平面幾何三角形的情況證明了正弦定理。那么正弦定理的證明還有沒有其他的證法？學(xué)生可以自主思考，也可以合作探究。學(xué)生思考出來就更好，如果沒有思考出來，提示兩種方法（1）幾何法，作三角形的外接圓；（2）向量法。先讓學(xué)生思考。結(jié)束后，重點(diǎn)和學(xué)生一起討論幾何法，作外接圓的證法。一方面是讓學(xué)生體會到證明方法的多樣，進(jìn)行發(fā)散性思維，但更主要的是為了得出。即得正弦定理中這一比值等于外接圓半徑的2倍的結(jié)論，讓學(xué)生能更深刻地理解到這一定理的，也方便以后的解題。而提到的向量法，則讓學(xué)生課后自己思考，可以查閱資料證明。（1）.外接圓證明正弦定理。在△ABC中,已知BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC的外接圓,O為圓心,連結(jié)BO并延長交圓于B′,設(shè)BB′=2R.則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到∠BAB′=90°，∠C=∠B′，∴sinC=sinB′=.∴.同理,可得.∴.這就是說,對于任意的三角形,我們得到等式（2）向量法證明正弦定理。(1)△ABC為銳角三角形,過點(diǎn)A作單位向量j垂直于,則j與的夾角為90°-A,j與的夾角為90°-C.由向量的加法原則可得,為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運(yùn)算,得到由分配律可得.BC∴|j|Cos90°+|j|Cos(90°-C)=|j|Cos(90°-A).jC∴asinC=csinA.∴.A另外,過點(diǎn)C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+C,j與的夾角為90°+B,可得.(此處應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)生注意兩向量夾角是以同起點(diǎn)為前提,防止誤解為j與的夾角為90°-C,j與的夾角為90°-B)∴.CA(2)△ABC為鈍角三角形,不妨設(shè)A＞90°,過點(diǎn)A作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為A-90°,j與的夾角為90°-C.CA由,得j·+j·=j·,jAB即a·Cos(90°-C)=c·Cos(A-90°),∴asinC=csinA.∴AB另外,過點(diǎn)C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+C,j與夾角為90°+B.同理,可得.∴六、課堂小結(jié)與反思這節(jié)課我們學(xué)到了什么？（正弦定理的形式？正弦定理的適應(yīng)范圍？正弦定理的證明方法？）1、我們從直角、銳角、鈍角三類三角形出發(fā)，運(yùn)用分類的方法通過猜想、證明得到了正弦定理，它揭示了任意三角形邊和其所對的角