線性回歸方程的求法

線性回歸方程的求法第1頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月必修3(第二章統(tǒng)計(jì))知識(shí)結(jié)構(gòu)

收集數(shù)據(jù)(隨機(jī)抽樣)整理、分析數(shù)據(jù)估計(jì)、推斷簡單隨機(jī)抽樣分層抽樣系統(tǒng)抽樣用樣本估計(jì)總體變量間的相關(guān)關(guān)系

用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布

用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體數(shù)字特征線性回歸分析第2頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月統(tǒng)計(jì)的基本思想實(shí)際樣本模擬抽樣分析第3頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月兩個(gè)變量的關(guān)系不相關(guān)相關(guān)關(guān)系函數(shù)關(guān)系線性相關(guān)非線性相關(guān)現(xiàn)實(shí)生活中兩個(gè)變量間的關(guān)系有哪些呢？第4頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月思考：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有怎樣的不同？函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在，是更一般的情況第5頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月

自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系。1、定義：1）：相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系；注對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫回歸分析。2）：第6頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月2、現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系。

如：人的身高與年齡；產(chǎn)品的成本與生產(chǎn)數(shù)量；商品的銷售額與廣告費(fèi)；家庭的支出與收入。等等探索：水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間大致有何規(guī)律？第7頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月1020304050500450400350300·······發(fā)現(xiàn)：圖中各點(diǎn)，大致分布在某條直線附近。探索2：在這些點(diǎn)附近可畫直線不止一條，哪條直線最能代表x與y之間的關(guān)系呢？xy施化肥量水稻產(chǎn)量施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455散點(diǎn)圖第8頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月1020304050500450400350300·······xy施化肥量水稻產(chǎn)量怎樣求回歸直線？第9頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月最小二乘法：稱為樣本點(diǎn)的中心。第10頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）對兩個(gè)變量進(jìn)行的線性分析叫做線性回歸分析。2、回歸直線方程：（2）相應(yīng)的直線叫做回歸直線。（1）所求直線方程叫做回歸直線方程；其中（注意回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心）第11頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例1假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所有支出的維修費(fèi)用y(萬元)有如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：x23456Y2.23.85.56.57.0若由此資料所知y對x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：回歸直線方程估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？解題步驟：作散點(diǎn)圖2.把數(shù)據(jù)列表，計(jì)算相應(yīng)的值，求出回歸系數(shù)3.寫出回歸方程,并按要求進(jìn)行預(yù)測說明。第12頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例2（2007年廣東）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y(噸標(biāo)準(zhǔn)煤)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)。X3456y2.5344.5請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的性回歸方程(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤，試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100

噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？（參考數(shù)值：

）第13頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)：求回歸直線方程的步驟（2）所求直線方程叫做回歸直線方程；其中（1）作散點(diǎn)圖，通過圖看出樣本點(diǎn)是否呈條狀分布，進(jìn)而判斷兩個(gè)量是否具有線性相關(guān)關(guān)系。（3）根據(jù)回歸方程，并按要求進(jìn)行預(yù)測說明。第14頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)系數(shù)

1.計(jì)算公式2．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)|r|≤1．(2)|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越?。畣栴}：達(dá)到怎樣程度，x、y線性相關(guān)呢？它們的相關(guān)程度怎樣呢？第15頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月負(fù)相關(guān)正相關(guān)第16頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月相關(guān)系數(shù)ｒ＞０正相關(guān)；ｒ＜０負(fù)相關(guān)．通常，r∈[-1,-0.75]--負(fù)相關(guān)很強(qiáng);

r∈[0.75,1]—正相關(guān)很強(qiáng);

r∈[-0.75,-0.3]--負(fù)相關(guān)一般;r∈[0.3,0.75]—正相關(guān)一般;r∈[-0.25,0.25]--相關(guān)性較弱;第17頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月第一章統(tǒng)計(jì)案例1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（第二課時(shí)）第18頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月a.比《數(shù)學(xué)3》中“回歸”增加的內(nèi)容數(shù)學(xué)３——統(tǒng)計(jì)畫散點(diǎn)圖了解最小二乘法的思想求回歸直線方程y＝bx＋a用回歸直線方程解決應(yīng)用問題選修１-２——統(tǒng)計(jì)案例引入線性回歸模型y＝bx＋a＋e了解模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)e產(chǎn)生的原因了解相關(guān)指數(shù)R2

和模型擬合的效果之間的關(guān)系了解殘差圖的作用利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題正確理解分析方法與結(jié)果第19頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月什么是回歸分析：“回歸”一詞是由英國生物學(xué)家F.Galton在研究人體身高的遺傳問題時(shí)首先提出的。

根據(jù)遺傳學(xué)的觀點(diǎn)，子輩的身高受父輩影響，以X記父輩身高，Y記子輩身高。雖然子輩身高一般受父輩影響，但同樣身高的父親，其子身高并不一致，因此，X和Y之間存在一種相關(guān)關(guān)系。

一般而言，父輩身高者，其子輩身高也高，依此推論，祖祖輩輩遺傳下來，身高必然向兩極分化，而事實(shí)上并非如此，顯然有一種力量將身高拉向中心，即子輩的身高有向中心回歸的特點(diǎn)?！盎貧w”一詞即源于此。

雖然這種向中心回歸的現(xiàn)象只是特定領(lǐng)域里的結(jié)論，并不具有普遍性，但從它所描述的關(guān)于X為自變量，Y為不確定的因變量這種變量間的關(guān)系看，和我們現(xiàn)在的回歸含義是相同的。

不過，現(xiàn)代回歸分析雖然沿用了“回歸”一詞，但內(nèi)容已有很大變化，它是一種應(yīng)用于許多領(lǐng)域的廣泛的分析研究方法，在經(jīng)濟(jì)理論研究和實(shí)證研究中也發(fā)揮著重要作用。第20頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月回歸分析的內(nèi)容與步驟：統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)通過后，最后是利用回歸模型，根據(jù)自變量去估計(jì)、預(yù)測因變量。

回歸分析通過一個(gè)變量或一些變量的變化解釋另一變量的變化。

其主要內(nèi)容和步驟是，首先根據(jù)理論和對問題的分析判斷，將變量分為自變量和因變量；其次，設(shè)法找出合適的數(shù)學(xué)方程式（即回歸模型）描述變量間的關(guān)系；由于涉及到的變量具有不確定性，接著還要對回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)；第21頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例1從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。案例1：女大學(xué)生的身高與體重解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖：2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。3、從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關(guān)系。

我們可以用下面的線性回歸模型來表示：y=bx+a+e，其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差。思考P3產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？第22頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月思考P4產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？隨機(jī)誤差e的來源(可以推廣到一般）：1、其它因素的影響：影響身高y的因素不只是體重x，可能還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長環(huán)境等因素；2、用線性回歸模型近似真實(shí)模型所引起的誤差；3、身高y的觀測誤差。第23頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型：回歸模型：可以提供選擇模型的準(zhǔn)則第24頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型：回歸模型：

線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e，因變量y的值由自變量x和隨機(jī)誤差項(xiàng)e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。

在統(tǒng)計(jì)中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量y稱為預(yù)報(bào)變量。第25頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例1從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。案例1：女大學(xué)生的身高與體重解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖：2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫它們之間的關(guān)系。3、從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關(guān)系。

我們可以用下面的線性回歸模型來表示：y=bx+a+e，其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差。第26頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例1從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號(hào)求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。根據(jù)最小二乘法估計(jì)和就是未知參數(shù)a和b的最好估計(jì)，制表xi2xiyiyixi78合計(jì)654321i第27頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月例1從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號(hào)求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。根據(jù)最小二乘法估計(jì)和就是未知參數(shù)a和b的最好估計(jì)，于是有b=所以回歸方程是所以，對于身高為172cm的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報(bào)其體重為

探究P4：身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？第28頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月探究P4：身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？答：身高為172cm的女大學(xué)生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認(rèn)為她的體重在60.316kg左右。第29頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月對回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)第30頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月表1-4列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。

在研究兩個(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。殘差分析與殘差圖的定義：

然后，我們可以通過殘差來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382

我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。第31頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月殘差圖的制作及作用。坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；對于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點(diǎn)

錯(cuò)誤數(shù)據(jù)模型問題

幾點(diǎn)說明：第一個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過程中是否有人為的錯(cuò)誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因。另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計(jì)較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。第32頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月樣本決定系數(shù)

（判定系數(shù)R2

）1.回歸平方和占總偏差平方和的比例反映回歸直線的擬合程度取值范圍在[0,1]之間

R21，說明回歸方程擬合的越好；R20，說明回歸方程擬合的越差判定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即R2＝(r)2第33頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。在線性回歸模型中，R2表示解析變量對預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率。R2越接近1，表示回歸的效果越好（因?yàn)镽2越接近1，表示解析變量和預(yù)報(bào)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)）。

如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析，則可以通過比較R2的值來做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。總的來說：相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)。在線性模型中，它代表自變量刻畫預(yù)報(bào)變量的能力。第34頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是1354總計(jì)0.36128.361殘差變量0.64225.639解釋變量比例平方和來源表1-3

從表3-1中可以看出，解析變量對總效應(yīng)約貢獻(xiàn)了64%，即R20.64，可以敘述為“身高解析了64%的體重變化”，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的36%。所以，身高對體重的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多。第35頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月用身高預(yù)報(bào)體重時(shí)，需要注意下列問題：1、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；2、我們所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性；3、樣本采集的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍；4、不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值。事實(shí)上，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值?！@些問題也使用于其他問題。涉及到統(tǒng)計(jì)的一些思想：模型適用的總體；模型的時(shí)間性；樣本的取值范圍對模型的影響；模型預(yù)報(bào)結(jié)果的正確理解。小結(jié)：第36頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月一般地，建立回歸模型的基本步驟為：（1）確定研究對象，明確哪個(gè)變量是解析變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量。（2）畫出確定好的解析變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系（如是否存在線性關(guān)系等）。（3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性回歸方程y=bx+a）.（4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。（5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等。第37頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月建構(gòu)數(shù)學(xué)模型我們將y=bx+a+e稱為線性回歸模型．其中a,b為模型的未知參數(shù)，解釋變量x，預(yù)報(bào)變量y，e稱為隨機(jī)誤差。思考1：e產(chǎn)生的主要原因是什么？

(1)所用確定函數(shù)模型不恰當(dāng)；

(2)忽略了某些因素的影響；

(3)觀測誤差。第38頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月思考2：如何檢查擬合效果的好壞？（1）散點(diǎn)圖（2）相關(guān)系數(shù)（3）殘差分析（4）回歸效果的相關(guān)系數(shù)第39頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月被害棉花

紅鈴蟲喜高溫高濕，適宜各蟲態(tài)發(fā)育的溫度為25一32C，相對濕度為80％一100％，低于20C和高于35C卵不能孵化，相對濕度60％以下成蟲不產(chǎn)卵。冬季月平均氣溫低于一4．8℃時(shí)，紅鈴蟲就不能越冬而被凍死。

問題情景1953年，18省發(fā)生紅鈴蟲大災(zāi)害，受災(zāi)面積300萬公頃，損失皮棉約二十萬噸。第40頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月溫度xoC21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325例2、現(xiàn)收集了一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間的7組觀測數(shù)據(jù)列于下表：（1）試建立產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預(yù)測溫度為28oC時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目。（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？問題呈現(xiàn)：第41頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月假設(shè)線性回歸方程為：?=bx+a選變量畫散點(diǎn)圖選模型分析和預(yù)測估計(jì)參數(shù)由計(jì)算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73相關(guān)指數(shù)R2=r2≈0.8642=0.7464

解：選取氣溫為解釋變量x，產(chǎn)卵數(shù)為預(yù)報(bào)變量y。所以，一次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化。問題探究050100150200250300350036912151821242730333639方案1當(dāng)x=28時(shí)，y=19.87×28-463.73≈93第42頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月教法93>66！?模型不好？奇怪？第43頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月

y=bx2+a變換y=bx+a非線性關(guān)系線性關(guān)系方案2問題１選用y=bx2+a

，還是y=bx2+cx+a？問題3

產(chǎn)卵數(shù)氣溫問題2如何求a、b？合作探究第44頁，課件共49頁，創(chuàng)作于2023年2月方案2解答平方變換：令t=x2，產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a溫度21232527293235溫度的平方t44152962572984110241225產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325作散點(diǎn)圖，并由計(jì)算器得：y和t之間的