泰勒公式的余項及其應用論

如不慎侵犯了你的權益，請聯(lián)系我們告知！余項及其應用 如不慎侵犯了你的權益，請聯(lián)系我們告知！表示為簡單的多項式函數,這種化繁為簡的功能,使它成為分析和研究其他數學問題的有力杠桿.但一般高數教材中僅介紹了如何用泰勒公式展開函數，而對泰勒公式的應用方法并未深入討論，在教學過程中學生常因學用脫離而難.種類型的泰勒公式在求極限、估計無窮小(大)量的階、命題證明、定積分計算、近似計算中重要作用.如不慎侵犯了你的權益，請聯(lián)系我們告知！泰勒公式的知識可用于解決很多問題，它是研究代數、幾何等問題的重要工具.同時泰勒公式在定積分的計算、求近似值、求極限、判斷斂散性、估計無窮(小)大的泰勒公式在求近似值中的應用.再如文[2]中帶皮亞諾型余項的泰勒公式在判別極值方面的應用等等.從大量的應用中發(fā)現(xiàn)很多問題用泰勒公式去解決很容易，也很簡單，同時靈活巧妙的應用泰勒公式卻不容易.當然，不同余項的泰勒公式之間是可以轉換的，但是不同的余項在解決不同的類型的問題時都有各自的優(yōu)點.定理[1]設函數f(x)在點x處具有n階導數，則有0f(x)=f(x)+f(x)(x一x)+f(x)(x一x)2+...L+fn(x)0(x一x)n+o(x一x)n，002!0n!00注該定理說明當xx時用泰勒多項式P(x)近似取代f(x)時，其誤差R(x)是0nn比(xx)n高階的無窮小.0xx如不慎侵犯了你的權益，請聯(lián)系我們告知！例1求limx2cosx-e-2x)0x4分析此題分母為x4，如果用洛比達法則，需連用4次，比較麻煩.而用帶皮亞諾余項的泰勒公式解求較簡單.解cosx=1-1x2+1x4+o(x4)，(x)0)解2!4!22x)0x412帶有佩亞諾型余項的泰勒公式是求函數極限的一個非常有力的工具,運用得當會使求函數的極限變得十分簡單.周知，要使用比較判別法判斷一個正項級數xwu是否收斂，只要能找到一個相nnnnpx)wvnnnnnnnnnnnnn=1n=1||||1n1n=--||||1n1n=--如不慎侵犯了你的權益，請聯(lián)系我們告知！解由泰勒展開式得n11n11nn(1n(1)4|11(1)11(1)n3n3x)wax)w16n=1n=1n2n2n3nnnn=1n=1n2n=1n=12.2.3估計無窮(小)大量的階如何估計無窮(小)大量的階，對于簡單函數可以用估猜法，但對于復雜的函數解因為2624如不慎侵犯了你的權益，請聯(lián)系我們告知！從例題可以看出用帶皮亞諾型余項的泰勒公式可以很好的解決較為復雜的估計無窮(小)大量的階0如不慎侵犯了你的權益，請聯(lián)系我們告知！.證明與高階導數相關的命題，同時又不需要討論其余項時，帶皮亞諾余項的泰勒公式是一種極為有效的工具.n!n!f(n+1)(x)才0，則lim9=1h)0n+1.定理[2]設函數f(x)在閉區(qū)間I上有n-1階連續(xù)函數，Va，x=I，則有n!0n!0nn!0nn!0帶積分型余項的泰勒公式在解決一些復雜的定積分計算中能夠簡單、巧妙的的將問題解決.jexxndx(n=N+)如不慎侵犯了你的權益，請聯(lián)系我們告知！0n!m!定理[3]設函數f(x)在閉區(qū)間I上有直到n階的連續(xù)導數，在開區(qū)間I0內有n+1階n!(n+1)!，n!(n+1)!，.拉格朗日余項的泰勒公式的應用時,即只能求出其近似值,這時泰勒公式是解決這種問題的最好方法.如不慎侵犯了你的權益，請聯(lián)系我們告知！ne1.3956.32!323!334!3423(1)n1xnR(x)，nnn其中R(x)(1)nxn1(在0與x之間).n(n1)(1)n1|R(x)|(0.2)n1(0.2)n10.0001(00.2)n(n1)(1)n1.則取n5即可.5泰勒公式的余項及其應用的研究探討是高等數學中一個十分重要的課題，研究這個課題的學者很多，我從他們的文獻中獲益匪淺，他們的研究使我學習了解了很多關于泰勒公式的知識，使我能更好的完成這篇論文.本文主要介紹了帶積分型、拉格朗日型、皮亞諾型余項的泰勒公式，并給出了它在計算定積分、求極限、估計無窮(小)大量的階、近似計算、命題證明中的應用.領域中去，介紹泰勒公式在數學各方面的應用和解求