第2章隨機(jī)信號時(shí)域分析

第二章研究思路：統(tǒng)計(jì)規(guī)律T用統(tǒng)計(jì)方法處理，將時(shí)間t作為常量。因此完全可以借鑒隨當(dāng)對的噪聲電壓作“單次”觀察時(shí)，可以得到波形x1(t)，也可能得到波形x2(t)，x3(t)這些所有可能的波形集合x1(t)x2(t)x3(t)xm(t)，…..，就構(gòu)成了隨機(jī)過程X(t)。如圖2.1.1所示。ξ=ξ1的樣本時(shí)間函數(shù)（波形0t02.1.1噪聲電壓的起伏波形性使得每一次觀測到不同的電壓波形x1tx2t),×××。因此，噪聲電壓為無限多可能波形中的一種，噪聲電壓信號為一族隨機(jī)的時(shí)間波形函數(shù)。2、定義令隨機(jī)試驗(yàn)的概率空間為{WFP，若對于樣本空間W中的任何一個(gè)樣本點(diǎn)xi?W，總有一個(gè)確知函數(shù)xi=X(txi)，t?T與之對應(yīng)，這樣對于所有的x?W，就可得到一族關(guān)于t的函數(shù)X(t,x)，稱為隨機(jī)信號。族中的每一個(gè)函數(shù)稱為該隨機(jī)過程的樣本函數(shù)。隨機(jī)信號X(tx)常簡記為X(t)，對應(yīng)的橫向（延坐標(biāo)軸t）看：一個(gè)樣本（時(shí)間）縱向（延實(shí)驗(yàn)樣本x）看：某一時(shí)刻t0下的隨機(jī)樣本xi?根據(jù)以上討論可列出X(t,x)（1）t,x均為變量T（2）tx固定T（3）t固定，x變量T一個(gè) （4）tx固定T它是時(shí)間t和取值x的二元函數(shù)。

FX(x;t)=P(X(t)￡f(x;t)=?FX 隨機(jī)過程的一維統(tǒng)計(jì)特性具有普通隨量的各種性質(zhì)，區(qū)別在它們同時(shí)還是時(shí)間t的函間的內(nèi)在聯(lián)系T用“n維”更為全面。X(t1)與X(t2)，F(xiàn)X(x1,x2;t1,t2)=FX(x1,x2)=P[X(t1)￡x1,X(t2)￡x2f(x,x;t,t)=f(x,x) F(x,x;t,t12 21 ?x 2112FX(x1,x2,××x1,2,×tn)=P{X(t1)￡x1,X(t2)￡x2,××Xt)￡x2f(x,x,×××x；t,t,××t)=?FX(x1,x2,××x,2,×tn12 1 ?x12

××× -T反映“內(nèi)在聯(lián)系”愈充分，也就越為完整地描述隨機(jī)過程的全部統(tǒng)計(jì)特性數(shù)學(xué)期望mX

￥òmX(t)oE{X(t)}￥ò

xfX ②若X(t)是 輸出端的電壓（或電流，則mX(t)是此電壓（或電流）的瞬時(shí)統(tǒng)計(jì)平均方E{X2(t)}與方差òE{X2(t)} ￥x2(t)fXòDXt=tX2(t)=E{Xt-mtù2

=E{X2(t)-m2(t)- X=E{X2(t)}-m2X

①t2(t)------隨機(jī)信號在t時(shí)刻取值相對于中心（均值）的偏離程度。t(t)②若X(t)為歸一化阻抗下的電壓或電流，則E{X2(t)}表示時(shí)刻t上的瞬時(shí)總功率的統(tǒng)計(jì)平均,t2(t)為瞬時(shí)交流功率的統(tǒng)計(jì)平均。一個(gè)隨機(jī)信號X(t)的任兩個(gè)時(shí)刻(t1與t2)的隨量X(t1),X(t2)，或者兩個(gè)隨機(jī)信號任兩個(gè)時(shí)刻(t1與t2)的隨量X(t1),Y(t2)，X(t1)~X(t2)或者X(t1)~Y(t2)取值變化之間的量依賴于另一個(gè)隨量的程度-處理方法：將相同隨機(jī)信號不同時(shí)間t，不同隨機(jī)信號不同/相同t的隨量都看作不同的隨量來處理，不相關(guān)，正交和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的概念與隨量相應(yīng)概念一致。自相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2RX(t1,t2)=E{X(t1)X(t2)}

-RX(t1,t2X(t1)、X(t2fX(x1x2;t1,t2為二維概率密度函數(shù)。t1和t2為任意兩時(shí)刻。若t1t2tRX(t,tE[X(t)X(tE[XéX(1)ù?X2?} éx-m(tùx-m(tùf(x,x;tt)dx - -￥? X1?? 2? 21, =RX(t1,t2)-mX(t1)mX與以上處理是一樣的，因?yàn)閄(t1)~X(t2)或X(t1)~Y(t2)都可看作不同的隨量，這t僅作為隨量的一個(gè)確定參數(shù)來獲得數(shù)字特征 RXY(t1,t2=E[X(t1)Y(t2

xyfXY(x,y;t1,t2互協(xié)方差函數(shù)：CXY(t1,t2)=RXY(t1,t2mX(t1)mY(t2例:已知隨機(jī)過程X(t)=Vcos4t -￥<t<￥式中V是隨量，其數(shù)學(xué)期望為5，方差解：由題意可知E[V5D[V6,從而可得V的均方值為E[V2=D[VE2[V=31 均 mX(t)=EXt=EVcost=cos4t×E[V]= 方 t2(t)=DXt=DVcost=cos24t×D[V]=6cos2X

RX(t1,t2)=EX(t1)X(t2)ù=EVcos4t1Vcos4t2ù ? {é?? =RX(t1,t2)-mX(t1)mX(t2=31cos4t1×cos4t2-5cos4t1×5cos4t2=6cos4t1×cos

嚴(yán)格（狹義）平穩(wěn)隨機(jī)過程(StrictSenseStationary,SSS)：若隨機(jī)信號X(t)的任意n布不隨時(shí)間起點(diǎn)的不同而變化，即取樣點(diǎn)在時(shí)間軸上平移了任意Dt后，其n維概率密度保持FX ,xn;t1+Dt,

+Dt)=FX ,xn ,tnfX ,xn;t1+ ,tn+Dt)=fX ,xn ,tn則稱該隨機(jī)信號X(t)①若X(t)是嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)信號，則它的一維概率密度和數(shù)字特征與時(shí)間tfX(x1;t=fX(x1;tDt=fX(x1 見圖2.2.1.2 均值EXtù ￥xf(x)dx=m見圖2.1.2.1.3? 2

ù-￥1X

均方值EX(t) ￥xf(x - 1 1DXtùò￥(x1

(x

= -

均值、均方值、方差皆為與時(shí)間t②嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)信號X(t)的二維概率密度和數(shù)字特征只與t1,t2的時(shí)間間隔t=t2令Dtt1，并tt2t1fX(x1,x2;t1,t2)=fX(x1,x2;t1+Dt,t2+=fX(x1,x2;0,t2-t1)=fX(x1,x2;

RX(t1,t2)

x1x2fX(x1,x2;t)dx1dx2=RXXCX(t1,t2)=CX(t)=RX(t)-X寬（廣義）平穩(wěn)(WideSenseStationary,WSS)隨機(jī)過程定義：若隨機(jī)信號X(t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，其自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔t=t2t1有關(guān)，且均方值有限，即滿足三個(gè)條件?EXtù=X121íRX121

2)X2

X)ù=X

t=t- é ?Et?稱X(t)為寬平穩(wěn)隨機(jī)信號（或廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號為平穩(wěn)信號來處理。如語音信號：人們普遍實(shí)施1030ms例：設(shè)隨機(jī)信號X(t)=acos(w0t+f)。式中a，w0皆為常數(shù)，隨 量f服從(0,2p)上的均[解]由題意可知，隨量f的概率密度??2?

0<j<根據(jù)定義式求得過程X(t)m(t)=EXt 2px(t)fjdj 2pacos(wt+) 1×d=0 0

RX(t1,t2)=RX(t,t+t)=EXtXt+t?=E2éê?acos(w0t+)acos(w0(t+t)+f)?2=aEéswt+cos(2wt+wt+f2 a2

ú?=2êw0t+?

cos(2w0t+w0t+)

= coswt=RE

2tù=

(t,t)=

(0)=a2<￥ （有限，故隨機(jī)信號X(t)是（寬/廣義）RX(0E{X2(t)=S為X(t)的平均功率（注：若不是平穩(wěn)隨機(jī)過程，則E{X2(t是瞬時(shí)功率期望RX(t是tRX(t)=RX-RX(t)=E{X(t)X(tt)=E{X(tt)X(t)}=RX( RX{éX)t?ù 0，E{X2(t)}=E{X2(t+t)}=RX(0)，E{X(t)X(t+t)}=RXRX RX(t)RX(￥)=E2X(t)}為X(t)的直流功率limRX(t=limE{X(t)X(ttE{X(tE{X(ttE2{X(tt t里 ￥時(shí)，X(t)與X(t+t)相互獨(dú)立XRX(0)-RX(￥)= 方差----- 的交流功率X例：已知平穩(wěn)隨機(jī)信號X(t)的自相關(guān)函數(shù)RX(t

1+

+36，求X(t) [解]由m2= ()=36T = Xt2=RX(0)-RX()=40-36=XX(t)與Y(t) RXY(t1,t2)=RXY(t,t+t)=RXY t=t2- RXY(t1,t2)= CXY(t1,t2)=0或RXY(t1,t2)=mX(t1)mY(t2例：已知平穩(wěn)隨機(jī)信號X(t)和Y(t)，X(tAcostBsint，Y(tAcos2tBsin2t，且B為互不相關(guān)rv，有E[A]=E[B]=0D[A]=D[B]=3，問X(t)和Y(t)?RXY(t,t+t)=E (t)X(t+t?{At?éAt} =Eé2costcos2(t+t)+ABcostsin2(t+t)+ABsintcos2(t+t)+B2sintsin2(t+t ? =Eé2ùétcos2(t+t)+sintsin2(t ? =3cos(t+2t)1RXY可見RXY(t,t+t)也是變量tt的二元函數(shù)，故隨機(jī)信號X(t)和Y(t)

exp

[x(t)-m(t)]2fX(x;t)=

í- f(x,x;t,t) 2 - éx1- (x1-m1)(x2-m2 ù?pí?1-r2] t

-2r t

t úy 1 ?tx1x1(t1x2x2(t),u1u1(t1),u2u2(t2t1t1(t1t2t2(t2rr(t1,t2（1）過程的寬平穩(wěn)與嚴(yán)平穩(wěn)等過程的分布特性由其數(shù)字特征（t的函數(shù)）完全確定――沿襲了變量的特性 大多數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過程均具有“各態(tài)歷經(jīng)（Ergodicity）特性（或稱遍歷性(1)歷經(jīng)性隨機(jī)信若平穩(wěn)隨機(jī)信號X(t)，其所有參數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性，即X(t)中的任一樣本函數(shù)的時(shí)間平均（時(shí)間足夠長）收斂于相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)平均，則稱其隨機(jī)信號X(t)具有嚴(yán)格的各態(tài)歷經(jīng)性。(2)A.時(shí)間平均（均值各態(tài)歷經(jīng)性ò ò

Tx(t)dt X(t)

T X(t)=lim1òTX(t,x)dt=M 是一 量T￥ òx(t)x(t+t)= ò

Tx(t)x(tt)dt=f T X(t)X(t)X(t+t)=lim1T￥

X(tx)X(ttx)dt=f(t 若X(t)是一平穩(wěn)隨機(jī)信號，如果X(tE[X(tmX以概率1成立，則稱X(t)的均值若X(t)X(t+t)=E

(t)X(t+tù?=RX(t)以概率1成立，則稱X(