行列式線性代數(shù)教程

行列式線性代數(shù)教程第1頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月7.1行列式主要內(nèi)容：1.二階行列式.2.三階行列式.3.n階行列式.4.行列式的性質(zhì).5.克萊姆法制.第2頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月我們先從解二元線性方程組引入二階行列式的概念及計(jì)算．考慮二元線性方程組一、二階行列式第3頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月如果那么方程組的解為

第4頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月如果對于方程組的系數(shù),按其在方程組中出現(xiàn)的位置相應(yīng)地排列成一個(gè)方形表

引入記號||那么就可以得到一個(gè)二階行列式，并規(guī)定為此式的右端稱為二階行列式的展開式

aij(i=1,2;j=1,2)稱為二階行列式的元素，橫排的稱為行，豎排的稱為列．第5頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例1計(jì)算下列各行列式第6頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月類似地，三元線性方程組

二、三階行列式第7頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月的系數(shù)所構(gòu)成的行列式規(guī)定為此式的右端稱為三階行列式按第一行的展開式．第8頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月三階行列式的計(jì)算方法可用圖示記憶法，凡是實(shí)線上三個(gè)元素相乘所得到的項(xiàng)帶正號，凡是虛線上三個(gè)元素相乘所得到的項(xiàng)帶負(fù)號．這種展開法稱為對角線展開法．這種展開法稱為對角線展開法第9頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月下面介紹三階行列式的展開式：第10頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月其中A11、A12、A13分別稱為a11、a12、a13的代數(shù)余子式，第11頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例2計(jì)算下列三階行列式：第12頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月三、n階行列式

一個(gè)三階行列式可以用三個(gè)二階行列式來表示，所以可以用二階行列式來定義三階行列式，可以用三階行列式來定義四階行列式，……，依此類推，一般地，可以用n個(gè)n-1階行列式來定義n階行列式，下面給出n階行列式的定義：定義設(shè)n-1階行列式已經(jīng)定義，規(guī)定n階行列式第14頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月其中A1j=(-1)1+jM1j(j=1,2,………n)這里M1j為元素a1j的余子式，即為劃掉A的第1行第j列后所得的n-1階行列式，A1j稱為a1j的代數(shù)余子式．第15頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月由定義可以看出，行列式是由行列式不同行、不同列的元素的乘積構(gòu)成的和式．這種定義方法稱為歸納定義，通常，把上述定義簡稱為按行列式的第1行展開．第16頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月解因?yàn)閍12=a13=0所以由定義第17頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月例4計(jì)算行列式.第18頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月解由定義，將Dn

按第一行展開，得第19頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列式DT的值相等．如果行列式的某一行（列）的每一個(gè)元素都是二項(xiàng)式，則此行列式等于把這些二項(xiàng)式各取一項(xiàng)作成相應(yīng)的行（列），其余的行（列）不變的兩各行列式的和．四、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2第20頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月如果把行列式D的某一列（行）的每一個(gè)元素同乘以一個(gè)常數(shù)k則此行列式的值等于kD．也就是說，行列式中某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面．如果把行列式的某兩列（或兩行）對調(diào)，則所得的行列式與原行列式的絕對值相等，符號相反．如果行列式的某兩列（或兩行）的對應(yīng)元素相同，則此行列式的值等于零．如果行列式的某兩列（或兩行）的對應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零．“行列式的兩列對應(yīng)元素成比例”就是指存在一個(gè)常數(shù)k，使ali=kalj(l=1,2…n)．

性質(zhì)3性質(zhì)4推論性質(zhì)5第21頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月第22頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月如果把行列式的某一列（行）的每一個(gè)元素加上另一列（行）的對應(yīng)元素的k倍，則所得行列式與原行列式的值相等．由于行列式的整個(gè)計(jì)算過程方法靈活，變化較多，為了便于書寫和復(fù)查，在計(jì)算過程中約定采用下列標(biāo)記方法：1.以（r）代表行，（c）代表列．2.把第i

行（或第i列）的每一個(gè)元素加上第j行（或第j列）對應(yīng)元素的k倍，記作（ri）+k（rj）[或（ci）+k（cj）]．3.互換i

行（列）和j行（列），記作（ri）?（rj）[或（ci）?（cj）]．性質(zhì)6第23頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月04320-1-110447第24頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月00-1600011第25頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月第26頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月第27頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月行列式D等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即D=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin

（i=1,2,…,n）．行列式D的一行元素分別與另一行對應(yīng)的代數(shù)余子式之乘積的和等于零，即aj1Ai1+aj2Ai2+…+ajnAin=0（i,j=1,2,…,n,

i≠j）．例８按第三行展開計(jì)算行列式性質(zhì)7推論第28頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月第29頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)n元n個(gè)方程組為其系數(shù)行列式為五、克萊姆法則.第30頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月在系數(shù)行列式D中第j列的元素依次改換為b1，b2，…bn，得到的行列式記作Dj，即：第31頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月關(guān)于線性方程組（1）的解有下述法則：當(dāng)線性方程組（1）的系數(shù)行列式D≠0時(shí)，該方程組有且只有唯一解：例９用克萊姆法則解方程組克萊姆法則第32頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月解因?yàn)榈?3頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年