第七講解直角三角形

第七講

解直角三角形普陀區(qū)教育學(xué)院徐煒蓉（一）相關(guān)知識闡述解直角三角形已知兩邊（兩個元素，其中至少要有一條邊）銳角的三角比勾股定理三角形內(nèi)角和定理在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形.已知一邊一銳角（一）相關(guān)知識闡述已知一邊一銳角圖示：角

邊∠A已知元素角

邊可求得的其它元素對邊a鄰邊b斜邊c∠B=90°－∠Ab

=

a

cot

Asin

Ac

=

a

a=

b

tan

ACacABbbcos

Ac

=a

=

c

sin

Ab

=

c

cos

Aatan

Ab

=（一）相關(guān)知識闡述解直角三角形已知一邊一銳角已知兩邊（兩個元素，其中至少要有一條邊）銳角的三角比勾股定理三角形內(nèi)角和定理（一）相關(guān)知識闡述已知兩邊AbC圖示：caB已知元素可求得的其它元素邊∠A∠B第三邊直角邊atan

A

=

ab或

cot

A

=ba∠B=90°－∠A直角邊bc

=a2

+

b2直角邊a斜邊csin

A

=

acb

=c2

-

a2直角邊b斜邊ccos

A

=

bca

=c2

-

b2（一）相關(guān)知識闡述解直角三角形解非直角三角形已知一邊一角已知兩邊（兩個元素，其中至少要有一條邊）轉(zhuǎn)化銳角的三角比勾股定理三角形內(nèi)角和定理（二）典型題例精講另一個銳角A，斜邊c及∠B的對邊b解

∵—

A+—

B

=90，∴

—

A=90

-—

B

=90

-38

=52

.c∵cosB=

a

，8acosB

cos38∴

c

==

?10.15

.tan

B

=

b∵∴

b

=atanB

=8tan38

?6.250

.a

，BCA38遇到近8似計(jì)算，如不加說明，則邊長保留四個有效數(shù)字，角度精確到1’.1、直角三角形中的幾何計(jì)算例題1.

在Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠B=38°，a

=

8

，解這個直角三角形．BA38解這個直角三角形．（二）典型題例精講1、直角三角形中的幾何計(jì)算例題1.

在Rt△ABC中,已知∠C=90°∠B=38°，

a

=

8，另一個銳角A，斜邊c及∠B的對邊b解

∵—

A+—

B

=90，∴

—

A=90

-—

B

=90

-38

=52

.cosB=

a∵c

，a

8cosB

cos38∴

c

==

?10.15

.a∵∴

b

=atanB

=8tan38

?6.250

.tan

B

=

b

，，∵

8cot

B

=

a

，ba

8∴

b

=cot

B

=

tan38?6C.250

.BCA8解這個直角三角形．（二）典型題例精講1、直角三角形中的幾何計(jì)算例題1.

在Rt△ABC中,已知∠C=90°∠B=38°，

a

=

8，另一個銳角A，斜邊c及∠B的對邊b解

∵—

A+—

B

=90，∴

—

A=90

-—

B

=90

-38

=52

.∵cosB=

a

，ca

8∴

c

=cosB

=cos38

?10.15

.tan

B

=

b∵∴

b

=atanB

=8tan38

?6.250

.a

，38b

=

c2

-a22

2=

10.15

-8?

6.247

.（二）典型題例精講1、直角三角形中的幾何計(jì)算例題1.

在Rt△ABC中,已知∠C=90°∠B=38°，

a

=

8，解這個直角三角形．【點(diǎn)評】有關(guān)利用銳角的三角比求直角三角形邊長的問題，可概括成這樣四句話：“有斜用弦，無斜用切，求直用乘，求斜用除.”.選擇合理算法，使計(jì)算簡單（寧乘勿除），誤差較小（盡可能不用中間運(yùn)算得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算）.．求：（1）DC的長；（2）sinB的值.（二）典型題例精講1、直角三角形中的幾何計(jì)算例題2.

如圖，△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在BC上，AD=BC

,BD=4，cos∠ADC=

35CARt△ADCB

4

D（二）典型題例精講1、直角三角形中的幾何計(jì)算例題2.

如圖，△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在BC上，AD=BC

,BD=4，cos∠ADC=

3

．求：（1）DC的長；（2）sinB的值.5CARt△ADC5解得：k=2.∴DC=3k=6.解（1）∵中，∴設(shè)DC=3k，AD=5k

，∵AD=BC，∴BC=

5k.∵BC＝BD+DC，∴5k

=4+3k.cos∠ADC=

3

.3k5kB

4

D5k（二）典型題例精講1、直角三角形中的幾何計(jì)算例題2.

如圖，△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在BC上，AD=BC

,BD=4，cos∠ADC=

3

．求：（1）DC的長；（2）sinB的值.5BCA3=4+3k.解（1）∵

Rt△ADC

中，cos∠ADC=

5

.∴設(shè)DC=3k，AD=5k

，∵AD=BC，∴BC=

5k.∵BC＝BD+DC，∴5k.解得：k=2.

∴DC=3k=6.（2）∵

DC=6

AD=10，

∴

AC=8

.∴AB=

AC2

+BC2

=2 41

.2

41AB

41∴△ABC中，sinB

=

AC

=

8

=

441

.436kD150k51k082

41（二）典型題例精講1、直角三角形中的幾何計(jì)算例題2.

如圖，△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在BC上，AD=BC

,BD=4，cos∠ADC=

3

．求：（1）DC的長；（2）sinB的值.5BDCA【點(diǎn)評】在直角三角形中，已知某銳角的三角比，但相關(guān)的兩條線段都不知道，則需要引入比例系數(shù)k，用k來表示相關(guān)的這兩條線段的長.設(shè)DC=3k，AD=5kDC=3，AD=5BCA（二）典型題例精講2、非直角三角形中的幾何計(jì)算3.例題3.

如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=6，cosC

=

1

.2∴CD=

1

BC=3.AC3∵在Rt△ACD

，cosC=

CD

=

1

，cosC

13∴AC＝

CD

=

3

=9

.（1）求邊AC的長；（2）求sin∠BAC的值.解（1）作AD⊥BC，垂足為D

.∵AB=AC，BC=6，D

3BCA（二）典型題例精講2、非直角三角形中的幾何計(jì)算3.例題3.

如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=6，cosC

=

1

.DE在Rt△ABE中，sin∠BAC=﹖BEA9B在Rt△BCE中（1）求邊AC的長；（2）求sin∠BAC的值.解（2）作高BE，解法一：用銳角的三角比求BEBC=6+3cosC

=

199BCA（二）典型題例精講2、非直角三角形中的幾何計(jì)算3.例題3.

如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=6，cosC

=

1

.DE解（2）作高BE，3cosC＝

1BC·

BC=2.在Rt△ABE中，sin∠BAC=9ABBE

=

4

2

.∴BE=

BC2

-CE2

=

62

-22

=4 2

.在△ABC中，AB=AC

，∴AB=9

.在Rt△BCE中，∵cosC

=

CE

，∴CE=

BC

?（1）求邊AC的長；（2）在求Rsti△n∠BBCAEC中的，值.3∵cosC

=

1,∴

sinC

=

232

.解法一：用銳角的三角∴比B求E=BBEC

?sinC=6·

232=4

2BCA22（二）典型題例精講2、非直角三角形中的幾何計(jì)算3.（1）求邊AC的長；（2）求sin∠BAC的值.例題3.

如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=6，cosC

=

1

.在Rt△ABE中，sin∠BAC=BEA9B﹖在Rt△ADC中解（2）作高BE，解法二：用面積法求BEcos∠C

=

cos∠ABCSDABC勾股定理1·A9C·BE＝

1·B6C

·﹖AD99ED63BCA（二）典型題例精講2、非直角三角形中的幾何計(jì)算3.例題3.

如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=6，cosC

=

1

.DE在Rt△ABE中，sin∠BAC=9ABBE

=

4

2

.（1）求邊AC的長；（2）求sin∠BAC的值.解（2）作高BE，解法二：用面積法求BE在Rt△ADC中，由勾股定理求得：AD=

6

2

.在△ABC中，∵

S

=1·BC·AD

=1·AC·BE

，DABC

2

2∴BE=

BC

·AD

=

6·6 2

=4

2

.AC

9BCA（二）典型題例精講2、非直角三角形中的幾何計(jì)算3.例題3.

如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=6，cosC

=

1

.DE求邊AC的長；（2）求sin∠BAC的值.【點(diǎn)評】如果要求某銳角的三角比，而這個銳角是一個非直角三角形的內(nèi)角，那么我們有兩種方法可以處理。1、通過相等角的代換將該角轉(zhuǎn)移到直角三角形中去解決，2、可通過作垂線構(gòu)造含這個銳角的直角三角形.在等腰三角形中，要注意利用等腰三角形的性質(zhì)來構(gòu)造直角三角形.BCA（二）典型題例精講2、非直角三角形中的幾何計(jì)算例題4.

如圖，在△ABC中，—

B

=60,

—

C

=45,AB

=12.12D求邊AC的長.解作AD⊥BC垂足為點(diǎn)D，在Rt△ABD中，2AD

=

AB

sin60

=12·

3

=6

3.在Rt△ACD中，22sinCAC

=

AD

=

6 3

=6

6.通過作高可將非直角三角形的幾何計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題。在作高時(shí)注意盡量不分割特殊角.60

456

3CA（二）典型題例精講AB

=12.12D解作AD⊥BC垂足為點(diǎn)D，在Rt△ABD中，2AD

=

AB

sin60

=12·

3

=6

3.在Rt△ACD中，sinC

35AC

=

AD

=

6

3

=10

3.2、非直角三角形中的幾何計(jì)算例變題式41.

如圖，在△ABC中，—

B

=60,

—

C

=45,4求邊AC的長.

tanC

=

345∵

tanC

=

3

，∴

sinC

=

3

.當(dāng)題目條件給出某銳角的三角比，在添高時(shí)，仍需注意不要分割它.60B6

3（二）典型題例精講求邊AC的長.AB

=12.BAD2、非直角三角形中的幾何計(jì)算例變題式42.

如圖，在△ABC中，—

B

=60,

—

C

=45,756075C15126

3（二）典型題例精講AB

=12.12E3在Rt△BCE中，BE

=CE

?cot60

=3

x.∵

BE+A.

E=AB,3\

x

+

3

x

=12,sin45CE

=(18-6 3)·

2

=18

2

-6

6.解得：x

=18-6

3.在Rt△ACE中，AC

=2、非直角三角形中的幾何計(jì)算例變題式42.

如圖，在△ABC中，—

B

=60,

—

C

=75,求邊AC的長.360B75CAx

45解

—

A=180

-—

C

-—

B

=45.作CE⊥AB

,垂足為點(diǎn)E,設(shè)CE=x.在Rt△ACE中，AE

=CE

?cot45

=x

.3

x18-6x

3（二）典型題例精講2、非直角三角形中的幾何計(jì)算AB

=12.—

C

=45,4—

C

=75,

AB

=12.tanC

=

3

，

AB

=12.例題4.如圖，在△ABC中，—B

=60,變例式題14.如圖，在△ABC中，—B

=60,例變題式42.如圖，在△ABC中，—B

=60

,求邊AC的長.【點(diǎn)評】把非直角三角形中的幾何計(jì)算問題化歸為解直角三角形的問題時(shí)，常常要構(gòu)造直角三角形，怎樣構(gòu)造直角三角形才是合理的，必須根據(jù)問題作具體分析.當(dāng)然，當(dāng)題目條件中含有特殊角或某銳角的三角比，我們一般情況下都不分割這些角.當(dāng)在圖中構(gòu)造的直角三角形中直接求解缺少條件時(shí)，我們不妨考慮設(shè)其中某條邊為x，利用已知條件建立方程來求解.DEBCA（二）典型題例精講.3、復(fù)合圖形中的幾何計(jì)算例題5.已知：如圖，四邊形ABCD中，—A=—ABC

=75，—D

=150，AB=12，BE⊥AD于點(diǎn)E，且E為邊AD的中點(diǎn)，（1）求CD的長，（2）求四邊形ABCD的面積.解（1）聯(lián)結(jié)BD，∵BE⊥AD于E，且E為AD中點(diǎn)，∴BD

=

AB＝12.1212DEBA（二）典型題例精講.3、復(fù)合圖形中的幾何計(jì)算例題5.已知：如圖，四邊形ABCD中，—A=—ABC

=75，—D

=150，AB=12，BE⊥AD于點(diǎn)E，且E為邊AD的中點(diǎn)，（1）求CD的長，（2）求四邊形ABCD的面積.解（1）聯(lián)結(jié)BD，∵BE⊥AD于E，且E為AD中點(diǎn)，∴BD

=

AB＝12.12127575754530C60BCDC（二）典型題例精講3、復(fù)合圖形中的幾何計(jì)算例題5.已知：如圖，四邊形ABCD中，—A=—ABC

=75，—D

=150，AB=12，BE⊥AD于點(diǎn)E，且E為邊AD的中點(diǎn)，1275BF30（1）求CD的長，（2）求四邊形ABCD的面積.分別延長AD和BC相交于點(diǎn)F，30DE75ADECA（二）典型題例精講3、復(fù)合圖形中的幾何計(jì)算例題5.已知：如圖，四邊形ABCD中，—A=—ABC

=75，—D

=150，AB=12，BE⊥AD于點(diǎn)E，且E為邊AD的中點(diǎn)，127575BF30（1）求CD的長，（2）求四邊形ABCD的面積.提示：分別延長AD和BC相交于點(diǎn)F，30求出AE、EBRt△ABE由AB=12—

EAB

=75Rt△BEF

.由BE—

F

=30求出EF由AE=DE△CDF求出DF—

F

=30—

FDC=30求出CDDEA1·BC·DF2CF+BF（二）典型題例精講.3、復(fù)合圖形中的幾何計(jì)算例題5.已知：如圖，四邊形ABCD中，—A=—ABC

=75，—D

=150，AB=12，BE⊥AD于點(diǎn)E，且E為邊AD的中點(diǎn)，（1）求CD的長，（2）求四邊形ABCD的面積.解（2）1212FSABCD

=

S△BCDS△ABD+C603045BH21·ABD·DBHE1·BC·DFDEA21·AB·DH2CF+BF（二）典型題例精講.3、復(fù)合圖形中的幾何計(jì)算例題5.已知：如圖，四邊形ABCD中，—A=—ABC

=75，—D

=150，AB=1