血管的三維重建

血管的三維重建第1頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月目錄問(wèn)題的提出血管三維重建的背景問(wèn)題分析模型的假設(shè)模型的建立及求解模型的檢驗(yàn)第2頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月問(wèn)題的提出斷面可用于了解生物組織、器官等的形態(tài)。例如，將樣本染色后切成厚約1mm的切片，在顯微鏡下觀察該橫斷面的組織形態(tài)結(jié)構(gòu)。如果用切片機(jī)連續(xù)不斷地將樣本切成數(shù)十、成百的平行切片，可依次逐片觀察。根據(jù)拍照并采樣得到的平行切片數(shù)字圖象，運(yùn)用計(jì)算機(jī)可重建組織、器官等準(zhǔn)確的三維形態(tài)。假設(shè)某些血管可視為一類(lèi)特殊的管道，該管道的表面是由球心沿著某一曲線(xiàn)（稱(chēng)為中軸線(xiàn)）的球滾動(dòng)包絡(luò)而成。例如圓柱就是這樣一種管道，其中軸線(xiàn)為直線(xiàn)，由半徑固定的球滾動(dòng)包絡(luò)形成。

第3頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月問(wèn)題的提出現(xiàn)有某管道的相繼100張平行切片圖象，記錄了管道與切片的交。圖象文件名依次為0.bmp、1.bmp、…、99.bmp，格式均為BMP，寬、高均為512個(gè)象素（pixel）。為簡(jiǎn)化起見(jiàn)，假設(shè)：管道中軸線(xiàn)與每張切片有且只有一個(gè)交點(diǎn)；球半徑固定；切片間距以及圖象象素的尺寸均為1。取坐標(biāo)系的Z軸垂直于切片，第1張切片為平面Z=0，第100張切片為平面Z=99。Z=z切片圖象中象素的坐標(biāo)依它們?cè)谖募谐霈F(xiàn)的前后次序?yàn)椋海?256，-256，z）（-256，-255，z）…（-256，255，z），（-255，-256，z）（-255，-255，z）…（-255，255，z），

……

（255，-256，z）（255，-255，z）…（255，255，z）。試計(jì)算管道的中軸線(xiàn)與半徑，給出具體的算法，并繪制中軸線(xiàn)在XY、YZ、ZX平面的投影圖。

第4頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月問(wèn)題的提出Z=1Z=0Z=99Z=98Z=49Z=50第5頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月血管三維重建的背景這問(wèn)題的來(lái)源于序列圖象的計(jì)算機(jī)三維重建。序列圖象的計(jì)算機(jī)三維重建是應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)在醫(yī)學(xué)與生物學(xué)領(lǐng)域的重要應(yīng)用之一；是醫(yī)學(xué)和生物學(xué)的重要研究方法，它幫助人們由表及里、由淺人深地認(rèn)識(shí)生物體的內(nèi)部性質(zhì)與變化，理解其空間結(jié)構(gòu)和形態(tài)。血管是血液流通的通路，其在生命活動(dòng)中的重要性是眾所周知，診斷師在臨床中經(jīng)常需要了解血管的分布、走向等重要信息。理想的血管可以看成是粗細(xì)均勻的管道，如何建立其數(shù)學(xué)模型是圖象三維重建的重要一環(huán)。第6頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月血管三維重建的背景第7頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月問(wèn)題分析我們將說(shuō)有100張切片按其在空間的位置疊加起來(lái)，已經(jīng)可以看到大體的血管的三維結(jié)構(gòu)。第8頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月問(wèn)題分析將100張圖片疊加在XOY平面，形成血管在XOY平面上的投影，可以看出血管是由一系列圓移動(dòng)形成的。第9頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月問(wèn)題分析對(duì)于每一個(gè)切片，仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)：切片也是由一系列半徑不同的圓移動(dòng)形成的。第10頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月問(wèn)題分析現(xiàn)在我們可以知道：血管可以看成無(wú)窮多個(gè)等徑并且圓心相距無(wú)窮小的球包絡(luò)面組成。因此，切片上的二維圖形就應(yīng)該是由無(wú)窮多個(gè)球被截的圓疊加而成。這些圓都是被截球的大圓或者小圓，其半徑有一極大值R，R同時(shí)也是球的半徑。這樣一個(gè)半徑R的圓是球心在切片平面內(nèi)的球被截而成的，其圓心為中軸線(xiàn)與切片平面的交點(diǎn)。假設(shè)，中軸線(xiàn)與每張切片有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以每一張切片圖上包含且只包含一個(gè)半徑為R的圓。我們只要找到這個(gè)圓，就可以定出中軸線(xiàn)與切片平面交點(diǎn)的坐標(biāo)，用這些交點(diǎn)坐標(biāo)我們可以建立起中軸線(xiàn)的空間形態(tài)。第11頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月問(wèn)題分析由以上分析，做出如下的判斷：每個(gè)切片中包含一系列滾球在平面上切出的圓，其中最大的圓為滾球半徑，圓心位于血管的中軸線(xiàn)上。血管中軸線(xiàn)在XOY上的投影為所有切片在XOY平面上疊加形成的陰影的中心線(xiàn)。在求得所有切片的最大圓圓心后，擬和這些點(diǎn)形成的曲線(xiàn)就是中軸線(xiàn)。重建后血管形狀應(yīng)和前面100張切片直接形成的形狀一致（用于進(jìn)行模型的檢驗(yàn)）。第12頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的假設(shè)血管粗細(xì)均勻，其表面由球心沿某一曲線(xiàn)〔稱(chēng)為中軸線(xiàn))且半徑固定的球滾動(dòng)包絡(luò)而成。假設(shè)管道中軸線(xiàn)與每張切片有且只有一個(gè)交點(diǎn)，球半徑固定，切片間距以及圖像象素尺寸均為1。切點(diǎn)間距尺寸為1，則假設(shè)相繼切片間連續(xù)，即相繼的切片與中軸線(xiàn)的交點(diǎn)是連續(xù)的。第13頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的假設(shè)(更深一層次）血管粗細(xì)均勻的充要條件是各法截面圓之間不相交，這樣可保證各法截面圓周上的點(diǎn)全落在包絡(luò)面上(直觀地說(shuō)，粗細(xì)均勻就是過(guò)中軸上的任意點(diǎn)P處用垂直于在P點(diǎn)切線(xiàn)方向的刀片切血管得到的截面是以P為圓心以固定的常數(shù)r為半徑的圓，稱(chēng)此為過(guò)P點(diǎn)的法截面圓)。為此要求滿(mǎn)足下列條件：中軸線(xiàn)上每一點(diǎn)處的曲率半徑大于r中軸線(xiàn)最窄處的寬度d大于2r中軸線(xiàn)兩端點(diǎn)處的法截面圓不相交。中軸線(xiàn)上最窄處的寬度d可以這樣決定：當(dāng)上兩點(diǎn)p，q的連線(xiàn)垂直于在這兩點(diǎn)處的切線(xiàn)時(shí)，或僅垂直在其中一點(diǎn)處的切線(xiàn)而另一點(diǎn)為的端點(diǎn)時(shí)，稱(chēng)p，q為相關(guān)點(diǎn)對(duì)。上可以沒(méi)有相關(guān)點(diǎn)對(duì)，也可以不止一對(duì)相關(guān)點(diǎn)對(duì)。如果上無(wú)相關(guān)點(diǎn)對(duì)，則認(rèn)為d為無(wú)窮大，否則取d為相關(guān)點(diǎn)對(duì)中的兩點(diǎn)間距離的最小值。第14頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解通過(guò)以上分析，整個(gè)模型的建立分為兩個(gè)部分：滾球半徑的確定和中軸線(xiàn)的確定。確定滾球半徑的方法有很多：最笨也是最容易想到的方法就是枚舉的方法——

求每張切片的圖象內(nèi)的最大內(nèi)切圓的圓心時(shí)，以位于圖象內(nèi)每一個(gè)象素為圓心作圓．遍歷所有象素點(diǎn)后再作確定。此種方法，思想簡(jiǎn)單，程序簡(jiǎn)單，但計(jì)算量大。1）平均法求出每張橫斷面團(tuán)象內(nèi)的最大內(nèi)切圓半徑，再取r為它們的算術(shù)平均值。2)抽樣法由于已知滾動(dòng)球半徑是常數(shù)，取前幾片切片圖象內(nèi)的最大內(nèi)切圓半徑的平均值為r的值。3)極大似然法在求得每一片切片圖象內(nèi)的最大內(nèi)切圓半徑后，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，以出現(xiàn)頻率最大的值為r的值。第15頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解為了減小搜索的區(qū)域，找到切片中血管所在的最小區(qū)域，然后在此區(qū)域里逐個(gè)象素的搜索。第16頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解%先尋找最小區(qū)域[MN]=size(Im);xmin=1;xmax=N;forj=1:Nfori=1:Mif(Im(i,j)>0)xmax=j;break;endendendforj=N:-1:1fori=1:Mif(Im(i,j)>0)xmin=j;break;endendendymin=1;ymax=M;fori=1:Mforj=1:Nif(Im(i,j)>0)ymax=i;break;endendendfori=M:-1:1forj=1:Nif(Im(i,j)>0)ymin=i;break;endendend第17頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解%在最小區(qū)域里搜索最大半徑rmin=1;rmax=min([(xmax-xmin)/2(ymax-ymin)/2]);flag=1;while(flag>0)R=(rmin+rmax)/2;[isR,Ox,Oy]=isneiqieyuan(Im,xmin,ymin,xmax,ymax,R);if(isR==1)rmin=R;OX=Ox;OY=Oy;elsermax=R;endD=abs(rmax-rmin);if(D<0.1)flag=0;R=rmin;endend第18頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解第19頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解確定中軸線(xiàn)的一些方法：平行切線(xiàn)法切片的圖象邊界上的兩點(diǎn)的連線(xiàn)如果同時(shí)垂直邊界在這兩點(diǎn)處的切線(xiàn)，則這兩點(diǎn)連線(xiàn)有可能是最大內(nèi)切圓的直徑。發(fā)現(xiàn)所有具有這樣性質(zhì)的點(diǎn)對(duì)，并檢驗(yàn)之，以確定最大內(nèi)切圓的圓心。外推法利用中軸線(xiàn)的連續(xù)性，采用插值外推方法，根據(jù)前幾片已求得的最大內(nèi)切圓心位置，推斷出新的一片圖象包含最大內(nèi)切圓心的估計(jì)位置，然后經(jīng)過(guò)幾次迭代求得較正確的圓心位置。滾球法讓球在血管內(nèi)滾動(dòng)，保證球與血管相內(nèi)切，逐個(gè)橫斷面地定出球心的位置。第20頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解投影法將各切片的圖象疊加在XY平面上，形成血管在XY平面上的投影，其中心線(xiàn)是血管中軸線(xiàn)在XY平面上的投影。類(lèi)似地將血管向XZ平面(或YZ平面)投影，也可以求得中軸線(xiàn)在XZ平面(或YZ平面)的投影。這樣做的參賽者為數(shù)不少。第21頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解變換法切片圖象包含的最大內(nèi)切圓位置可以理解為圖象與固定半徑為r的圓的交的面積達(dá)到最大值時(shí)圖的位置，這可以通過(guò)幾何方法實(shí)現(xiàn)，也可以將其理解為圖象的與半徑r的圓的卷積達(dá)到最大值時(shí)的情況，可以運(yùn)用傅里葉變換及其逆變換計(jì)算卷積，特別可以運(yùn)用快速傅里葉變換的方法。第22頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解值得提到的是：由于數(shù)據(jù)圖形（即切片圖形）為寬、高均為512個(gè)象素的圖像，所以數(shù)據(jù)精度最高為一個(gè)象素。上述的算法得到的結(jié)果卻為浮點(diǎn)形的數(shù)值，本身存在模型誤差，同時(shí)有浪費(fèi)計(jì)算時(shí)間。應(yīng)用離散模型能一定程度的避免模型誤差。針對(duì)圖像的離散性質(zhì)，計(jì)算的時(shí)候也是使用象素精度，同時(shí)做圓的時(shí)候也使用Bresenham算法（詳見(jiàn)《計(jì)算機(jī)圖形學(xué)》）來(lái)做圓，盡可能的消除數(shù)字圖像所具有的鋸齒現(xiàn)象。第23頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解第24頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解得到的中軸線(xiàn)在各平面的投影：第25頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解第26頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解第27頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)（中軸線(xiàn)坐標(biāo)）的擬和：在求得中軸線(xiàn)與各切片的交點(diǎn)的近似位置后．很多參賽者采用多項(xiàng)式的參數(shù)曲線(xiàn)進(jìn)行擬合逼近，也有的采用參數(shù)樣條曲線(xiàn)進(jìn)行擬合，這些方法都是可行的。但要注一點(diǎn)，如果直接擬和三維空間曲線(xiàn)，只能用參數(shù)曲線(xiàn)的形式；要用代數(shù)曲線(xiàn)的形式，只能分別對(duì)空間曲線(xiàn)在兩個(gè)正交坐標(biāo)平面上的投影進(jìn)行擬和，然后將空間曲線(xiàn)表示成兩個(gè)柱面的交。第28頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解F(x,y,z)=0或z=f(x,y)都表示曲面。

才表示空間曲線(xiàn)。我們可以簡(jiǎn)單的用兩個(gè)柱面的交表示空間曲線(xiàn)，即第29頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解第30頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解參數(shù)曲線(xiàn)的形式：例如螺旋線(xiàn)：三次B樣條曲線(xiàn)：式中V1，V2，V3，V4為特征多邊形頂點(diǎn)，亦稱(chēng)控制頂點(diǎn)；t為參數(shù)。第31頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解第32頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解第33頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解重建后的血管三維圖像：第34頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解第35頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的建立及求解簡(jiǎn)易的血管三維圖形繪制效果第36頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的檢驗(yàn)本題是應(yīng)該檢驗(yàn)的，不檢驗(yàn)只能說(shuō)完成問(wèn)題的一半。一方面，無(wú)論以何種方式建模，其過(guò)程都是近似計(jì)算，幾經(jīng)近似，效果如何，檢驗(yàn)很必要；另一方面各血管的切面數(shù)據(jù)已知，按指定的空間位置放置，就能形成一段血管，完全可以作為檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)。不論用何種方法建立模型，對(duì)照給定血管的切片圖像數(shù)據(jù)，通過(guò)檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)模型的誤差，修正模型，可以提高模型的正確性。第37頁(yè)，課件共39頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月模型的檢驗(yàn)檢驗(yàn)的主要方法有：逐片