人教版九年級上冊數(shù)學期中考試試題（含解析）

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一、選擇題。（每小題只有一個正確答案，每小題3分，共30分）

1．下列四個圖形中，即是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

A．B．C．D．

2．下列四個命題：①直徑所對的圓周角是直角；②圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形；③在同圓中，相等的圓周角所對的弦相等；④三點確定一個圓．其中正確命題的個數(shù)為（）

A．1B．2C．3D．4

3．正五邊形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)和與本身重合，最小的旋轉(zhuǎn)角度數(shù)是（）

A．36°B．40°C．72°D．108°

4．某班同學畢業(yè)時都將自己的照片向全班其他同學各送一張表示留念，全班共送1035張照片，如果全班有x名同學，根據(jù)題意，列出方程為（）

A．x（x+1）=1035B．x（x﹣1）=1035×2C．x（x﹣1）=1035D．2x（x+1）=1035

5．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠ABO=50°，則∠ACB的大小為（）

A．30°B．40°C．45°D．50°

6．如圖，是一個中心對稱圖形的一部分，點是對稱中心，點和點是一對對應點，，那么將這個圖形補成一個完整的圖形是（）

A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形

7．已知點，，在函數(shù)的圖象上，則、、的大小關系為（）

A．B．C．D．

8．如圖，拋物線與軸交于點、，與軸交于點，，則下列各式成立的是（）.

A．B．C．D．

9．二次函數(shù)，當且時，的最小值為，最大值為，則的值為（）

A．B．C．D．

10．如圖，⊙O經(jīng)過菱形ABCO的頂點A、B、C，若OP⊥AB交⊙O于點P，則∠PAB的大小為（）

A．15°B．20°C．25°D．30°

二、填空題。（每小題3分，共18分）

11．拋物線的頂點坐標是________．

12．拋物線的部分圖象如圖所示，則當時，的取值范圍是________________．

13．若（m-2）-mx+1=0是一元二次方程，則m的值為______．

14．已知等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，底邊BC＝8cm，圓心O到BC的距離等于3cm，則腰長AB＝________cm

15．如圖，已知直線與軸、軸分別交于兩點，點是以為圓心，2為半徑的圓上一動點，連接，，則的面積最大值是______．

16．如圖所示，已知C為的中點，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，則CD＝_____．

三、解答題

17．（10分）解方程：

（1）（用公式法）（2）

18．（12分）如圖，已知點的坐標分別為，．

（1）畫出關于原點對稱的圖形（點對應點）；

（2）將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到（點對應點）．畫出；

（3）點的坐標是_______，點的坐標是______，此圖中線段和的關系是_______．

19．（10分）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點Q從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點P從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．

（1）如果P、Q兩點同時出發(fā)，那么幾秒后，△PBQ的面積等于4cm2？

（2）△PBQ的面積能否等于7cm2？試說明理由．

20．（10分）如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形豬舍，豬舍的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的建筑材料圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，所圍矩形豬舍的長、寬分別為多少時，豬舍面積為80m2？

21．（10分）參與兩個數(shù)學活動，再回答問題：

活動：觀察下列兩個兩位數(shù)的積兩個乘數(shù)的十位上的數(shù)都是9，個位上的數(shù)的和等于，猜想其中哪個積最大？

，，，，，，，，．

活動：觀察下列兩個三位數(shù)的積兩個乘數(shù)的百位上的數(shù)都是9，十位上的數(shù)與個位上的數(shù)組成的數(shù)的和等于，猜想其中哪個積最大？

，，，，，，．

分別寫出在活動、中你所猜想的是哪個算式的積最大？

對于活動，請用二次函數(shù)的知識證明你的猜想．

22．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△AEF，且0°＜α≤180°，連接BE，CF相交于點D．

(1)求證：BE＝CF；

(2)當α＝90°時，求四邊形AEDC的面積．

23．（10分）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，與交于點，點是延長線上的一點，，且．

（1）求證：是的切線；

（2）若，點等分半圓，求的長．

24．（10分）如圖，是圓的直徑，弦交于點，，.

（1）求的度數(shù)；

（2）若，求扇形的面積.

25．（10分）已知，點，點和拋物線，將拋物線沿著軸方向平移經(jīng)過點，畫出平移后的拋物線如圖所示．

（1）平移后的拋物線是否經(jīng)過點？說明你的理由；

（2）在平移后的拋物線上且位于直線下方的圖像上是否存在點，使？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）在平移后的拋物線上有點，過點作直線的垂線，垂足為，連接，當時，求點的坐標．

參考答案

1．D

【分析】

根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念，結合所給圖形的特點進行判斷即可．

【詳解】

解：第一個：不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；

第二個：是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

第三個：是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；

第四個：是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，符合題意．

故選D．

【點睛】

本題考查了軸對稱及中心對稱的知識，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．

2．C

【分析】

根據(jù)圓周角的性質(zhì)，圓的對稱性，以及圓周角定理即可解出．

【詳解】

①是圓周角定理的推論，故①正確；

②根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念，故②正確；

③根據(jù)圓周角定理的推論知：同圓中，相等的圓周角所對的弧相等，再根據(jù)等弧對等弦，故③正確；

④應是不共線的三個點，故④錯誤，

故選C．

【點睛】

本題考查了圓周角定理及其推論，圓的對稱性，確定圓的條件等，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

3．C

【分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，最小旋轉(zhuǎn)角即為正五邊形的中心角．

【詳解】

解：正五邊形繞著它的中心旋轉(zhuǎn)后與它本身重合，最小的旋轉(zhuǎn)角度數(shù)是．

故選C．

【點睛】

考查圖形的旋轉(zhuǎn)與重合，理解旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義是解決本題的關鍵．

4．C

【分析】

如果全班有x名同學，那么每名同學要送出（x﹣1）張，共有x名學生，那么總共送的張數(shù)應該是x（x﹣1）張，即可列出方程．

【詳解】

∵全班有x名同學，

∴每名同學要送出（x﹣1）張；

又∵是互送照片，

∴總共送的張數(shù)應該是x（x﹣1）=1035．

故選：C．

【點評】

本題考查一元二次方程在實際生活中的應用．計算全班共送多少張，首先確定一個人送出多少張是解題關鍵．

5．B

【詳解】

試題解析：

在中，

故選B.

6．A

【分析】

如圖，根據(jù)中心對稱的性質(zhì)可得AC′=BC，BC′=AC，然后根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，再根據(jù)一個角是直角的平行四邊形是矩形進行解答.

【詳解】

解：如圖，∵O點是對稱中心，△A′B′C′是△ABC關于點O的對稱圖形，

∴AC′=BC，BC′=AC，

∴四邊形ACBC′是平行四邊形，

∵∠C=90°，

∴平行四邊形ACBC′是矩形．

故選A．

【點睛】

本題考查了中心對稱的性質(zhì)，平行四邊形的判定，矩形的判定.

7．B

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象具有對稱性和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，可以判斷y1、y2、y3的大小，從而可以解答本題．

【詳解】

解：∵y=-x2-2x+b，

∴函數(shù)y=-x2-2x+b的對稱軸為直線x=-1，開口向下，當x＜-1時，y隨x的增大而增大，當x＞-1時，y隨x的增大而減小，

∵-1-（-3）=2，-1-（-1）=0，2-（-1）=3，

∴y3＜y1＜y2，

故選B．

【點睛】

本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是明確二次函數(shù)的性質(zhì)，找出所求問題需要的條件．

8．B

【分析】

根據(jù)，有，可設點C、B的坐標為，代入解析式，即可解得答案.

【詳解】

,

OB=OC，

可設點C、B的坐標為(0,c)、(c,0)，

把B(c,0)代入，得

即

故選：B

【點睛】

本題考查了拋物線與x軸有交點，根據(jù)題意得到點C、B的坐標是解題的關鍵.

9．D

【分析】

由題意可得m＜0，n＞0，則y的最小值為2m為負數(shù)，最大值為2n為正數(shù)．最大值為2n分兩種情況：①結合拋物線頂點縱坐標的取值范圍，求出，結合圖象最小值只能由x=m時求出；②結合拋物線頂點縱坐標的取值范圍，圖象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．

【詳解】

解：二次函數(shù)的大致圖象如解圖，

∵，且，

∴，，

①當時，當時，y取最小值，即，

解得(舍去)或；

當時，y取最大值，即，

解得(舍去)或(舍去)；

②當時，當時y取最小值，即，

解得(舍去)或；

當時，y取最大值，即，

解得，

∴．

故選：D．

【點睛】

本題考查了二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)的增減性，根據(jù)函數(shù)的增減性結合函數(shù)圖像確定函數(shù)最大值是解題的關鍵．

10．A

【分析】

連接OB，根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理得到△AOB為等邊三角形，得到∠AOB=60°，根據(jù)垂徑定理、圓周角定理計算．

【詳解】

解：連接OB，

∵四邊形ABCO是菱形，

∴OA＝AB，

∵OA＝OB，

∴△AOB為等邊三角形，

∴∠AOB＝60°，

∵OP⊥AB，

∴∠BOP＝∠AOB＝30°，

由圓周角定理得，∠PAB＝∠BOP＝15°，

故選：A．

【點睛】

本題考查的是菱形的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理，掌握菱形的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理是解題的關鍵．

11．（0，-1）

【詳解】

∵a=2，b=0，c=-1，∴-=0，，

∴拋物線的頂點坐標是(0，-1)，

故答案為（0，-1）.

12．

【分析】

由拋物線圖像可得，對稱軸是x=－1，拋物線與x軸的一個交點為(－3,0)，則拋物線與x軸的另一個交點是(1,0)，根據(jù)二次函數(shù)的圖像寫出當時，x的取值范圍即可．

【詳解】

由題意可得：對稱軸是x=－1，拋物線與x軸的一個交點為(－3,0)，

拋物線與x軸的另一個交點是(1,0)，

當時，．

故答案為：．

【點睛】

本題主要考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)圖像的對稱性求出拋物線與x軸的另一個交點坐標是解題關鍵．

13．﹣2

【解析】

試題分析：一元二次方程是指：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)最高次數(shù)為2次的整式方程．根據(jù)定義可得：，解得：m=-2．

14．或.

【分析】

直接利用等腰三角形的性質(zhì)結合三角形外接圓的性質(zhì)再利用勾股定理得出答案．

【詳解】

解：如圖1所示：連接AO，交BC于點D，連接BO，

∵底邊BC=8cm，圓心O到BC的距離等于3cm，

∴BD=DC=4cm，

∴BO=AO=5cm，

∴AD=2cm，

∴

如圖2所示：連接AO，并延長交BC于點D，連接CO，

∵底邊BC=8cm，圓心O到BC的距離等于3cm，

∴BD=DC=4cm，

∴CO=5cm，

∴AD=8cm

∴

綜上所述：腰長AB為或.

故答案為：或

15．15

【分析】

求出A、B的坐標，根據(jù)勾股定理求出AB，求出點C到AB的距離，即可求出圓C上點到AB的最大距離，根據(jù)面積公式求出即可．

【詳解】

解：∵直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，

∴A點的坐標為（4，0），B點的坐標為（0，-3），3x-4y-12=0，

即OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5

過C作CM⊥AB于M，連接AC，

則由三角形面積公式得：

∴

∴

∴圓C上點到直線的最大距離是：

∴面積的最大值是

故答案為：15．

【點睛】

本題考查了三角形的面積，點到直線的距離公式的應用，解此題的關鍵是求出圓上的點到直線AB的最大距離．

16．2

【分析】

根據(jù)圓心角、弧、弦之間關系求出∠AOC=∠BOC，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出OM的長，根據(jù)勾股定理計算CM的長，根據(jù)垂徑定理得出CD=2CM，代入求出即可．

【詳解】

解：連接OC，

∵C為的中點，

∴＝，

∴∠AOC＝∠BOC，

∵CN⊥OB，CD⊥OA，ON＝a，

∴OM＝ON＝n，

∴CM＝＝，

∵CM⊥OA，

即OM⊥CD，

由垂徑定理得：CD＝2CM＝2，

故答案為：2．

【點睛】

本題考查了圓心角、弧、弦之間關系、垂徑定理，角平分線性質(zhì)等知識點，關鍵是求出CM的長和得出CD=2CM．

17．（1），；（2），．

【分析】

（1）利用公式法即可求解；

（2）先移項，再運用因式分解法即可分解，轉(zhuǎn)化為兩個式子的積是0的形式，從而轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程求解．

【詳解】

解：（1）

這里，

∴

∴

（2）

，

解得，，

【點睛】

本題考查了解一元二次方程的方法，因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用．當化簡后不能用分解因式的方法即可考慮求根公式法，此法適用于任何一元二次方程．

18．（1）見解析；（2）見解析；（3）D（-3，-2）；F（-2，3）；垂直且相等．

【分析】

（1）利用圖形△AOB關于原點O對稱的圖形△COD分別延長BO，AO，再截取DO=BO，CO=AO，即可得出答案；

（2）將A，B繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到對應點E，F(xiàn)，即可得出△EOF；

（3）利用圖象即可得出點的坐標，以及線段BF和DF的關系．

【詳解】

解：（1）如圖所示：

（2）如圖所示：

（3）結合圖象即可得出：D（-3，-2），F(xiàn)（-2，3），線段BF和DF的關系是：垂直且相等．

【點睛】

此題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變換以及圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，難度不大，注意掌握解答此類題目的關鍵步驟．

19．（1）1秒或4秒；（2）不能，理由見解析

【分析】

（1）點Q從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點P從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，表示出BQ和BP的長度，利用三角形的面積公式可列方程求解．

（2）參照（1）的解法列出方程，根據(jù)根的判別式來判斷該方程的根的情況．

【詳解】

解：（1）設t秒后，△PBQ的面積等于4．則

，

整理，得

t2﹣5t＋4＝0，

解得＝1，＝4．

答：如果P、Q兩點同時出發(fā)，那么1秒或4秒后，△PBQ的面積等于4；

（2）△PBQ的面積能不能等于7理由如下：

設x秒后，△PBQ的面積等于4則

，

整理，得

t2﹣5t＋7＝0，

則△＝25﹣28＝﹣3＜0，

所以該方程無解．

∴△PBQ的面積不能等于7．

【點睛】

此題主要考查了一元二次方程的應用，判定所求的解是否符合題意，舍去不符合題意的解，找出等量關系是解題的關鍵；

20．10，8．

【詳解】

試題分析：可以設矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為m，可以得出平行于墻的一邊的長為m，由題意得出方程求出邊長的值．

試題解析：設矩形豬舍垂直于住房墻一邊長為m，可以得出平行于墻的一邊的長為m，由題意得化簡，得，解得：

當時，（舍去），

當時，，

答：所圍矩形豬舍的長為10m、寬為8m．

考點：一元二次方程的應用題．

21．（1）的積最大；（2）見解析.

【分析】

的結果可根據(jù)整數(shù)乘法的運算法則，計算出大小在比較；的結果由的規(guī)律可得結果；

可將中的算式設為的形式2，3，4，5，6，7，8，，利用二次函數(shù)的最值證得結論．

【詳解】

解：，，，，，

的積最大；

由中規(guī)律可得的積最大；

證明：將中的算式設為2，3，4，5，6，7，8，，

=-(x-5)2+9025,

，

當時，有最大值9025，

即的積最大．

【點睛】

本題主要考查了根據(jù)已知歸納規(guī)律和二次函數(shù)的最值問題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，運用二次函數(shù)的最值證明是解答此題的關鍵．

22．（1）證明見解析；（2）2．

【分析】

（1）先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，則根據(jù)“SAS”證明△AEB≌△AFC，于是得到BE＝CF；

（2）先判斷△ABE為等腰直角三角形得到∠ABE＝45°，則AC∥BE，同理可得AE∥CF，于是可證明四邊形AEDC為菱形，AF與BE交于點H，如圖，通過證明△AHE為等腰直角三角形得到AH＝AE＝，然后根據(jù)菱形的面積公式計算．

【詳解】

（1）證明：∵將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)角α得到△AEF，

∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，

∴AB＝AC＝AE＝AF，∠EAF＋∠FAB＝∠BAC＋∠FAB，即∠EAB＝∠FAC.

在△AEB和△AFC中，

∴△AEB≌△AFC(SAS)，

∴BE＝CF．

（2）解：∵α＝90°，

∴∠EAB＝∠FAC＝90°.

∵AE＝AB，

∴△ABE為等腰直角三角形，

∴∠ABE＝45°，

∴∠ABE＝∠BAC，

∴AC∥BE，

同理可得AE∥CF.

∵AE＝AC，

∴四邊形AEDC為菱形．

設AF與BE交于點H.

∵∠EAF＝45°，

∴AH平分∠EAB，

∴AH⊥BE，

∴△AHE為等腰直角三角形，

∴AH＝AE·sin45°AE＝，

∴四邊形AEDC的面積為AH·DE＝×2＝2．

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決（1）題的關鍵是證明△AEB≌△AFC．

23．（1）見解析；（2）．

【分析】

（1）連接OA、AD，利用圓周角定理得到，則可證明，利用CD為直徑得到∠，從而得到∠，∠，則∠，于是可證明∠，然后根據(jù)切線的判定定理得到結論；

（2）作EH⊥AD于H，由點B等分半圓CD得到∠，設DH=x，則，，所以，然后求出x即可得到DE的長．

【詳解】

（1）證明：連接OA、AD

∵，

∴

∵

∴

∴

∵CD是直徑

∴∠

∴∠，∠

∴為等邊三角形

∴∠

而∠

∴∠

∴OA⊥PA

∴PA是的切線；

（2）解：作EH⊥AD于H

∵點B等分半圓CD

∴∠

∴∠

設DH=x

在中，