人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試試卷（含解析）-1

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一、選擇題。（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，共30分）

1．下列所給的圖案中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是()

A．B．C．D．

2．拋物線y＝x2+2的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（0，2）

3．要得到函數(shù)y＝x2的圖象只要把函數(shù)y＝(x﹣3)2的圖象（）

A．向左平移3個(gè)單位B．向右平移3個(gè)單位

C．向上平移3個(gè)單位D．向下平移3個(gè)單位

4．如圖，將半徑為2的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕的長(zhǎng)度為（）

A．B．2C．D．

5．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠A＝30°，BC＝，把△ABC繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△BED，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)C、D之間的距離為（）

A．1B．C．D．2

6．如圖，⊙O的半徑OD垂直于弦AB，垂足為點(diǎn)C，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，CE．若AB=8，CD=2，則△BCE的面積為（）

A．12B．15C．16D．18

7．以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以2個(gè)單位為半徑畫⊙O，下面的點(diǎn)中，在⊙O上的是()

A．(1，1)B．(，)C．(1，3)D．(1，)

8．隨著科技水平的提高，某種電子產(chǎn)品的價(jià)格呈下降趨勢(shì)，今年年底的價(jià)格是兩年前的．設(shè)這種電子產(chǎn)品的價(jià)格在這兩年中平均每年下降x，則根據(jù)題意可列出方程（）

A．1﹣2x＝B．2（1﹣x）＝C．（1﹣x）2＝D．x（1﹣x）＝

9．已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+3，當(dāng)t＜x＜4時(shí)，y隨x的增大而減小，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）

A．t＜0B．0≤t＜1C．1≤t＜4D．t≥4

10．已知二次函數(shù)y＝（x﹣m）2+2m（m為常數(shù)），在自變量x的值滿足1x3的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為4，則m的值為（）

A．2B．2或C．2或﹣D．2或或﹣

二、填空題。（每小題3分，共30分）

11．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（﹣3，4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是_______．

12．已知圓錐的底面半徑為3，側(cè)面積為15π，則這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為_______.

13．從圓、平行四邊形、菱形、正五邊形隨機(jī)抽取一個(gè)圖形，抽到既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的概率是_____．

14．若一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角為60°，則它的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比是____.

15．已知二次函數(shù)y＝3x2+2023，當(dāng)x分別取x1，x2（x1≠x2）時(shí)，函數(shù)值相等，則當(dāng)x取3x1+3x2時(shí)，函數(shù)值為_____．

16．如圖，半徑為5的⊙O與y軸相交于A點(diǎn)，B為⊙O在x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），C為y軸上一點(diǎn)且∠OCB＝60°，I為△BCO的內(nèi)心，則△AIO的外接圓的半徑的取值（或取值范圍）為_____．

三、解答題

17．（10分）計(jì)算題：（1）計(jì)算

（2）解方程：2x2﹣4x﹣30＝0

18．（10分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，

（1）求k的取值范圍；

（2）若k為小于1的整數(shù)，求該方程的解．

19．（10分）如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求完成下列各題：

（1）△ABC繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A1BC1．請(qǐng)畫出△A1BC1．

（2）求線段BC旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積．

20．（10分）墊球是中考體育中的重要項(xiàng)目之一．體育課上，甲、乙、丙互相之間進(jìn)行墊球練習(xí)每個(gè)人的球都有可能傳給其他兩人，球最先從甲手中傳出，共進(jìn)行兩次傳球．

（1）請(qǐng)用樹狀圖列出兩次傳球的所有等可能情況．

（2）求兩次傳球后，球回到甲手中的概率．

21．（10分）某商場(chǎng)將每件進(jìn)價(jià)為80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件．經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)這種商品的銷售單價(jià)每降低1元，其日銷量可增加8件．設(shè)該商品每件降價(jià)x元，商場(chǎng)一天可通過A商品獲利潤(rùn)y元．

（1）求y與x之間的函數(shù)解析式（不必寫出自變量x的取值范圍）

（2）A商品銷售單價(jià)為多少時(shí)，該商場(chǎng)每天通過A商品所獲的利潤(rùn)最大？

22．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC．求作⊙O，使得點(diǎn)O在邊AB上，且⊙O經(jīng)過B、D兩點(diǎn)；并證明AC與⊙O相切．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

23．（10分）如圖，△ABC為等邊三角形，O為BC的中點(diǎn)，作⊙O與AC相切于點(diǎn)D．

（1）求證：AB與⊙O相切；

（2）延長(zhǎng)AC到E，使得CE＝AC，連接BE交⊙O與點(diǎn)F、M，若AB＝4，求FM的長(zhǎng)．

24．（12分）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C、D是⊙O上的點(diǎn)，且OD∥BC，AC分別與BD、OD相交于點(diǎn)E、F．

（1）求證：點(diǎn)D為的中點(diǎn)；

（2）若CB＝6，AB＝10，求DF的長(zhǎng)；

（3）若⊙O的半徑為5，∠DOA＝80°，點(diǎn)P是線段AB上任意一點(diǎn)，試求出PC+PD的最小值．

25．（12分）如圖，拋物線y＝mx2+nx﹣3（m≠0）與x軸交于A(﹣3，0)，B(1，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝﹣x與該拋物線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)C坐標(biāo)及拋物線的解析式．

（2）P是直線EF下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PH⊥EF于點(diǎn)H，求PH的最大值．

（3）以點(diǎn)C為圓心，1為半徑作圓，⊙C上是否存在點(diǎn)D，使得△BCD是以CD為直角邊的直角三角形？若存在，直接寫出D點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

參考答案

1．D

【分析】

根據(jù)中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可．

【詳解】

A.不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B.不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D.既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形.熟知中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念是解答此題的關(guān)鍵．

2．D

【解析】

根據(jù)y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值即可．

【詳解】

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝x2+2＝2，

∴拋物線y＝x2+2的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2）．

故選：D．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式，即已知橫坐標(biāo)可求對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)．本題的關(guān)鍵是確定y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．

3．A

【分析】

只需看頂點(diǎn)坐標(biāo)是如何平移得到的即可．

【詳解】

∵函數(shù)y＝(x﹣3)2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，函數(shù)y＝x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，0)，

∴是向左平移3個(gè)單位得到．

故選：A．

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的平移，找到頂點(diǎn)坐標(biāo)的平移方式是關(guān)鍵．

4．C

【分析】

過O作OC⊥AB，交圓O于點(diǎn)D，連接OA，由垂徑定理得到C為AB的中點(diǎn)，再由折疊得到CD=OC，求出OC的長(zhǎng)，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，即可確定出AB的長(zhǎng)．

【詳解】

過O作OC⊥AB，交圓O于點(diǎn)D，連接OA，

由折疊得到CD=OC=OD=1cm，

在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理得：AC2+OC2=OA2，

即AC2+1=4，

解得：AC=cm，

則AB=2AC=2cm．

故選C．

【點(diǎn)睛】

此題考查了垂徑定理，勾股定理，以及翻折的性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．

5．D

【分析】

連接OC、OB、OD，根據(jù)圓周角定理求出∠BOC＝60°，得到△OCB是等邊三角形，求出OC＝OB＝BC＝，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠COD＝90°，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．

【詳解】

解：連接OC、OB、OD，

由圓周角定理得，∠BOC＝2∠A＝60°，

∵OC=OB

∴△OCB是等邊三角形，

∴OC＝OB＝BC＝，

∴OD=OC=

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠COD＝90°，

∴CD＝＝2，

故選：D．

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理，判定△OCB是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．

6．A

【詳解】

∵⊙O的半徑OD垂直于弦AB，垂足為點(diǎn)C，AB=8，

∴AC=BC=AB=4．

設(shè)OA=r，則OC=r﹣2，

在Rt△AOC中，

∵AC2+OC2=OA2，即42+（r﹣2）2=r2，解得r=5，

∴AE=10，

∴BE=，

∴△BCE的面積=BCBE=×4×6=12．

故選A．

7．B

【分析】

根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離和半徑的數(shù)量關(guān)系即可判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

【詳解】

A選項(xiàng),(1,1)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2,因此點(diǎn)在圓外

D選項(xiàng)(1，)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為<2,因此點(diǎn)在圓內(nèi),

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

8．C

【分析】

設(shè)這種電子產(chǎn)品的價(jià)格在這兩年中平均每年下降x，根據(jù)今年年底的價(jià)格是兩年前的，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．

【詳解】

解：設(shè)這種電子產(chǎn)品的價(jià)格在這兩年中平均每年下降x，

依題意，得：

故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握增長(zhǎng)率問題的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

9．C

【分析】

先利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，則當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，由于t＜x＜4，y的值隨x值的增大而減小，于是得到1≤t＜4．

【詳解】

拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，

因?yàn)閍＝﹣1＜0，

所以拋物線開口向下，

所以當(dāng)x＞1時(shí)，y的值隨x值的增大而減小，

而t＜x＜4，y隨x的增大而減小，

所以1≤t＜4

故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的增減性，熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

10．C

【分析】

分三種情況討論，利用二次函數(shù)的增減性結(jié)合圖象確定出函數(shù)值y取最小值4時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值，代入解析式即可解決問題．

【詳解】

解：二次函數(shù)y＝（x﹣m）2+2m（m為常數(shù)）的對(duì)稱軸為x＝m，

∵當(dāng)x＞m時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＜m時(shí)，y隨x的增大而減小，

∴①若m＜1≤x≤3，x＝1時(shí)，函數(shù)值y的最小值為4，

可得：4＝（1﹣m）2+2m，

解得：（舍去）；；

②若1≤m≤3，x＝m時(shí)，函數(shù)值y有最小值為4，可得4＝2m，解得m＝2；

③若1≤x≤3＜m，x＝3時(shí)，函數(shù)值y的最小值為4，

可得：4＝（3﹣m）2+2m，此方程無解；

∴m的值為2或﹣．

故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的最值確定問題，分類討論及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．

11．(3，－4)

【解析】

∵關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均為相反數(shù)，

∴點(diǎn)A（﹣3，4）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，-4）.

12．5

【分析】

這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和扇形面積公式得到2π3l=15π，然后解方程即可．

【詳解】

解：這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，

根據(jù)題意得2π3l=15π，解得l=5．

故答案為5．

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．

13．

【分析】

從這4個(gè)圖形中找到既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)，再利用概率公式計(jì)算可得．

【詳解】

在圓、平行四邊形、菱形、正五邊形這4個(gè)圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是圓、菱形這2個(gè)圖形，

所以抽到既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的概率是＝，

故答案為：．

【點(diǎn)睛】

本題考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的判斷，以及概率的計(jì)算，熟練掌握軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義和概率公式是解題的關(guān)鍵．

14．：2．

【詳解】

試題解析：∵一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角為60°，

∴360°÷60°=6，

∴這個(gè)正多邊形是正六邊形，

設(shè)這個(gè)正六邊形的半徑是r，

則外接圓的半徑r，

∴內(nèi)切圓的半徑是正六邊形的邊心距，即是r，

∴它的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑之比是：

故答案為：2．

15．2023

【分析】

由x分別取x1，x2（x1≠x2）時(shí)函數(shù)值相等且對(duì)稱軸為直線x＝0知x＝＝0，即x1+x2＝0，據(jù)此求解可得．

【詳解】

∵x分別取x1，x2（x1≠x2）時(shí)，函數(shù)值相等，

∴x＝＝0，

則x1+x2＝0，

當(dāng)x＝3x1+3x2＝3（x1+x2）＝0時(shí)，y＝2023，

故答案為：2023．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)稱軸判斷出x1+x2＝0．

16．

【分析】

首先證明∠AIO＝120°＝定值，OA＝5＝定值，推出點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是，推出△AOI的外接圓的半徑是定值，由此即可解決問題．

【詳解】

如圖，

∵∠BCO＝60°，

∴∠CBO+∠COB＝120°，

∵I是內(nèi)心，

∴∠IOB＝∠COB，∠IBO＝∠CBO，

∴∠IOB+∠IBO＝(∠COB+CBO)＝60°，

∴∠OIB＝180°﹣∠IOB﹣∠IBO＝120°，

∵OA＝OB，∠AOI＝∠BOI，OI＝OI，

∴△AIO≌△BOI（SAS），

∴∠AIO＝∠BIO＝120°，

作△AOI的外接圓⊙G，連接AG，OG，作GD⊥OA于D．

∵∠AIO＝120°＝定值，OA＝5＝定值，

∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是，

∴△AOI的外接圓的半徑是定值，

∵GA＝GO，GD⊥OA，∠AGO＝120°，

∴∠AGD＝∠AGO＝120°，AD＝OD＝，

∴AG＝＝＝．

故答案為．

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的內(nèi)心與外接圓，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應(yīng)用，判斷點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．

17．（1）；（2），

【分析】

（1）根據(jù)零指數(shù)冪的意義以及絕對(duì)值的性質(zhì)即可求出答案．

（2）根據(jù)因式分解法即可求出答案．

【詳解】

解：（1）原式＝﹣1+1＝．

（2）∵2x2﹣4x﹣30＝0，

∴x2﹣2x﹣15＝0，

∴(x+3)(x﹣5)＝0，

∴，

【點(diǎn)睛】

本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，解一元二次方程，熟練掌握預(yù)算法則與因式分解法是解題的關(guān)鍵．

18．（1）k＞﹣；（2）x1＝0，x2＝﹣1

【分析】

（1）由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根知△＞0，列不等式求解可得；

（2）由（1）和k為小于1的整數(shù)，可得k＝0，將k＝0代入方程得到x2+x＝0，解方程即可求解．

【詳解】

解：（1）∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴△＝(2k+1)2﹣4k2＝4k+1＞0，

解得：k＞﹣；

（2）∵k＞﹣且k為小于1的整數(shù)，

∴k＝0，將k＝0代入方程得到x2+x＝0，

解得x1＝0，x2＝﹣1．

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程根的判別式與解法，熟練掌握判別式與根的情況之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

19．（1）見解析；（2）8π

【分析】

（1）利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1、C1，從而得到△A1BC1．

（2）先計(jì)算出BC的長(zhǎng)度，然后利用扇形的面積公式計(jì)算．

【詳解】

解：（1）如圖，△A1BC1為所作；

（2）BC＝＝4，

線段BC旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積＝＝8π．

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)作圖和扇形面積計(jì)算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)特征和扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．

20．（1）共有4個(gè)等可能的情況，見解析；（2）

【分析】

（1）畫出樹狀圖即可；

（2）由概率公式即可得出答案

【詳解】

解：（1）樹狀圖如圖所示：

共有4個(gè)等可能的情況；

（2）兩次傳球后，球回到甲手中的概率為＝．

【點(diǎn)睛】

本題考查了樹狀圖法求概率，熟練掌握樹狀圖的畫法是解題的關(guān)鍵．

21．（1）；（2）A商品銷售單價(jià)為98元時(shí)，該商場(chǎng)每天通過A商品所獲的利潤(rùn)最大．

【分析】

（1）先表示出降價(jià)x元時(shí)的單價(jià)和銷量，然后根據(jù)總利潤(rùn)等于每件的利潤(rùn)乘以銷量即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)關(guān)系式，然后化為頂點(diǎn)式即可解答本題．

【詳解】

（1）由題意得，商品每件降價(jià)元時(shí)單價(jià)為元，銷售量為件，

則，

即與之間的函數(shù)解析式是；

（2），

當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，

銷售單價(jià)為：（元，

答：商品銷售單價(jià)為98元時(shí)，該商場(chǎng)每天通過商品所獲的利潤(rùn)最大．

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．

22．見解析

【分析】

作BD的垂直平分線交AB于O，再以O(shè)點(diǎn)為圓心，OB為半徑作圓即可；接著證明OD∥BC得到∠ODC＝90°，然后根據(jù)切線的判定定理可判斷AC為⊙O的切線．

【詳解】

解：如圖，⊙O為所作．

證明：連接OD，如圖，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝∠ABD，

∵OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，

∴∠CBD＝∠ODB，

∴OD∥BC，

∴∠ODA＝∠ACB，

又∠ACB＝90°，

∴∠ODA＝90°，

即OD⊥AC，

∵點(diǎn)D是半徑OD的外端點(diǎn)，

∴AC與⊙O相切．

【點(diǎn)睛】

本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了切線的判定．

23．（1）見解析；（2）2

【分析】

（1）連接OD，作OG⊥AB于G，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠OCD＝∠OBG＝∠ABC＝60°，由切線的性質(zhì)得出∠ODC＝90°＝∠OGB，證明△OBG≌△OCD得出OG＝OD，即可得出結(jié)論；

（2）連接OA、OM，作OH⊥FM于H，由垂徑定理得出FH＝MH，證明四邊形OHBG是矩形，得出OH＝BG，由直角三角形的性質(zhì)得出OH＝BG＝OB＝1，OG＝BG＝，在Rt△OMH中，由勾股定理得出MH＝＝，即可得出結(jié)果．

【詳解】

（1）證明：連接OD，作OG⊥AB于G，如圖1所示：

則∠OGB＝90°，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠OCD＝∠OBG＝∠ABC＝60°，

∵O為BC的中點(diǎn)，

∴OB＝OC，

∵⊙O與AC相切于點(diǎn)D，

∴AC⊥OD，

∴∠ODC＝90°＝∠OGB，

在△OBG和△OCD中，

，

∴△OBG≌△OCD（AAS），

∴OG＝OD，

∴AB與⊙O相切；

（2）解：連接OA、OM，作OH⊥FM于H，如圖2所示：

則∠OHB＝90°，F(xiàn)H＝MH，

∵CE＝AC，AC＝BC，

∴CE＝BC，

∴∠CBE＝∠CEB＝∠ACB＝30°，

∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，

∵∠OGB＝90°，

∴四邊形OHBG是矩形，

∴OH＝BG，

∵△ABC是等邊三角形，O為BC的中點(diǎn)，

∴OB＝BC＝AB＝2，

∵∠BOG＝90°﹣60°＝30°，

∴OH＝BG＝OB＝1，OG＝BG＝，

在Rt△OMH中，OM＝OG＝，OH＝1，

∴MH＝＝，

∴FM＝2MH＝2．

【點(diǎn)睛】

本題考查了圓的綜合問題，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)和切線的證明是解題的關(guān)鍵．

24．（1）見解析；（2）DF=2；（3）5

【分析】

（1）利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，再證明OF⊥AC，然后根據(jù)垂徑定理得到點(diǎn)D為的中點(diǎn)；

（2）證明OF為△ACB的中位線得到OF＝BC＝3，然后計(jì)算OD﹣OF即可；

（3）作C點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，C′D交AB于P，連接OC，如圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短得到此時(shí)PC+PD的值最小，再計(jì)算出∠DOC′＝120°，作OH⊥DC′于H，如圖，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求出DH，從而得到PC+PD的最小值．

【詳解】

（1）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵OD∥BC，

∴∠OFA＝90°，

∴OF⊥AC，

∴＝，

即點(diǎn)D為的中點(diǎn)；

（2）解：∵OF⊥AC，

∴AF＝CF，

而OA＝OB，

∴OF為△ACB的中位線，

∴OF＝BC＝3，

∴DF＝OD﹣OF＝5﹣3＝2；

（3）解：作C點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，C′D交