三偏微分方程的數(shù)值離散方法課件

3.1.3差分方程的修正方程(續(xù))83.1.4差分方法的理論基礎(chǔ)相容性，穩(wěn)定性，收斂性等價(jià)性定理Fourier穩(wěn)定性分析93.1.4差分方法的理論基礎(chǔ)（續(xù)）Fourier(VonNeumann)穩(wěn)定性分析103.1.4差分方法的理論基礎(chǔ)（續(xù)）Fourier(VonNeumann)穩(wěn)定性分（續(xù)）稱為CFL條件(Courant,Friedrichs,Levy)113.1.5守恒型差分格式流體力學(xué)方程組描述物理量的守恒性；守恒律組：定義123.1.5守恒型差分格式（續(xù)）守恒性質(zhì)：非守恒的差分格式一般沒有對應(yīng)于原始守恒律的“離散守恒律”。133.1.5守恒型差分格式（續(xù)）守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理：如果守恒型差分格式是和守恒律相容的，且當(dāng)時(shí)間和空間步長趨于零時(shí)，差分解一致有界，幾乎處處收斂于分片連續(xù)可微的函數(shù)，則這個(gè)收斂的函數(shù)就是守恒律的一個(gè)弱解。推論：守恒型差分各式的收斂解能自動(dòng)滿足間斷關(guān)系。

用途:(加上熵條件）可以得到正確的激波，研究中大量使用例如：Lax-Friedrichs格式，Lax-Wendroff格式，MacCormack格式

143.1.6偏微分方程的全離散方法對差分格式的一般要求：有精度、格式穩(wěn)定、求解效率高特殊要求物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍流、旋渦、多介質(zhì)、化學(xué)反應(yīng)等）、有界性(正密度、正溫度、正湍動(dòng)能、正組分濃度等)主要指非定常方程的時(shí)間離散

153.1.6偏微分方程的全離散方法(續(xù)）兩層格式Crank-Nicolson格式、P-C格式、Lax-Wendroff格式、MacCormack格式Runge-Kutta方法時(shí)空全守恒：如Godunov格式、central-upwind格式、CESE方法多層格式Leap-Frog格式、Adams-Bashforth格式、后三點(diǎn)隱格式163.1.6.1兩層格式Crank-Nicolson格式Predictor-Corrector格式Lax-Wendroff格式MacCormack格式Runge-Kutta方法173.1.6.1兩層格式(cont.）Lax-Wendroff格式一步LW格式183.1.6.1兩層格式(cont.）Lax-Wendroff格式兩步LW格式常系數(shù)Jacobian時(shí)與單步LW等價(jià)。但計(jì)算更簡單，不涉及矩陣相乘。193.1.6.1兩層格式(cont.）MacCormack格式(1969)兩步格式比LW更簡單，不需要計(jì)算函數(shù)在半點(diǎn)上的值。LW兩步格式和MC各式的缺點(diǎn)：定常解的誤差依賴于時(shí)間步長。20MacCormack格式的構(gòu)造213.1.6.2三層格式Leap-Frog格式Adams-Bashforth格式22第二課后閱讀提示傅德薰《計(jì)算流體力學(xué)》，3.1–3.3水鴻壽《一維流體力學(xué)數(shù)值方法》3.1《ComputationalMethodsforFluidDynamics》,FerzigerandPeric,SpringerChap.623作業(yè)21.用Fourier法分析3.1.6.1節(jié)中Crank-Nicolson格式的穩(wěn)定性。2.分析前面3.1.6節(jié)中MacCormack格式是幾階精度。243.2有限體積法出發(fā)方程為積分型守恒方程（直角坐標(biāo)、柱坐標(biāo)、球坐標(biāo)）以控制體為離散量計(jì)算體積分和面積分需要適當(dāng)?shù)牟逯倒胶头e分公式(quadratureformula)適用于任意形狀的網(wǎng)格，復(fù)雜幾何形狀缺點(diǎn)：難以構(gòu)造大于二階以上的格式253.2.1定常守恒型方程和控制體263.2.2面積分的逼近面積分用積分點(diǎn)的值表示(quadrature)積分點(diǎn)的值用CV的值表示(interpolation)對于Simpson公式,對積分點(diǎn)的插值需要四階精度273.2.4體積分的逼近當(dāng)被積函數(shù)為某種型函數(shù)時(shí)，可以得到精確的積分，逼近精度取決于型函數(shù)的精度。283.2.4體積分的逼近四階精度：2D直角坐標(biāo)網(wǎng)格最后一式可以四階精度逼近3D的面積分293.2.5插值和微分積分點(diǎn)的函數(shù)值和其法向梯度1stUDS:取上風(fēng)點(diǎn)的值30插值2ndorder:向積分點(diǎn)線性插值等價(jià)于中心差分(CDS)31插值當(dāng)積分點(diǎn)的函數(shù)是線性插值時(shí)Secondorder32插值QUICK(quadraticupwindinterpolationforconvectivekinematics)插值三階精度，但積分（差分）往往只有二階精度。33插值高精度：N階精度的quadrture需要N-1階多項(xiàng)式插值公式。界面上導(dǎo)數(shù)可以用插值公式的微分求出。343.2.5有限體積法的邊界條件用邊界條件替代面積分入口：通常給定對流通量(mass,momentum,energy,etc.)壁面和對稱面：通量為零邊界上函數(shù)值給定：和內(nèi)部CV的值共同構(gòu)建邊界上的導(dǎo)數(shù)35FV例子363.2.6守恒律的有限體積方法

Godunov格式37383.2.6.1Godunov方法的思想39一階迎風(fēng)格式(CIR格式)40用Godunov思想

說明CIR格式=Godunov格式4142Riemann解圖示43443.2.6.11DEuler方程組的Godunov格式Godunov格式是基于積分形式的方程組,間斷關(guān)系自動(dòng)滿足，不需要另外考慮間斷線上的間斷關(guān)系45移動(dòng)網(wǎng)格上的積分回路46移動(dòng)網(wǎng)格上的Godunov格式47固定網(wǎng)格上的Godunov格式48Lagrange網(wǎng)格上的Godunov格式49Euler方程組的Riemann問題的解

理想氣體的5種解5051二維Euler方程組的Riemann問題5253僅是局部化的1DRP54第3課后閱讀提示傅德薰《計(jì)算流體力學(xué)》，6.3水鴻壽《一維流體力學(xué)數(shù)值方法》God