2019屆高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)教師用書：第三章+三角函數(shù)、解三角形含答案

第三章三角函數(shù)、解三角形

第一節(jié)彳任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)

占領(lǐng)前。麴曷翦晶KEQIANSHIA'GJILVOSHI的演回皿。?因05國D這聞向

??＞過基礎(chǔ)如識(shí)

1.角的概念的推廣

(1)定義：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端直從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖

形.

I按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.

(2)分類［按終邊位置不同分為象限兔和軸線角.

(3)終邊相同的角：所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合5=伊磔

=a+2kn,?GZ}.

2.弧度制的定義和公式

(1)定義：把長度等于生魚氐的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.

(2)公式:

回=:(/表示弧長)

角a的弧度數(shù)公式

①1°一1go門出②1rad—（兀）

角度與弧度的換算

弧長公式l=\a\r

扇形面積公式$斗「4。"

3.任意角的三角函數(shù)

(1)定義：設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,，)，那么sina=P,cosa

=x,tana=*#0).

(2)幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示.正弦線的起點(diǎn)都在x軸上，

余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn)，正切線的起點(diǎn)都是(1,0).如圖中有向線段MP,0M,47分別叫做

角a的正弦線、余弦線和正切線.

y

??＞過基礎(chǔ)小題

1.判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

(1)小于90°的角是銳角.()

(2)三角形的內(nèi)角必是第一、第二象限角.()

(3)不相等的角終邊一定不相同.()

(4)若點(diǎn)P(tana,cosa)在第三象限，則角a的終邊在第二象限.()

答案：⑴X(2)X(3)X(4)V

2.已知角a的終邊過點(diǎn)尸(-1,2),貝！Jsina=()

C.瞽D.—亭

解析：選B因?yàn)閨OP|=#(——+22=下(0為坐標(biāo)原點(diǎn)),所以sina=^=歲.

3.若角，同時(shí)滿足sin火0且tan則角，的終邊一定位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解析：選D由sin可知，的終邊可能位于第三象限或第四象限，也可能與y軸

的非正半軸重合.由tan，〈0,可知，的終邊可能位于第二象限或第四象限，故，的終邊只

能位于第四象限.

4

-

4.已知角a的終邊過點(diǎn)P(8a,3),且cosa=5

B

A--2i

C.一半D坐

4

解析：選A由題意殍g,且m<0.

J(8/M)2+32

解得/?=—1.

5.已知扇形的圓心角為60°,其弧長為如，則此扇形的面積為.

解析：設(shè)此扇形的半徑為r,由題意得爭=2%所以，=6,

所以此扇形的面積為Tx2n><6=67r.

答案：67r

6.在0到如范圍內(nèi)，與角一爭終邊相同的角是.

解析：與角一號(hào)終邊相同的角是2Ak+（一專），AGZ,令k=l,可得與角一號(hào)終邊相

同的角是手.

答案T

0

小領(lǐng)自―慮j奧礁喂KET.CGKAOD4TIP。懶鱷窟。廊垣施融街招福醒回

考點(diǎn)一象限角及終邊相同的角（基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透）

［考什么?怎么考］

高考對象限角及終邊相同的角直接考查較少，多滲透到三角函數(shù)求值及性質(zhì)中，屬于

基礎(chǔ)題.

1.給出下列四個(gè)命題〕

①一字是第二象限角；

鱷是第三象限角；

③一400°是第四象限角；

④一315°是第一象限角.

其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：選C一手是第三象限角，故①錯(cuò)誤；y=n+j,從而號(hào)是第三象限角，故②

正確；一400°=-360°-40°，從而一400°是第四象限角，故③正確；一315°=—360°

+45°,從而一315°是第一象限角，故④正確，故選C.

2.在一720。~0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為.

解析：所有與45°終邊相同的角可表示為：

0=45°+AX360°（*GZ）,

則令一720°<45°+4X360°<0°(AGZ),

得一765°W4X360°<-45°(*GZ),

解得一磊WA〈一肅(AGZ),

從而k=~2或4=—1,

代入得”=一675°或少=一315°.

答案：一675°或一315°

3.終邊在直線上的角的集合為

解析：在坐標(biāo)系中畫出直線可以發(fā)現(xiàn)它與x軸正半軸的夾

角是：，終邊在直線y=d5x上的角的集合為ja?=An+^,AGZ).

答案：La=kn+^,AGZ

4.若角a是第二象限角，貝皮是第象限角.

JT

解析：丁”是第二象限角，?..5+2〃冗〈〃〈江+24江，A￡Z,

.與+而4￥+如AGZ.當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，］是第一象限角；當(dāng)★為奇數(shù)時(shí)，挑第三象

限角.

答案：一或三

［怎樣快解?準(zhǔn)解］

1.象限角的兩種判斷方法

(1)圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是

第幾象限角.

(2)轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為A-360°+a(0°<a<360°,AGZ)的形式，即找出與己知

角終邊相同的角a,再由角a終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角.

2.求(或"，(“GN)所在象限的方法

(1)將。的范圍用不等式(含有且*GZ)表示.

⑵兩邊同除以"或乘以

(3)對k進(jìn)行討論，得到《或〃〃("GN*)所在的象限.

［注意］(1)相等的角終邊一定相同，但終邊相同的角卻不一定相等，終邊相同的角有

無數(shù)個(gè)，它們之間相差360。的整數(shù)倍.

(2)終邊在一條直線上的角之間相差180。的整數(shù)倍；終邊在互相垂直的兩條直線上的角

之間相差90。的整數(shù)倍.

考點(diǎn)二扇形的弧長及面積公式的應(yīng)用（基礎(chǔ)送分型考點(diǎn)——自主練透）

［考什么?怎么考］

高考對扇形的弧長、面積公式很少直接考查，主要是理解弧度制下的公式的應(yīng)用，屬

于基礎(chǔ)題.

1.已知扇形的周長是6,面積是是則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（r

A.1B.4

C.1或4D.2或4

解析：選C設(shè)扇形的半徑為r,菰長為/,

2r+/=6,r

=1r=2,

則“1解得,或＜

3”=2,[1=41=2.

從而a=;=［=4或?="=2=1.

2.已知扇形弧長為20cm,圓心角為100°,則該扇形的面積為cm2.

解析：由弧長公式/=|a|r,得

_2036.c1,1、…、，36360

/r=X20X=

-1007t~n'..5A?=22TV-

180

答案：管

3.如果一個(gè)扇形的半徑變?yōu)樵瓉淼囊话?，而弧長變?yōu)樵瓉淼?倍，則該弧所對的圓心

角是原來的倍.

解析：設(shè)圓的半徑為r,弧長為/,則其弧度數(shù)為5

將半徑變?yōu)樵瓉淼囊话?，弧長變?yōu)樵瓉淼?倍，

12lI

則弧度數(shù)變?yōu)榱?3

2r

即弧度數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍.

答案：3

［怎樣快解?準(zhǔn)解］

弧度制下有關(guān)弧長、扇形面積問題的解題策略

（1）明確弧度制下弧長及扇形面積公式，在使用公式時(shí)，要注意角的單位必須是弧度.

（2）分析題目已知哪些量、要求哪些量，然后靈活地運(yùn)用弧長公式、扇形面積公式直接

求解，或合理地利用圓心角所在三角形列方程（組）求解.

考點(diǎn)三三角函數(shù)的定義及應(yīng)用(題點(diǎn)多變型考點(diǎn)——追根溯源)

任意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義屬于理解內(nèi)容.在高考中多以選擇題、填

空題的形式出現(xiàn).，常見的命題角度有：

(1)利用三角函數(shù)定義求值；

(2)三角函數(shù)值符號(hào)的判定；

(3)三角函數(shù)線的應(yīng)用.

［題點(diǎn)全練］

角度(一)利用三角函數(shù)定義求值

1.已知角，的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y=2x上，則

cos20=()

A.—1B.—|

34

C.gD.g

解析：選B設(shè)尸(f,2f)(f#0)為角〃終邊上任意一點(diǎn)，則cos〃=J^.

當(dāng)r>0時(shí)，cos，=坐；當(dāng)時(shí)，cos，=一坐?

23

因此cos2〃=2cos2〃-1=--1=—~

2.已知角”的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(—x,—6),且cosa=一言則生77+，二=________?

1Jsinaidiiex

解析：，?,角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(—x,-6),且cosa=一尚，

親,解得或x=—5(舍去),

??cosa

12sina12

萬，..tana=

cos5'

13.52

則—5―+—--

sinatana12,123,

fg2

答案：一§

［題型技法］利用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值的方法

(1)已知角a終邊上一點(diǎn)尸的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)尸到原點(diǎn)的距離〃然后用三角函數(shù)

的定義求解.

(2)已知角〃的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)

的距離，然后用三角函數(shù)的定義求解.

角度（二）三角函數(shù)值符號(hào)的判定

3.（2014?全國卷I）若tanGO,貝！1（）

A.sina>0B.cosa>0

C.sin2a>0D.cos2a>0

解析：選C由tan”>0,可得a的終邊在第一象限或第三象限，此時(shí)sina與cosa同

號(hào)，故sin2（z=2sinacosa>0,故選C.

COSG.

4.若sinatana<0,且3<0,則角a是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

解析：選C由sinatana<0可知sina,tana異號(hào)，

則a為第二象限角或第三象限角.

由譽(yù)號(hào)<°可知cosa,tana異號(hào)，

【dua

則a為第三象限角或第四象限角.

綜上可知，a為第三象限角.

［題型技法］三角函數(shù)值符號(hào)及角的位置判斷

已知一角的三角函數(shù)值（sina,cosa,tana）中任意兩個(gè)的符號(hào)，可分別確定出角終邊

所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置，注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況.

角度（三）三角函數(shù)線的應(yīng)用

5.函數(shù)j=lg（3—4sii?x）的定義域?yàn)?

解析：，/一《sin%>。，.*.sin2x<^,

:.-乎<sinx<^-.

利用三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊范圍（如圖陰影部分所示），

A7r+￡）（AGZ）.

答案：An+縱GZ）

［題型技法］利用三角函數(shù)線求解三角不等式的方法

對于較為簡單的三角不等式，在單位圓中，利用三角函數(shù)線先作出使其相等的角（稱為

臨界狀態(tài)，注意實(shí)線與虛線），再通過大小找到其所滿足的角的區(qū)域，由此寫出不等式的解

集.

［題“根"探求］

1.思維趨向要明確

（1）看到角a終邊上的點(diǎn)或終邊所在的直線想到三角函數(shù)定義的應(yīng)用.

（2）看到角a所在的象限想到三角函數(shù)值符號(hào)的判斷.

（3）看到三角式比較大小、解三角不等式（方程）3想到三角函數(shù)線的應(yīng)用.

2.二級結(jié)論要謹(jǐn)記

（1）三角函數(shù)值符號(hào)的結(jié)論：

一全正、二正弦，三正切、四余弦.

(2)當(dāng)&時(shí)

①§ina<a<tana；②sina+cosa>l.

［沖關(guān)演練］

L如圖，在平面直角坐標(biāo)系x。中，角】的終邊與單位圓交于點(diǎn)兒

4

點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為g,則cosa的值為（）

44

A?gB.一耳

-1

4

解析：選D因?yàn)辄c(diǎn)n的縱坐標(biāo)％=空且點(diǎn)/在第二象限，又因?yàn)閳A。為單位圓,

33

所以N點(diǎn)的橫坐標(biāo)x.4=-g,由三角函數(shù)的定義可得cosa=-

2.已知點(diǎn)「（85如12!1幻在第三象限，則角a的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

cosa<0,cosa<0,

解析：選B由題意得今所以角a的終邊在第二象限.

tan?<0sina>0,

3.函數(shù)y=sinx—半的定義域?yàn)?/p>

解析：因?yàn)閟injcN當(dāng)，作直線j，=￥交單位圓于N,B兩點(diǎn)、,連接

OA,0B,則04與08困成的區(qū)域（圖中陰影部分）即為角x的終邊的

范圍，故滿足條件的角x的集合為*2kr+￡Wx《2A7t+T，Yz}.

答案：［2A7r+￡,2An+引，

0份廄加匾。陰鎊。國囤魚團(tuán)與俄

（一）普通高中適用作業(yè)

A級——基礎(chǔ)小題練熟練快

1.已知扇形的面積為2,扇形圓心角的弧度數(shù)是4,則扇形的周長為（）

A.2B.4

C.6D.8

解析：選C設(shè)扇形的半徑為r,弧長為/,則由扇形面積公式可得2=，r=；|a|/=；

2

X4Xr,解得r=l,l=ar=49所以所求扇形的周長為2r+/=6.

2.已知點(diǎn)一，在角，的終邊上，且，G[0,2k）,則，的值為（）

A.期B與

-11加c57r

C干D.y

解析：選C因?yàn)辄c(diǎn)一在第四象限，

1

~2S

根據(jù)三角函數(shù)的定義可知tan<9=—?=■=—

又問0,2兀）,可得，=坐.

3.若角a與/?的終邊關(guān)于x軸對稱，則有()

A.a+fi=90°

B.a+fi=90°+A?360°,kWZ

C.a+“=2AT80°,kWZ

D.a+/?=180°+A?360°,AGZ

解析：選C因?yàn)閍與/?的終邊關(guān)于x軸對稱，所以“=21180°—a,AGZ.所以a+/?

=2A180°,ASZ.

4.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3°-9,a+2),且cosaWO,sina>0,則實(shí)數(shù)a的取值范

圍是()

A.(-2,3]B.(-2,3)

C.[-2,3）D.[-2,3]

解析：選A由cosaWO,sina>0可知，角a的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上,

3a—9W0,

所以有，

a+2>0,

解得一2V°W3.

5.下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.sin300°>0B.cos(-305°)<0

C.tan（一竽）>0

D.sin10<0

解析：選D300°=360°-60°,則300°是第四象限角；

-305°=-360°+55°,貝”一305°是第一象限角；

因?yàn)橐惶?hào)=-8兀+專，所以一半是第二象限角；

（22小

因?yàn)?兀<10〈了,所以10是第三象限角.故$也300°VO,cos（—305°）>0,ta?F

<0,sin10<0,故D正確.

6.集合｛aA7t+￡WaWA7r+去AGZ｝中的角所表示的范圍（陰影部分）是（）

解析：選C當(dāng)A=2"（"GZ）時(shí)，2"7r+￡WaW2，nr+],此時(shí)a表示的范圍與:WaW1表

示的范圍一樣；當(dāng)A=2"+1（"GZ）時(shí)，2"7r+7r+￡WaW2"7r+7r+],此時(shí)a表示的范圍與

7r+：WaW7r+]表示的范圍一樣，結(jié)合圖象知選C.

7.若a=1560°,角，與a終邊相同，且一360°<6><360",貝U。=.

解析：因?yàn)閍=1560°=4X360°+120°,

所以與a終邊相同的角為360°XA+120°,AGZ,

令A(yù)=-l或A=0可得，=一240°或，=120°.

答案：120°或一240°

8.在直角坐標(biāo)系中，。是原點(diǎn)，Ag,1）,將點(diǎn)N繞。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到5點(diǎn),

則B點(diǎn)坐標(biāo)為.

解析：依題意知O/=O6=2,NZOx=30°,NBOx=120°,

設(shè)點(diǎn)8坐標(biāo)為（x,y）,所以x=2cosl20°=—1,j=2sin120°=小，即5（—1,小）.

答案：（一1,?。?/p>

9.若兩個(gè)圓心角相同的扇形的面積之比為1：4,則這兩個(gè)扇形的周長之比為.

12

2ar1

解析：設(shè)兩個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為a,半徑分別為r,R（其中rVR）,則—=不

產(chǎn)爐

所以r：R=l：2,兩個(gè)扇形的周長之比為彳二"=1：2.

2R+aR3

答案：1：2

10.已知角a的終邊上一點(diǎn)P(一小，,")(旭#0),且sina="；"'則，"=.

解析：由題設(shè)知點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)x=一巾，縱坐標(biāo)

.,.r2=|OP|2=(-V3)2+/M2(O為原點(diǎn))，

即r=yj3+m2.

..m啦，"〃？

..sina-=4=訪，

?*.r=.3+"J=2y/l,

即3+〃J=8,解得，

答案：W5

B級——中檔題目練通抓牢

1.若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角a(0<a<7r)的弧度數(shù)為

()

?五c九

A,3B,2

C.小D.y/2

解析：選C設(shè)圓的半徑為K,由題意可知，圓內(nèi)接正三角形的邊長為小R,所以圓弧

長為小R.所以該圓弧所對圓心角的弧度數(shù)為華=6.

2.已知角。=24兀一射0,若角〃與角a的終邊相同，則尸湍+需|[+湍翳[

的值為()

A.1B.-1

C.3D.-3

解析：選B由a=2A7T-^aGZ)及終邊相同的概念知，角a的終邊在第四象限，又角

，與角a的終邊相同，所以角，是第四象限角，所以sinOVO,cos0>0,tan6?<0.

所以y=_l+l-l=_l.

3.設(shè)a是第二象限角，P(x,4)為其終邊上的一點(diǎn)，且cosa=|x,則tana=()

A|B4

C-1D」

J4u'3

解析：選D是第二象限角，/.x<0.

x1

又由題意知近耳*=

解得x=-3.

44

..tana=-=-j.

4.一扇形是從一個(gè)圓中剪下的一部分，半徑等于圓半徑的;，面積等于圓面積的冷,

則扇形的弧長與圓周長之比為.

解析：設(shè)圓的半徑為r,則扇形的半徑為與，記扇形的圓心角為a,

57r

57r2r

扇形的弧長與圓周長之比為1=4生=

CL711

答案--

口采.18

5.（2018?石家莊模擬）在（0,2元）內(nèi)，使sinx>cosx成立的x的取值范圍為

解析：如圖所示，找出在（0,2九）內(nèi)，使sinx=cos*的x值，sin￡=

cos4=21siny=cosy=一半.根據(jù)三角函數(shù)線的變化規(guī)律標(biāo)出滿足題

中條件的角xG仔，等

答案:你T）

6?已知西=一六'且lg（cosa）有意義?

（1）試判斷角a所在的象限；

（2）若角a的終邊上一點(diǎn)MJ且|OM|=1（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的值及sina的值.

解：（1）由_;=--r-,得sinQvO,

''|sina\sina9

由lg（cosa）有意義，可知cosa>0,

所以“是第四象限角.

（2）因?yàn)镼M=1，所以倒2+旭2=1，

4

解得

又Q為第四象限角，故

從而/?=—

_4

.vin_54

S，na=r=\OM\=~=~5-

7.若角0的終邊過點(diǎn)尸(一4a,3a)(aW0),

⑴求sin0+cos0的值；

⑵試判斷cos(sin^)sin(cos。)的符號(hào).

解：(1)因?yàn)榻?的終邊過點(diǎn)P(-4a,3a)(aW0),

所以x=—4%y=3%r=5\a\,

341

當(dāng)4>0時(shí)，r=5a9sin〃+cos〃=g—[=-

341

當(dāng)“VO時(shí)，r=—5a,sin，+co$?=一旨+《=0

(2)當(dāng)”>O時(shí)，sin〃=|e(0,9，

cos，=一2(-5，0),

3(4\

則cos(sintf)sin(cos/7)=cosg-sinl

當(dāng)“VO時(shí)，sin〃=-0),

則cos(sin〃)?sin(cos〃)=cos(一可?sing>0.

綜上，當(dāng)a>0時(shí)，cos(sin0)sin(cos。)的符號(hào)為負(fù);

當(dāng)?<0時(shí),cos(sin0)sin(cos。)的符號(hào)為正.

C級—重難題目自主選做

已知扇形405的周長為8.

(1)若這個(gè)扇形的面積為3,求圓心角的大?。?/p>

(2)求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小和弦長Z5.

解：設(shè)扇形NQB的半徑為r,弧長為/,圓心角為a,

f2r+/=8,

(1)由題意可得h

/=3,

⑵法一：：2r+/=8,

.?.SW.2『磁竽)=：X?2=4,

當(dāng)且僅當(dāng)2r=/,即r=2,1=4,a=(=2時(shí)，扇形面積取得最大值4.

圓心角a=2,弦長/8=2sinlX2=4sin1.

法二：；2r+/=8,

.\SA=1/r=1r(8—2r)=r(4—r)=—(r—2)2+4^4,

當(dāng)且僅當(dāng)r=2,/=4,即a=，=2時(shí)，扇形面積取得最大值4.

弦長4ff=2sinlX2=4sin1.

(二)重點(diǎn)高中適用作業(yè)

A級——保分題目巧做快做

1.下列與97r號(hào)的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()

9

A.2ATT+45°(AGZ)B.A-360°

C.A-3600-315°(YZ)D.An+y(AGZ)

解析：選C由定義知終邊相同的角中不能同時(shí)出現(xiàn)角度和弧度，應(yīng)為￡+2A:r或

*-360°+45°(AWZ),結(jié)合選項(xiàng)知C正確.

2.已知點(diǎn)“g,一，在角，的終邊上，且，G[0,2力，則0的值為()

5nc2九

AA?不BT

_lln45n

C.-T-D.-z-

o3

解析：選c因?yàn)辄c(diǎn)移，一，在第四象限，

所以根據(jù)三角函數(shù)的定義可知tan一乎，

2

又，仁[0,2兀)，可得，=半.

3.若一圓弧長等于其所在圓的內(nèi)接正三角形的邊長，則其圓心角a(0<a<;r)的弧度數(shù)為

()

A.§B，2

C.小D.y/2

解析：選C設(shè)圓的半徑為/?,由題意可知，圓內(nèi)接正三角形的邊長為巾/?,所以圓弧

長為小K,所以該圓弧所對圓心角的弧度數(shù)為華=小.

4.下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.sin300°>0B.cos(—305°)<0

C.tan（一警^）>0

D.sin10<0

解析：選D300°=360°-60°,則300°是第四象限角；

-305°=-360°+55°,則一305°是第一象限角；

因?yàn)橐惶?hào)=一阮+金，所以一半是第二象限角；

因?yàn)?71<10<與,所以10是第三象限角.故$也300°<0,cos（-305°）>0,tan（一筌）

<0,sin10<0,故D正確.

5.已知角a=2AL*WZ）,若角〃與角a的終邊相同，則產(chǎn)疆f+^+湍ff

的值為（）

A.1B.-1

C.3D.-3

解析：選B由a=2An-g（AGZ）及終邊相同的概念知，角a的終邊在第四象限，又角

。與角a的終邊相同，所以角，是第四象限角，所以sin，<0,cos0>0,tan6Vo.

所以y=_l+l-l=-l.

6.若a=1560°,角。與a終邊相同，且一360°<6?<360°,貝U，=.

解析：因?yàn)閍=1560°=4X360°+120°,

所以與a終邊相同的角為360°XA+120°,AGZ,

令*=一1或A=0可得。=一240°或〃=120°.

答案：120°或一240°

7.若兩個(gè)圓心角相同的扇形的面積之比為1：4,則這兩個(gè)扇形的周長之比為.

解析：設(shè)兩個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)為a,半徑分別為r,R（其中rVK）,則^---=；,

2r?a,

所以r：R=l：2,兩個(gè)扇形的周長之比為2；+；［=1:2.

答案：1：2

8.點(diǎn)尸從（一1,0）出發(fā)，沿單位圓順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)y弧長到達(dá)點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

解析：設(shè)點(diǎn)力(-1,0),點(diǎn)P從(一1,0)出發(fā)，沿單位圓順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)號(hào)弧長到達(dá)點(diǎn)

則等一2兀=§(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，所以NxOQ=g,cos?=l,sin?=#,所以點(diǎn)Q

的坐標(biāo)為&啜

答案：&明

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角”的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合

且與單位圓相交于4點(diǎn)，它的終邊與單位圓相交于'軸上方一點(diǎn)5,始邊不

動(dòng)，終邊在運(yùn)動(dòng).

⑴若點(diǎn)5的橫坐標(biāo)為一之,求tan”的值；

(2)若△405為等邊三角形，寫出與角a終邊相同的角夕的集合.

解：⑴設(shè)點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為〃7,則由題意“/+(—§2=[,

3故8(V，D，

且帆＞0,所以機(jī)=彳,

3

根據(jù)三角函數(shù)的定義得tana=~^=一

-5

(2)若△Z05為等邊三角形，則N/08=；,故與角a終邊相同的角°的集合為

Pp=^+2kn,AGZ}.

10.已知扇形/。8的周長為8.

(1)若這個(gè)扇形的面積為3,求圓心角的大??；

(2)求這個(gè)扇形的面積取得最大值時(shí)圓心角的大小和弦長48.

解：設(shè)扇形N08的半徑為r,弧長為/,圓心角為a,

f2r+/=8,

(1)由題意可得八

/=3,

r=3,fr=l,

解得或

[/=2|/=6,

(2)法一：V2r+/=8,

??.一=金=52『磁竽）=：X?2=4,

當(dāng)且僅當(dāng)2r=/,即r=2,/=4,a=，=2時(shí)，扇形面積取得最大值4.

，圓心角1=2,弦長4B=2sinlX2=4sin1.

法二:V2r+/=8,

:.S扇=g/r=；r（8—2r）=r（4—r）=—（r-2/+4W4,

當(dāng)且僅當(dāng)r=2,1=4,即a=/=2時(shí)，扇形面積取得最大值4.

，弦長Z5=2shilX2=4sin1.

B級——拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做

1.已知點(diǎn)《in普，cos-衿落在角，的終邊上，且〃￡[0,2九），則〃的值為（

解析：選D由sin7>0,cos知角。是第四象限角，

37r

cosy

因?yàn)閠an〃=----7=-1,，￡[0,2霓），

sin-r

4

所以。=竽故選D.

2.已知sinQ>sin/7,那么下列命題成立的是（）

A.若“，夕是第一象限的角，貝!Jcosa>cos夕

B.若a,夕是第二象限的角，則tana>tan”

C.若a,夕是第三象限的角，則co§〃>cos/?

D.若a,夕是第四象限的角，則tana>tan”

解析：選D由三角函數(shù)線可知選D.

解析：因?yàn)?A7r+7rVaV2/br+5-(4￡Z),

所以Arn+^<kit+~^（AEZ）.

當(dāng)A=2〃（〃￡Z）時(shí)，2/m+j<j<2/m+^,1是第二象限角，

當(dāng)〃=2〃+l（〃￡Z）時(shí)，2〃兀+厚4<2〃兀十李/是第四象限角,

綜上知，當(dāng)Q是第三象限角時(shí)，］是第二或四象限角.

答案：二或四

4.（2018?石家莊模擬）在（0,2兀）內(nèi)，使sinx>cosx成立的x的取值范圍為.

解析：如圖所示，找出在（0,2加）內(nèi)，使sinx=co§x的x值，sin^=

。0號(hào)=乎，sin+cos*一坐根據(jù)三角函數(shù)線的變化規(guī)律標(biāo)出滿足（j~：

題中條件的角》喏，翁

答案：6T）

......................1

5.已知角a的終邊在直線y=-3x上，求lOsina+R”的值.

解：設(shè)a終邊上任一點(diǎn)為P(A,-3k),

則/=#〃2+(_34)2=遮固.

當(dāng)k>0時(shí)，r=?k,

..-3A_3____1__VlOfer-

.?加一9--屈'cosa-k-加'

AlOsina+-------=-3屈+3屈=0;

cosavY

..i——3k3

當(dāng)A<。時(shí)，『一.kin片中=布,

1____?k

cosak同,

3

AlOsina+——=3\[Td-3y[Tb=0.

cosavv

綜上，10§ina+—~—=0.

6.若角0的終邊過點(diǎn)P(—4%34)5/0),

⑴求sin〃+cos0的值；

(2)試判斷cos(sin0)*sin(cos。)的符號(hào).

解：(1)因?yàn)榻?的終邊過點(diǎn)尸(一4a,3a)(aW0),

所以x=—4%y=3a,r=5\a\t

341

當(dāng)a>0時(shí)，r=5a9sin〃+co$〃=g-g=-g?

341

當(dāng)aVO時(shí)，r=—5%§in，+cos，=—g+g=g.

(2)當(dāng)a>0時(shí)，sin6?=|e(05

°，

則cos(sin0)sin(cos0)

3

=cos5-<0;

當(dāng)“VO時(shí)，sin，=一|e

°，

4

-o匹

52

則cos(sin^)sin(cos0)

7>0.

綜上，當(dāng)4>0時(shí),cos(sind)-sin(cos。)的符號(hào)為負(fù)；

當(dāng)a<0時(shí)，cos(sin^)sin(cos〃)的符號(hào)為正.

夕

第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

士解前。耀昌翦英KEQIA\SHIA'GJILUOSHI疝)視回電)。⑥國熱身00愚舒他0國

??>過基礎(chǔ)如識(shí)

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系:sin2a+cos2a=l；

(2)商數(shù)關(guān)系：tana=景.

2.誘導(dǎo)公式

六

公式一三四五

2A?r+n

角

n+a—ait-a2~a

a(A￡Z)

正弦sina-sina-sinasinacosacosa

余弦cosa—cosacosa一cosasina—sina

正切tanatana一tana一tana

口訣函數(shù)名不變符號(hào)看象限函數(shù)名改變?yōu)?。?hào)看象限

記憶規(guī)律奇變偶不變，符號(hào)看象限

3.特殊角的三角函數(shù)值

角a0°30°45°60°90°120°150°180°

角a的弧nnnn2n5n

0Tn

度數(shù)6432T

1i

sina0近亞1亞0

22222

11

cosa1近全0—亞-1

222~22

tana0近1V30

33

過基礎(chǔ)小題

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“X”)

⑴若a,“為銳角，則sin2a+cos2/?=l.()

(2)若aWR,則tana=段髯恒成立.()

(3)&11(兀+")=一$in。成立的條件是a為銳角.()

答案：(1)X(2)X(3)X

2.已知sina=害，貝!|tani=()

A.一2B.2

C.1D.—|

解析：選D因?yàn)椋軼aW7T,所以cosa=1—sin2a

“、,sina1