浙江省溫州市甌海郭溪中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

浙江省溫州市甌海郭溪中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，則=().A.

B.

C.

D.參考答案：C因?yàn)?，所以，所以，，故選C.

2.在實(shí)數(shù)集中定義一種運(yùn)算“”，對(duì)任意，為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：（1）對(duì)任意，；（2）對(duì)任意，．關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，有如下說(shuō)法：①函數(shù)的最小值為；②函數(shù)為偶函數(shù)；③函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．其中所有正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．參考答案：C3.若復(fù)數(shù)(其中i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限參考答案：D4.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最小值是（

） A．

B．

C．

D．1參考答案：D5.執(zhí)行下面的程序框圖，若輸出的S的值為63，則判斷框中可以填入的關(guān)于i的判斷條件是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】根據(jù)程序框圖，逐步執(zhí)行，直到的值為63，結(jié)束循環(huán)，即可得出判斷條件.【詳解】執(zhí)行框圖如下：初始值：，第一步：，此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第二步：，此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第三步：，此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第四步：，此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第五步：，此時(shí)不能輸出，繼續(xù)循環(huán)；第六步：，此時(shí)要輸出，結(jié)束循環(huán)；故，判斷條件為.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查完善程序框圖，只需逐步執(zhí)行框圖，結(jié)合輸出結(jié)果，即可確定判斷條件，屬于?？碱}型.

6.設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在[a，b]上均可導(dǎo)，且f′（x）＜g′（x），則當(dāng)a＜x＜b時(shí)，有(

)A．f（x）＞g（x） B．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a） C．f（x）＜g（x） D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）參考答案：B【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】構(gòu)造函數(shù)，設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x），因?yàn)楹瘮?shù)f（x），g（x）在[a，b]上均可導(dǎo)，且f′（x）＜g′（x），所以F（x）在[a，b]上可導(dǎo)，并且F′（x）＜0，得到函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性得到F（a）＜F（x）＜F（b），即f（x）﹣g（x）＜f（a）﹣g（a），得到選項(xiàng)．【解答】解：設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x），因?yàn)楹瘮?shù)f（x），g（x）在[a，b]上均可導(dǎo)，且f′（x）＜g′（x），所以F（x）在[a，b]上可導(dǎo)，并且F′（x）＜0，所以F（x）在[a，b]上是減函數(shù)，所以F（a）＜F（x）＜F（b），即f（x）﹣g（x）＜f（a）﹣g（a），f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）；故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵構(gòu)造函數(shù)，利用求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性．7.如圖，在正三棱錐S—ABC中，M、N分別為棱SC、BC的中點(diǎn)，并且AMMN，若側(cè)棱長(zhǎng)SA=，則正三棱錐S—ABC的外接球的體積為

（

）A．

B．9

C．12

D．16

參考答案：A略8.已知函數(shù)f（x）=且f（a）=﹣3，則f（6﹣a）=（）A．- B．﹣ C．﹣ D．﹣參考答案：A考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的零點(diǎn)．

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：由f（a）=﹣3，結(jié)合指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求得a=7，再由分段函數(shù)求得f（6﹣a）的值．解答:解：函數(shù)f（x）=且f（a）=﹣3，若a≤1，則2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程無(wú)解；若a＞1，則﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，則f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)的運(yùn)用：求函數(shù)值，主要考查指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．9.已知命題p：x+y≠﹣2，q：x≠﹣1且y≠﹣1，則p是q的（）A．充要條件 B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件 D．必要而不充分條件參考答案：B【考點(diǎn)】充要條件．【分析】分別取一組滿足命題p不滿足命題q的特殊數(shù)，和一組滿足命題q但不滿足命題p的特殊數(shù)，代入驗(yàn)證，即可得到答案．【解答】解：當(dāng)x=﹣1，y=0時(shí)，命題p：x+y≠﹣2，成立，但命題q：x≠﹣1且y≠﹣1，不成立，則p是q不充分條件，當(dāng)x=﹣2，y=0時(shí)，命題q：x≠﹣1且y≠﹣1，成立，但命題p：x+y≠﹣2，不成立，則p是q不必要條件，故p是q的既不充分也不必要條件故選B．10.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若2a8＝6＋a11，則S9的值等于（）A．54B．45C．36D．27參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)的值為

.參考答案：2【測(cè)量目標(biāo)】數(shù)學(xué)基本知識(shí)和基本技能/理解或掌握初等數(shù)學(xué)中有關(guān)數(shù)與運(yùn)算的基本知識(shí).【知識(shí)內(nèi)容】數(shù)與運(yùn)算/復(fù)數(shù)初步/復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.【試題分析】復(fù)數(shù)，因?yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則有，解得，故答案為2.12.如圖是某幾何體的三視圖（單位：cm），則該幾何體的表面積是

cm2，體積為

cm3．參考答案：14+2，4?？键c(diǎn)：由三視圖求面積、體積．專(zhuān)題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：判斷得出該幾何體是三棱錐，利用題中數(shù)據(jù)，即可求解幾何體的表面積、體積．解答： 解：根據(jù)三視圖得出：該幾何體是三棱錐，AB=2，BC=3，DB=5，CD=4，AB⊥面BCD，BC⊥CD，∴幾何體的表面積是+++=14+2其體積：×S△CBD×AB==4，故答案為：14+2；4．點(diǎn)評(píng)：本題考查了三棱錐的三視圖的運(yùn)用，仔細(xì)閱讀數(shù)據(jù)判斷恢復(fù)直觀圖，關(guān)鍵是確定幾何體的形狀，屬于中檔題．13.已知全集為，集合，，則

；

；

．參考答案：；；

14.函數(shù)的最小正周期

.參考答案：,所以，即函數(shù)的最小周期為。15._______________.參考答案：16.有以下四個(gè)命題： ①中，“”是“”的充要條件； ②若命題，則； ③不等式在上恒成立； ④設(shè)有四個(gè)函數(shù)其中在上是增函數(shù)的函數(shù)有3個(gè). 其中真命題的序號(hào)

.參考答案：①③④17.已知實(shí)數(shù)x，y滿足則x+y的取值范圍是

▲

.參考答案：

[2,8]三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且在點(diǎn)(―1，f(－1))處的切線的斜率是－5.(1)求實(shí)數(shù)b、c的值；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值；(3)對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y＝f(x)上是否存在兩點(diǎn)P、Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上？請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：(1)當(dāng)x<1時(shí)，f(x)＝－x3＋x2＋bx＋c，則f′(x)＝－3x2＋2x＋b.依題意，得，即，解得b＝c＝0.(2)由(1)知，f(x)＝.①當(dāng)－1≤x<1時(shí)，f′(x)＝－3x2＋2x＝－3x，令f′(x)＝0得x＝0或x＝.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：x(－1，0)0(0，)，1)f′(x)－0＋0－f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減又f(－1)＝2，f＝，f(0)＝0，∴f(x)在[－1,1)上的最大值為2.②當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f(x)＝alnx.，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)≤0，∴f(x)的最大值為0；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在[1,2]上單調(diào)遞增，∴f(x)在[1,2]上的最大值為aln2.綜上所述，當(dāng)aln2≤2，即a≤時(shí)，f(x)在[－1,2]上的最大值為2；當(dāng)aln2>2，即a>時(shí)，f(x)在[－1,2]上的最大值為aln2.(3)假設(shè)曲線y＝f(x)上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在y軸的兩側(cè)．不妨設(shè)P(t，f(t))(t>0)，則Q(－t，t3＋t2)，顯然t≠1.∵△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，∴O·O＝0，即－t2＋f(t)(t3＋t2)＝0.①若方程①有解，則存在滿足題意的兩點(diǎn)P、Q；若方程①無(wú)解，則不存在滿足題意的兩點(diǎn)P、Q.若0<t<1，則f(t)＝－t3＋t2，代入①式得，－t2＋(－t3＋t2)(t3＋t2)＝0，即t4－t2＋1＝0，而此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，因此t>1.此時(shí)f(t)＝alnt，代入①式得，－t2＋(alnt)(t3＋t2)＝0，即＝(t＋1)lnt．②令h(x)＝(x＋1)lnx(x≥1)，則h′(x)＝lnx＋＋1>0，∴h(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，∵t>1，∴h(t)>h(1)＝0，當(dāng)t→＋∞時(shí)，h(t)→＋∞，∴h(t)的取值范圍為(0，＋∞)．∴對(duì)于a>0，方程②總有解，即方程①總有解．因此對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y＝f(x)上總存在兩點(diǎn)P、Q，使得△POQ是以點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上．略19.（本題滿分12分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，證明直線BC1平行于平面DA1C，并求直線BC1到平面D1AC的距離.參考答案：因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1為長(zhǎng)方體，故，故ABC1D1為平行四邊形，故，顯然B不在平面D1AC上，于是直線BC1平行于平面DA1C； 直線BC1到平面D1AC的距離即為點(diǎn)B到平面D1AC的距離設(shè)為考慮三棱錐ABCD1的體積，以ABC為底面，可得而中，，故所以，，即直線BC1到平面D1AC的距離為．

20.（本小題滿分12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的首項(xiàng)，為其前項(xiàng)和，若成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，記數(shù)列的前項(xiàng)和為.若對(duì)于任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）設(shè)的公比為.∵成等差數(shù)列，即，化簡(jiǎn)得，解得：或

由已知，

……………6分（2）由得

…………9分，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，

實(shí)數(shù)的取值范圍是

………12分21.設(shè)是實(shí)數(shù)，。(1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求的值；(2）試證明：對(duì)于任意，在R上為單調(diào)函數(shù)；(3）若函數(shù)為奇函數(shù)，且不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：（1），且

（注：通過(guò)求也同樣給分）

(2）證明：設(shè)，則

==

，

即

所以在R上為增函數(shù)。

(3）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)且在R上為