《信號與系統(tǒng)》第二章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析課件

第2章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.1LTI系統(tǒng)的數(shù)學模型及其經(jīng)典法求解2.2LTI系統(tǒng)的算子符號表示與傳輸算子2.3LTI因果系統(tǒng)的零輸入響應2.4LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應2.5卷積及其性質2.6LTI因果系統(tǒng)的全響應及其分解第2章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析2.1LTI系統(tǒng)的數(shù)學模2.1LTI系統(tǒng)的數(shù)學模型及其經(jīng)典法求解2.1.1建立LTI系統(tǒng)的數(shù)學模型建立系統(tǒng)模型的方法1.輸入輸出描述法連續(xù)時間LTI系統(tǒng)————常系數(shù)線性微分方程離散時間LTI系統(tǒng)————常系數(shù)線性差分方程2.狀態(tài)變量描述法2.1LTI系統(tǒng)的數(shù)學模型及其經(jīng)典法求解2.1.1例2.1-1如圖2.1-1所示的RLC串聯(lián)電路，e(t)為激勵信號，響應為i(t)，試寫出其微分方程。

解這是有兩個獨立動態(tài)元件的二階系統(tǒng)，利用KVL定理列回路方程，可得圖2.1-1RLC串聯(lián)電路例2.1-1如圖2.1-1所示的RLC串聯(lián)電路，e(t)一般有n個獨立的動態(tài)元件組成的系統(tǒng)就是n階系統(tǒng)(或n個一次線性微分方程組)。一般電路系統(tǒng)的階數(shù)等于獨立的uC(t)與iL(t)的個數(shù)之和，其中獨立的uC(t)不能用其它uC(t)(可含電源)表示；獨立的iL(t)不能用其它iL(t)(可含電源)表示。一般有n個獨立的動態(tài)元件組成的系統(tǒng)就例2.1-2如下圖所示電路，判斷系統(tǒng)階數(shù)。

解(1)R1i1(t)+uC1(t)+uC2(t)=e(t)，uC2(t)=uR2(t)，有兩個獨立的uC(t)，所以該系統(tǒng)是二階系統(tǒng)。(2)uC1(t)=uC2(t)+uC3(t)，是通過其它uC(t)表示的，是非獨立的uC(t)；但uC2(t)≠uC3(t)，有兩個獨立的uC(t)，所以該系統(tǒng)也是二階系統(tǒng)。

例2.1-2如下圖所示電路，判斷系統(tǒng)階數(shù)。2.1.2系統(tǒng)微分方程求解——經(jīng)典法

一般n階LTI系統(tǒng)的微分方程為

初始條件為{y(0+),y′(0+),…,yn-1(0+)}。由上式可得系統(tǒng)的特征方程為αn+a1αn-1+...+an-1α+an=0

(α-α1)(α-α2)...(α-αn)=0

(2.1-1)由特征方程可求得特征根。2.1.2系統(tǒng)微分方程求解——經(jīng)典法假設特征根均為單根α1、α2、...、αn，由其得到通解yh(t)的一般形式(2.1-2)式中αi為特征根。假設特征根均為單根α1、α2、...微分方程特解的形式與激勵形式相同，如表2-1所示，代入原方程中得到具體系數(shù)。微分方程的解由通解與特解兩部分組成，即完全解為(2.1-3)由n個初始條件{y(0+),y′(0+),...,yn-1(0+)}確定n個Ci系數(shù)。微分方程特解的形式與激勵形式相同，表2-1典型激勵對應的特解表2-1典型激勵對應的特解2.2LTI系統(tǒng)的算子符號表示與傳輸算子2.2.1用算子符號表示微分方程

n階LTI系統(tǒng)的數(shù)學模型是n階常系數(shù)線性微分方程。將方程中的微、積分運算用算子符號p與1/p表示，可得到算子方程。

微分算子積分算子

2.2LTI系統(tǒng)的算子符號表示與傳輸算子2.2.這樣，例2.1-1電路的微分方程可以表示為p2i(t)+5pi(t)+6i(t)=pe(t)式(1.6-6)的n階線性微分方程可以用算子表示為

a0pny(t)+a1pn-1y(t)+...+an-1

py(t)+any(t)

=b0pmf(t)+b1pm-1f(t)+...+bm-1

pf(t)+bmf(t)

(2.2-4)這樣，例2.1-1電路的微分方程可以表示為算子方程中的每一項表示的是運算關系，不是代數(shù)運算。模仿代數(shù)運算，還可以將上式簡化為(a0pn+a1pn-1+...+an-1p+an)y(t)

=(b0pm+b1pm-1+...+bm-1p+bm)f(t)(2.2-5)若再令D(p)=a0pn+a1pn-1+...+an-1p+ao(2.2-6a)N(p)=b0pm+b1pm-1+...+bm-1p+bm

(2.2-6b)算子方程中的每一項表示的是運算關系，不是代數(shù)運算。模仿代則稱D(p)、N(p)為算子多項式，式(2.2-5)可進一步簡寫為D(p)y(t)=N(p)f(t)(2.2-7)式(2.2-7)是n階線性微分方程的算子方程。在這里，我們利用了提取公因子的代數(shù)運算規(guī)則。式(2.2-7)還可以進一步改寫為(2.2-8)則稱D(p)、N(p)為算子多項式式中分母多項式D(p)表示對輸出y(t)的運算關系，分子多項式N(p)表示對輸入f(t)的運算關系，而不是兩個多項式相除的簡單代數(shù)關系。算子表示的是微、積分運算，因此代數(shù)運算規(guī)則不能簡單照套，下面具體討論算子的運算規(guī)則。式中分母多項式D(p)表示對輸出y((1)可進行類似代數(shù)運算的因式分解或因式相乘展開。(p+a)(p+b)x=［p2+(a+b)p+ab］x(2.2-9)

這樣例2.1-1的算子方程(p2+5p+6)i(t)=pe(t)還可以表示為(p+2)(p+3)i(t)=pe(t)(1)可進行類似代數(shù)運算的因式分解或因式相(2)算子方程左、右兩端的算子符號p不能隨便消去。由，解出x=y+C而不是x=y，兩者相差一個任意常數(shù)C，所以不能由px=py得到x=y，即px=py，但x≠y。這一結論可推廣到一般的算子方程：D(p)x=D(p)y，但x≠y

(2)算子方程左、右兩端的算(3)p、1/p位置不能互換。因為所以

(2.2-10)而

形式上先“除”后“乘”即先積分后微分的運算次序，算子可消去；形式上先“乘”后“除”即先微分后積分的運算次序，算子不可消去。

(3)p、1/p位置不能互換。因

2.2.2用算子電路建立系統(tǒng)數(shù)學模型

先將電路中所有動態(tài)元件用算子符號表示，得到算子電路；再利用廣義的電路定律，建立系統(tǒng)的算子方程；最后將算子方程轉換為微分方程。

電感的算子表示可由其電壓電流關系得到，因為

(2.2-12)式中,Lp是電感算子符號，可以理解為廣義的電感感抗值，

式(2.2-12)可以理解為廣義歐姆定律。2.2.2用算子電路建立系統(tǒng)數(shù)學模型(2.2-12

同理，由電容上的電壓電流關系得到(2.2-13)式中,

1/Cp是電容算子符號，可以理解為廣義的電容容抗值，

式(2.2-13)也可以理解為廣義歐姆定律。(2.2-13)式中,1/C例2.2-1如圖2.1-1所示RLC串聯(lián)電路，輸入為e(t)，輸出為電流i(t),用算子法列出算子方程與微分方程。

解

將圖2.1-1中的電感、電容用算子符號表示，得到算子電路如圖2.2-1所示，利用廣義的KVL,列出算子方程式兩邊同時作微分運算（“前乘”p），得算子方程(p2+5p+6)i(t)=pe(t)圖2.2-1例2.2-1的算子電路由上面的算子方程寫出微分方程為例2.2-1如圖2.1-1所示RLC串聯(lián)電路，克萊姆法則有n個未知數(shù)n個方程的線性方程組

設

為未知數(shù)系數(shù)構成的行列式。

為D的第j列的系數(shù)列換為方程組右端的常數(shù)項所得。如果

，則方程組有唯一解

克萊姆法則例2.2-2

如圖2.2-2(a)電路，f(t)為激勵信號，響應為i2(t)，試用算子法求其算子方程與微分方程。

解將圖2.2-2(a)中的電感用算子符號表示如圖2.2-2(b)所示，利用廣義網(wǎng)孔法列出兩個算子方程(3p+1)i1(t)-pi2(t)=f(t)

-pi1(t)+(p+3)i2(t)=0

圖2.2-2例2.2-2電路與算子電路

例2.2-2如圖2.2-2(a)電路，f(利用克萊姆法則，解出(p2+5p+3/2)i2(t)=0.5pe(t)微分方程為也可以寫成y″(t)+5y′(t)+1.5y(t)=0.5f′(t)利用克萊姆法則，解出

例2.2-3如圖2.2-3(a)所示電路輸入為e(t)，輸出為i1(t)、i2(t)，用算子法求其算子方程與微分方程。已知L1=1H，L2=2H，R1=2Ω，R2=1Ω，C=1F。圖2.2-3例2.2-3電路與算子電路例2.2-3如圖2.2-3(a)解將圖2.2-3中的電感、電容分別用算子符號表示如圖2.2-3(b)所示，利用廣義網(wǎng)孔法,列算子方程組解將圖2.2-3中的電感、電容分為避免在運算過程中出現(xiàn)p/p因子，可先在上面的方程組兩邊同時作微分運算,即“前乘”p（當分子分母同時出現(xiàn)p時可約），得到

(p2+2p+1)i1(t)-i2(t)=pe(t)

-i1(t)+(2p2+p+1)i2(t)=0

為避免在運算過程中出現(xiàn)p/p因子，利用克萊姆法則，解出利用克萊姆法則，解出由式(2.2-6)與(2.2-7)，可得(2p3+5p2+5p+3)i1(t)=(2p2+p+1)e(t)微分方程為由式(2.2-6)與(2.2-7)，可得用相同的方法，可以得到微分方程為用相同的方法，可以得到微分方程為2.2.3傳輸（轉移）算子H(p)我們定義傳輸（轉移）算子H(p)為(2.2-14)這樣，系統(tǒng)的輸出可以表示為y(t)=H(p)f(t)(2.2-15)2.2.3傳輸（轉移）算子H(p)我們定義傳輸（轉移）例2.2-4求例2.2-1激勵為e(t)，響應為i(t)的系統(tǒng)傳輸算子H(p)。

解

例2.2-1的算子方程為(p+2)(p+3)i(t)=pe(t)則由

得到

例2.2-4求例2.2-1激勵為e例2.2-5求例2.2-2激勵為f(t)，響應為i2(t)的系統(tǒng)傳輸算子H(p)。

解

例2.2-2的算子方程為(p2+5p+3/2)i2(t)=0.5pe(t)則由得到例2.2-5求例2.2-2激勵為例2.2-6求例2.2-3激勵為f(t)，響應為i1(t)時的系統(tǒng)傳輸算子H1(p)；激勵為f(t)，響應為i2(t)時的系統(tǒng)傳輸算子H2(p)。

解

由可得例2.2-6求例2.2-3激勵為f由H(p)的定義，系統(tǒng)傳輸算子的分母多項式是系統(tǒng)的特征多項式。它僅與系統(tǒng)的結構、參數(shù)有關，與激勵以及激勵加入的端口無關。同一系統(tǒng)，系統(tǒng)的結構、參數(shù)一定，無論激勵以及激勵加入的端口如何改變，其傳輸算子的分母多項式都不會改變。《信號與系統(tǒng)》第二章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析課件2.3LTI因果系統(tǒng)的零輸入響應2.3.1零輸入響應

零輸入響應與激勵無關，數(shù)學模型是齊次微分方程。f(t)=0，算子方程為D(p)y(t)=0式中D(p)是系統(tǒng)的特征多項式，D(p)=0是特征方程，使D(p)=0的值是特征方程的根，稱為系統(tǒng)的特征根。2.3LTI因果系統(tǒng)的零輸入響應2.3.1零輸入響由系統(tǒng)的特征方程p-λ=0，得特征根p=λ，其解（零輸入響應）的一般形式為y(t)=y(0-)eλt

t>0

(2.3-3)由式(2.3-3)可知，此時解的一般模式取決于特征根λ，而解的系數(shù)由初始條件確定。一階齊次微分方程為(p-λ)y(t)=0

y(0-)

(2.3-2)由系統(tǒng)的特征方程p-λ=0，得

由p2+a1p+a0=(p-λ1)(p-λ2)=0，得到二階系統(tǒng)的兩個特征根λ1、λ2。與一階齊次微分方程相同，二階齊次微分方程解的模式取決于兩個特征根λ1、λ2，其表達式為

(2.3-5)式中,系數(shù)C1、C2由兩個初始條件y(0-)、y′(0-)確定。二階齊次微分方程的一般算子形式為(p2+a1p+a0)y(t)=0

y(0-),y′(0-)

(2.3-4)式中,系數(shù)C1、C2由兩個初始條y(0-)=C1+C2

y′(0-)=λ1C1+λ2C2

(2.3-6)

如果p2+a1p+a0=(p-λ)2=0，特征根相同，則是二階重根，此時二階齊次微分方程解的形式為y(t)=C1eλt+C2teλt

t>0(2.3-7)系數(shù)C1、C2仍由兩個初始條件y(0-),y′(0-)確定y(0-)=C1

y′(0-)=λC1+C2y(0-)=C1+C

式中，y(0),y′(0),y″(0),…，yn-1(0)為第二類標準初始條件。由特征方程D(p)=pn+an-1pn-1+...+a1p+a0=(p-λ1)(p-λ2)...(p-λn)=0

得到n個特征根λ1、

λ2、

...、λn，n階齊次方程解的模式取決于這n個特征根，表達式為(2.3-9)

n個系數(shù)C1、C2、...、Cn由n個初始條件y(0)、y′(0)y″(0)、...、yn-1(0)確定。

n階齊次微分方程的算子形式為(pn+an-1pn-1+...+a1p+a0)y(t)=0

y(0),y′(0)y″(0),...,yn-1(0)

(2.3-8)式中，y(0),y′(0),yy(0)=C1+C2+...+Cn

y′(0)=λ1C1+λ2C2+...+λnCn…

yn-1(0)=λ1n-1C1+λ2n-1

C2+...+λnn-1Cn

可用矩陣形式表示為(2.3-10)(2.3-11)y(0)=C1+C2+...+Cn(2.3-10)(2常數(shù)C1、...、Cn可用克萊姆法則解得，或用逆矩陣表示為常數(shù)C1、...、Cn可用克萊姆法則解例2.3-1已知系統(tǒng)的傳輸算子H(p)=

2p/(p+3)(p+4)

，初始條件yzi(0)=1，

，試求系統(tǒng)的零輸入響應。

解

特征根λ1=-3,λ2=-4零輸入響應形式為yzi(t)=C1e-3t+C2e-4t

t>0將特征根及初始條件y(0)=1，y′(0)=2代入

1=C1+C2

2=-3C1-4C2

解出C1=6

C2=-5

yzi(t)=6e-3t-5e-4t

t>0例2.3-1已知系統(tǒng)的傳輸算子H例2.3-2已知電路如下圖所示，開關K在t=0時閉合，初始條件i2(0-)=0，i′2(0-)=-1A/s。求零輸入響應i2(t)。解

先求e(t)→i2(t)時的H(p)

(p+1)i1-i2=e(t)

-pi1+(p+1)i2=0

例2.3-2已知電路如下圖所示，開關K在t=《信號與系統(tǒng)》第二章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析課件解出

代入初始條件

解出代入初始條件2.3.2初始條件標準化全響應初始條件

第一類標準初始條件y(0+)、y′(0+)、...、yn-1(0+)

標準零輸入初始條件yzi(0+)、y′zi(0+)、...、yn-1zi(0+)標準零狀態(tài)初始條件yzs(0+)、y′zs(0+)、...、yn-1zs(0+)

利用電容電壓及電感電流一般不會突變，即iL(0-)=iL(0+)、vC(0-)=vC(0+)，以及具體電路方程，可將系統(tǒng)的非標準初始條件轉變?yōu)闃藴驶跏紬l件。2.3.2初始條件標準化例2.3-3

已知電路如下圖，iL(0-)=1A，vC(0-)=10V，求izi(t)。解D(p)=(p+2)(p+3),λ1=-2,λ2=-3

izi(t)=C1e-2t+C2e-3t

t>0例2.3-3已知電路如下圖，iL(0-)=1A，

標準初始條件應為izi(0+)與izi′(0+)，需將非標準的初始條件iL(0-)=1A，vC(0-)=10V標準化，即將iL(0-)、vC(0-)轉變?yōu)橥耆憫某跏紬l件i(0+)、i′(0+)。因為i(t)=iL(t)，并且電感電流一般不會突變，所以有iL(0-)=iL(0+)=i(0+)=1A；而i′(0+)就要由0+電路解出，列0+電路方程為

令t=0+代入上式，得5i(0+)+i’(0+)+vC(0+)=0

將vC(0-)=vC(0+)，且f(t)=0代入上式，有5+10+i’(0+)=0由上式解得標準初始條件為i(0+)=1A及i’(0+)=-15A/s，解出代入izi(t)得到izi(t)=-12e-2t+13e-3t

t>0令t=0+代入上式，得代入izi(t)得到例2.3-4

電路如下圖所示，已知iL(0-)=1A，vC(0-)=1V，求i2zi(0+)，i’2zi(0+),i2zi(t)。

解

此題也有非標準化初始條件轉化為標準化初始條件的問題。由回路方程組：例2.3-4電路如下圖所示，已知iL(0-)=1A，將e(t)=0、t=0+、i1=iL以及R、L、C參數(shù)值代入，得到i’1

(0+)+i1(0+)-i2(0+)=0(A)

-i1(0+)+i2(0+)+vC(0+)=0(B)由式(B)，i2(0+)=i1(0+)-vC(0+)=0,代入式(A)i’1

(0+)+i1(0+)=0i’1

(0+)=-i1(0+)=-1A/s對式(B)求導-i’1

(0+)+i’2

(0+)+v’C

(0+)=0將e(t)=0、t=0+、i1=iL以及R、L、因為

，代入上式得到標準化初始條件：與例2.3-2的標準化初始條件相同，解得結果相同，不再重復。因為例2.3-5電路如圖2.3-4(a)所示，開關在t=0時，由“1”到“2”。求i(0)，i′(0)及電流i(t)的零輸入響應。解圖2.3-4(a)是有兩個動態(tài)元件的二階系統(tǒng)，其中圖2.3-4例2.3-5電路例2.3-5電路如圖2.3-4(a)所示，開關在t=0時換路后的算子電路如圖2.3-4(b)所示。列網(wǎng)孔算子方程整理將i1(t)=i(t)代入上式，解得換路后的算子電路如圖2.3-4(b)所示。列網(wǎng)孔算子方程因是二階系統(tǒng)，所以

因為所給出的是非標準初始條件，所以要將非標準初始條件轉化為標準初始條件。初始值等效電路如圖2.3-5所示（電容相當于短路，電感相當于開路）。圖2.3-5例2.3-5零輸入等效電路因是二階系統(tǒng)，所以因為所給出的是非標準初始條由圖2.3-5可得

由

izi(0+)=C1+C2=-1.2

i′zi

(0+)=-2C1-5C2=2

解出

最后

由圖2.3-5可得由izi(0+)=C1+C2=-1.2.4LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應

2.4.1單位沖激響應h(t)

輸入為單位沖激信號δ(t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。h(t)由傳輸算子表示為h(t)=H(p)δ(t)

(2.4-1a)

或記為δ(t)→h(t)(2.4-1b)2.4LTI因果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應2.4.1單位n階線性系統(tǒng)的傳輸算子假設H(p)的分母多項式D(p)均為單根，得到將其展開為部分分式之和系數(shù)k1~kn由待定系數(shù)法確定。一個n階系統(tǒng)可以分解為n個一階子系統(tǒng)之和。n階線性系統(tǒng)的傳輸算子假設H(p)的分母多項式D(p)均為單在式(2.4-4b)的等式兩邊同時乘以

(2.4-4a)(2.4-4b)

在式(2.4-4b)的等式兩邊同時乘以

(2.4-4a)得到了hi(t)

的全微分，即對上式兩邊同時積分得到了hi(t)的全微分，由于因果系統(tǒng)的hi(0-)=0，因此一階子系統(tǒng)沖激響應的一般項為(2.4-5)代入式(2.4-3b)，得到n階系統(tǒng)的單位沖激響應為(2.4-6)由于因果系統(tǒng)的hi(0-)=0，因此例2.4-1求例2.2-2系統(tǒng)單位沖激響應h(t)。

解

例2.2-2的傳輸函數(shù)由待定系數(shù)法分解為利用式(2.4-5)，可得h(t)=(3e-3t-2e-2t)u(t)例2.4-1求例2.2-2系統(tǒng)單位沖激響應h(t)。利例2.4-2如下圖所示電路，輸入為電流源i(t)，輸出為電容電壓vC(t)，試求系統(tǒng)的沖激響應h(t)。

解

由廣義KCL列算子節(jié)點方程例2.4-2如下圖所示電路，輸入為電流源i(t表2-2H(p)所對應的h(t)表2-2H(p)所對應的h(t)2.4.2系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yzs(t)

系統(tǒng)的初始狀態(tài)（儲能）為零時的響應。根據(jù)LTI系統(tǒng)的時不變性δ(t-τ)→h(t-τ)根據(jù)LTI系統(tǒng)的比例性f(τ)δ(t-τ)→f(τ)h(t-τ)利用LTI系統(tǒng)的積分特性f(t)分解為沖激信號之和，yzs(t)為沖激響應之和

2.4.2系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yzs(t)根據(jù)LTI系是數(shù)學卷積運算的一種形式，因此也稱卷積法。積分變量為τ，t僅是參變量，計算時按常數(shù)處理。卷積計算步驟

第一步，變量轉換，將f(t)變?yōu)閒(τ)，h(t)變?yōu)閔(t-τ)；第二步，將f(τ)與h(t-τ)兩個函數(shù)相乘；第三步，確定積分上、下限，也就是找到f(τ)h(t-τ)相乘后的非零值區(qū)；最后，對f(τ)h(t-τ)積分得出零狀態(tài)響應yzs(t)。是數(shù)學卷積運算的一種形式，因此也稱卷積法。例2.4-3

如下圖所示電路，已知激勵f(t)=u(t)，用時域法求i(t)。

解

(pL+R)i(t)=f(t)

例2.4-3如下圖所示電路，已知激勵f(t)=u(t)2.5卷積及其性質

2.5.1卷積卷積積分指的是兩個具有相同自變量t的函數(shù)f1(t)與f2(t)相卷積后成為第三個相同自變量t的函數(shù)y(t)。(2.5-1)2.5卷積及其性質2.5.1卷積(2.5-1)

設f1(t)為因果信號，即f1(t)=f1(t)u(t)，而f2(t)不受此限。

設f2(t)為因果信號，即f2(t)=f2(t)u(t)，但f1(t)不受此限。設f1(t)、f2(t)均為有始信號，即f1(t)=f1(t)u(t)，f2(t)=f2(t)u(t)設f1(t)為因果信號，即f1(t)=f1(t)2.5.2任意函數(shù)與δ(t)、u(t)卷積

f(t)*δ(t)=f(t)δ(t)是卷積的單位元。

證2.5.2任意函數(shù)與δ(t)、u(t)卷積δ(t)是

f(t)*δ(t-t1)=f(t-t1)證任意函數(shù)與δ(t-t1)卷積，相當于通過一個延時（移位）器。f(t)*δ(t-t1)=f(t-t1)證任意函數(shù)與任意函數(shù)與u(t)卷積，相當于信號通過一個積分器。

任意函數(shù)與u(t)卷積，相當于信號通過一個積分器。

2.5.3卷積的性質

1.時移f(t-t0-t1)=f1(t-t0)*f2(t-t1)=f1(t-t1)*f2(t-t0)

=f1(t-t0-t1)*f2(t)

=f1(t)*f2(t-t0-t1)

2.5.3卷積的性質2.交換律

f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)圖2.5-3交換律的實用定義2.交換律圖2.5-3交換律的實用定義

3.分配律f1(t)*［f2(t)+f3(t)］=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)圖2.5-4分配律的實用定義3.分配律圖2.5-4分配律的實用定義

4.結合律f1(t)*［f2(t)*f3(t)］=［f1(t)*f2(t)］*f3(t)圖2.5-5結合律的實用定義4.結合律圖2.5-5結合律的實用定義

2.5.4卷積的圖解法計算卷積的基本方法可以直觀確定積分限、積分條件，并且作圖方便。具體步驟

(1)f(t)→f(τ)，函數(shù)圖形不變，僅t→τ。(2)h(t)→h(t-τ)，它包括兩部分運算:①折疊h(t)→h(τ)→h(-τ)；

②移位，t是h(-τ)與h(t-τ)之間的“距離”。(3)將折疊移位后的圖形h(t-τ)與f(τ)相乘。(4)求h(t-τ)與f(τ)相乘后其非零值區(qū)的積分（面積）。t<0左移t>0右移

2.5.4卷積的圖解法t<0左移例2.5-1

f(t)、h(t)如圖2.5-6所示，求y(t)=f(t)*h(t)。圖2.5-6例2.5-1的f(t)、h(t)例2.5-1f(t)、h(t)如圖2.5-6解具體計算如圖2.5-7所示。解具體計算如圖2.5-7所示。圖2.5-7例2.5-1圖解法示意圖圖2.5-7例2.5-1圖解法示意圖圖2.5-7例2.5-1圖解法示意圖圖2.5-7例2.5-1圖解法示意圖2.5.5卷積的微分、積分性質卷積的微分、積分運算信號的微分、積分運算。(1)微分(2)積分2.5.5卷積的微分、積分性質(2)積分(3)微、積分性。若y(t)=f1(t)*f2(t)

則y(i)(t)=f(j)1(t)*f(i-j)2(t)

其中,i、j取正整數(shù)時為導數(shù)的階次；i、j取負整數(shù)時為重積分的階次。特別地,

(3)微、積分性。若利用式(2.5-14)的結果，可由f(t)與h(t)的卷積公式，推出f′(t)與階躍響應g(t)的卷積公式，即g(t)是系統(tǒng)對單位階躍信號的零狀態(tài)響應，簡稱單位階躍響應。

利用式(2.5-14)的結果，可由f例2.5-2

f(t)、h(t)如圖2.5-6所示，用微、積分性質求

y(t)=f(t)*h(t)。例2.5-2f(t)、h(t)如圖2.5-6所示，y(t)=f(t)*h(t)=f′(t)*g(t)

=E［δ(t-1)-δ(t-2)］*

1/2

(1-e-2t)u(t)

=E/2

(1-e-2(t-1))u(t-1)-E/2

(1-e-2(t-2))u(t-2)

=E/2

(1-e-2(t-1))［u(t-1)-u(t-2)］+E/2(e-2(t-2)-e-2(t-1))u(t-2)

E/2

(1-e-2(t-1))1<t<2

E/2(e-2(t-2)-e-2(t-1))t>2

0其它=結果與例2.5-1相同。y(t)=f(t)*h(t)=f′(t)*g(t)=結2.6LTI因果系統(tǒng)的全