8-2多元函數(shù)的概念教學課件

第二節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念一、區(qū)域1.鄰域點集稱為點P0的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強調鄰域半徑,點P0的去心鄰域記為：也可以寫成：二元函數(shù)的定義域2.區(qū)域(1)內點、外點、邊界點設有點集

E

及一點

P:若存在點P的某鄰域U(P)E,若存在點P的某鄰域U(P)∩E=,則稱P為E的內點；則稱P為E的外點

;若對點P的任一鄰域U(P)既含

E中的內點則稱P為E

的邊界點

.也含E的外點,顯然,E的內點必屬于E,

E的外點必不屬于E,E的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E.(2)聚點若對任意給定的,點P

的去心領域內總有E中的點,則稱P是E的聚點.聚點可以屬于E,也可以不屬于E(因為聚點可以為E的邊界點）所有聚點所成的點集成為E的導集.D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域若點集E的點都是內點，則稱E為開集；若點集E

E

,則稱E為閉集；

若集D中任意兩點都可用一完全屬于D的

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域,簡稱區(qū)域;。。

E的邊界點的全體稱為E的邊界,記作E;折線相連,例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域

整個平面點集是開集，是最大的開域,也是最大的閉域；但非區(qū)域.o

對區(qū)域D,的距離APK,則稱D為有界域,

否則稱為無界域.若存在正數(shù)K,使一切點PD與某定點A

3.n維空間n元有序數(shù)組的全體稱為n維空間,n維空間中的每一個元素稱為空間中的一個點，稱為該點的第k個坐標.記作:即:數(shù)當所有坐標時，稱該元素為中的零元,記作：O.的距離記作中點a

的

鄰域為規(guī)定為與零元O的距離為二、多元函數(shù)的概念引例:圓柱體的體積定量理想氣體的壓強三角形面積的海倫公式定義：設非空點集點集D

稱為函數(shù)的定義域；數(shù)集：稱為函數(shù)的值域

.映射稱為定義在D上的一元函數(shù)記作：設非空點集f為某一對應規(guī)則,則稱對應規(guī)則f為定義在D上的二元函數(shù)，記作：使對于每一個有序數(shù)組(x,y)都有唯一確定的實數(shù)z與之對應，定義：其中，變量x,y稱為自變量；z稱為因變量；點集D稱為函數(shù)的定義域，也可以記為D(f),設非空點集f為某一對應規(guī)則,對于(x0,y0)所對應的z值，記為：定義：或稱為當時，函數(shù)的函數(shù)值對于(x0,y0)所對應的z值，記為：或稱為當時，函數(shù)的函數(shù)值.全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域，記為：Z或Z(f).例如,

二元函數(shù):定義域為:圓域圖形為中心在原點的上半球面.說明:

二元函數(shù)

z=f(x,y),(x,y)D的圖形一般為空間曲面.例：求函數(shù)的定義域解：要是函數(shù)有意義，必須滿足：3-32-2例：求函數(shù)的定義域解：要是函數(shù)有意義，必須滿足：用兩種不等式表示平面區(qū)域用兩種不等式表示平面區(qū)域xyo用兩種不等式表示平面區(qū)域D：直線y=x，y=1，x=2圍成。用兩種不等式表示平面區(qū)域D：三、多元函數(shù)的極限定義2.

設n元函數(shù)P0是D的聚點，若存在常數(shù)A,對一切記作:則稱A為函數(shù)f當時的極限.都有:對任意正數(shù)

,總存在正數(shù),當n=2時,記二元函數(shù)的極限可寫作：例1.

設求證：證:故總有要證例2.

設求證：證：故總有要證若當點函數(shù)趨于不同值或有的極限不存在，解:設P(x,y)沿直線y=kx趨于點(0,0),在點(0,0)的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k值不同極限不同!在(0,0)點極限不存在.以不同方式趨于時，例3.討論函數(shù)例4.求解:因而此函數(shù)定義域不包括x,y軸則故四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3

.設n元函數(shù)定義在D上,如果函數(shù)在D上各點處都連續(xù),則稱此函數(shù)在

D

上連續(xù).如果存在否則稱為不連續(xù),此時稱為間斷點.則稱n元函數(shù)連續(xù),例如,函數(shù)在點(0,0)極限不存在,又如,函數(shù)上間斷.故(0,0)為其間斷點.在圓周結論:一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內連續(xù).定理：若f(P)在有界閉域D上連續(xù),則*(4)f(P)必在D上一致連續(xù).在D上可取得最大值M及最小值m;(3)對任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致連續(xù)性定理)閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質:(證明略)解:原式例5.求例6.求函數(shù)的連續(xù)域.解:內容小結1.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開集

2.多元函數(shù)概念n元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)有3.多元函數(shù)的極限4.多元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)2)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內連續(xù)P11題2;4;5(3),(5)(畫圖);8P72題3;4思考與練習解答提示:P11題2.稱為二次齊次函數(shù).P11題4.P11題5(3).定義域P11題5(5).定義域P12題8.間斷點集P72題3.定義域P72題4.令y=kx，若令,則可見極限不存在備用題1.設求解法1令1.設求解法2令即2.是否存在？解：所以極限不存在.3.證明在全平面連續(xù)