2021年高考數(shù)學經典例題專題五三角函數(shù)與解三角形【含答案】

專題五三角函數(shù)與解三角形

一、單選題

1.若。為第四象限角，則（）

A.cos2o>0B.cos2o<0C.sin2a>0D.sin2a<0

D

由題意結合二倍角公式確定所給的選項是否正確即可.

【詳解】

3乃

——+2%乃<a<2乃+2左肛攵GZ

方法一：由。為第四象限角，可得2,

所以3萬+4人乃<2a<4%+4〃肛后&Z

此時2a的終邊落在第三、四象限及V軸的非正半軸上，所以sin2e<°

故選：D.

a=--cos2a=cos-->0

方法二：當6時，1,選項B錯誤；

?！鉹2吟八

當3時，I3J,選項A錯誤；

由a在第四象限可得：sina<0,cosa>0,貝?sin2a=2sinacosa<0,選項c錯誤，選項D正確;

故選：D.

2.已知"￡（°，兀），且3cos2a_8cosa=5,則sina=（）

V52

A.3B.3

C.3D.9

A

用二倍角的余弦公式，將已知方程轉化為關于cosa的一元二次方程，求解得出cosa,再用同角間的三

角函數(shù)關系，即可得出結論.

【詳解】

3cos2a-8cosa=5,得6cos2a-8cosa-8=0,

2

2八cosa=——

即3cos-a-4cosa—4=0,解得3或cosa=2(舍去),

,/ae(0,1),二sina=71-cos2a=——

又3.

故選:A.

sinx+x

3.函數(shù)f(x)=cosx+x在［一/，兀］的圖像大致為()

D

sin(-x)+(-x)-sinx-x

22

由cos(-x)+(-x)cosx+x得/(x)是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱.又

兀

/(?)=>0

一1+12?故選D.

4.函數(shù)片xcosA+sinx在區(qū)間［-n,口］的圖象大致為()

A.B.

c.

A

首先確定函數(shù)的奇偶性，然后結合函數(shù)在工=萬處的函數(shù)值排除錯誤選項即可確定函數(shù)的圖象.

【詳解】

因為f(x)=xcosx+sinx則f(-x)=-xcosx—sinx=-/(x)

即題中所給的函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關于坐標原點對稱，

據(jù)此可知選項切錯誤；

且工=萬時，y=%cos乃+sin?=一%<0,據(jù)此可知選項§錯誤.

故選:A.

函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖

象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調性，判斷圖象的變化趨勢.(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.(4)從

函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.利用上述方法排除、篩選選項.

2

5.在比中，cos(>3,力信4,於3,則tan廬()

A.右B.2后C.忑D.8書

C

先根據(jù)余弦定理求C,再根據(jù)余弦定理求C0S8,最后根據(jù)同角三角函數(shù)關系求tanA

【詳解】

設AB—c,BC=a^CA=b

2

c2=a2+b2-2abcosC=9+16-2x3x4x—=9.*.c*=3

3

a2+c2-b2]；，sinB=^~(~)2-「.tanB=4右

cosBD=----------二-

lac￡

故選：C

兀

6.已知2tan。-tan(6'+4)=7,則tan()

A.-2B.-1C.1D.2

D

利用兩角和的正切公式,結合換元法，解一元二次方程，即可得出答案.

【詳解】

?.?2tan9-tan?=7.-.2tan<9-tan^+1=7

I4J,l-tan（9,

2t1+/=7

令￡=1211。"/1,則1-/,整理得J—4/+4=0,解得"2,即tan6=2.

故選：D.

JI

f（X）=COS（69X+—）「,

7.設函數(shù)6在L兀，兀」的圖像大致如下圖,則/'(x)的最小正周期為()

九

/\/r

。、

10兀7兀

A.9B.6

4713兀

C.TD.T

c

4乃71

cos---0+一=0

是函數(shù)“X）圖

由圖可得：函數(shù)圖象過點茅。,即可得到96,結合

47r7t兀3

-----G+———CD=—

象與x軸負半軸的第一個交點即可得到962,即可求得2,再利用三角函數(shù)周期公式

即可得解.

【詳解】

由圖可得：函數(shù)圖象過點

4萬71

f（\cos-----694--=0

將它代入函數(shù)/1町可得：96

是函數(shù)/（x）圖象與x軸負半軸的第一個交點,

又

4乃71TC3

-------0)-\—=—a)=—

所以962,解得：2

2萬2萬47r

①。3

所以函數(shù)/（“）的最小正周期為

2

故選：C

8.2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（兀Day）.歷史上，求圓周率〃的方法有多種，與中國傳

統(tǒng)數(shù)學中的“割圓術”相似.數(shù)學家阿爾?卡西的方法是：當正整數(shù)"充分大時，計算單位圓的內接正

6〃邊形的周長和外切正6〃邊形（各邊均與圓相切的正6〃邊形）的周長，將它們的算術平均數(shù)作為2萬的

近似值.按照阿爾?卡西的方法，乃的近似值的表達式是（）.

r,30°30°、/.30030。)

3〃sin——+tan——6〃sin——+tan——

nnB.I""1

A.;

3人但+t0/60。60、

6nsin----+tan-----

C.n〃)D.n

A

計算出單位圓內接正6〃邊形和外切正6〃邊形的周長，利用它們的算術平均數(shù)作為2〃的近似值可得出結

果.

【詳解】

360。=60。30°

c,2TsVin----

單位圓內接正6〃邊形的每條邊所對應的圓周角為〃x6〃，每條邊長為n

30°

⑵sin—

所以，單位圓的內接正6〃邊形的周長為n

c30°30°

2tan----12〃tan----

單位圓的外切正6〃邊形的每條邊長為〃，其周長為n

.30°30°

1277sin-----1-1277tan

6〃sin"+tan30°

/.2萬=-------------------n

2Inn

*3〃sin迎+tan

則In

故選：A.

/W=sinx+y

9.已知函數(shù).給出下列結論:

①“X)的最小正周期為2%；

②(21是“幻的最大值；

71

③把函數(shù)'=$皿》的圖象上所有點向左平移3個單位長度，可得到函數(shù)N=/(x)的圖象.

其中所有正確結論的序號是()

A.①B.①@C.②③D.①②③

B

對所給選項結合正弦型函數(shù)的性質逐一判斷即可.

【詳解】

f(x)=sin(x+—)T-=2萬

因為3,所以周期co,故①正確:

「fJi、.冗、5zr1,

/(―)=sin(—+-)=sin——=一豐1

22362故②不正確;

71.,乃、

—y-sin（xH——）

將函數(shù)y=sinx的圖象上所有點向左平移3個單位長度，得到3的圖象,

故③正確.

故選：B.

71

y=sin（2x+—）

10.將函數(shù)5的圖象向右平移10個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)（)

13乃5,

[―^]

A.在區(qū)間4'4上單調遞增B.在區(qū)間4上單調遞減

[5%3乃]

在區(qū)間4’2」上單調遞增匕~，2加

C.D.在區(qū)間2上單調遞減

A

由函數(shù)圖象平移變換的性質可知:

y-sin[2x+y71

將的圖象向右平移10個單位長度之后的解析式為:

71

y=sin2x----+sin2x

Iiojy

TTTT

2k兀---<2x<2女乃+—（后eZ）

則函數(shù)的單調遞增區(qū)間滿足：22'

315乃

令k=l可得一個單調遞增區(qū)間為L彳'彳

jr3乃

2左乃+—<2x<2k/rH---（左wZ）

函數(shù)的單調遞減區(qū)間滿足：22

517乃

」，本題選擇A選項.

令k=l可得一個單調遞減區(qū)間為:4’4

二、多選題

11.下圖是函數(shù)尸sin（3戶0）的部分圖像，則sin（3戶。）二()

.兀、/5兀c、

sin(x+—)sin(--2x)cos(z2x+—)cos(—-2x)

A.3B.3C.6D.

BC

首先利用周期確定口的值，然后確定9的值即可確定函數(shù)的解析式，最后利用誘導公式可得正確結果.

【詳解】

￡_271兀2萬2乃_

一乃---—(D-——=——=2

由函數(shù)圖像可知:~2~362,貝IT71，所以不選A,

271

-71H---

一5萬

362x-]-(p=+2k7r(kGZ)

當212時，y=T

2

cp-2卜兀+—兀(kGZ)

解得：3

即函數(shù)的解析式為:

(2、.c乃乃兀

ysin2x+一%+2攵%sin2x4----1—cosl2x+—I=sinI—~2x

I3)I62J63

5TT

cosI2x+—I=_cos(——2x)

而6

故選：BC.

已知/'（x）=/s〃?（3x+。）（/＞0,。＞0）的部分圖象求其解析式時，/比較容易看圖得出，困難的是求待

定系數(shù)。和0,常用如下兩種方法：

2兀

（1）由3=T即可求出°；確定0時，若能求出離原點最近的右側圖象上升（或下降）的“零點”橫坐標

孫則令3蜀+0=0（或3蜀+0="），即可求出0.

（2）代入點的坐標，利用一些已知點（最高點、最低點或“零點”）坐標代入解析式，再結合圖形解出。和

0,若對4。的符號或對0的范圍有要求，則可用誘導公式變換使其符合要求.

12.己知/（"）="sm3+（工＞0,。＞0,。'（°，2%的圖象如圖，貝ij（）

兀

(p=-

A.0=2B.3

_5兀

C.4=2D.6時，/W取最小值

AB

根據(jù)題意得，2,且函數(shù)過點（°』），15'人再待定系數(shù)求函數(shù)解析式，并討論函數(shù)最值.

【詳解】

=>T=7T

23

對于A選項，由圖可知：,故A正確;

T=—=TT

對于B選項，解法一：由8，解得：0=2,由于函數(shù)圖象過點

I71I/JY

0=Jsin2x--+^?2x——t(p=7r+2kn,kJZ(p=——卜2k7i,keZ

所以I3人所以3,解得：3

由于。?0,2兀)，所以"5,故B選項正確；

71

解法二：圖象是由卜="sin°x的圖象向左平移%而得,

f(x)=Jsin2x+—=sin2x+—(p=—

I6)I3人故3,故B選項正確;

（01）/（0）=｛嗚=1=>/=不

對于C選項，由于函數(shù)圖象過點I'人故303,故c選項錯誤；

/0今由（2刀+m）x=^-2x+g=2兀f（x\

對于D選項，由于7373人所以6時，3,1I，不取最小值，故D選

項錯誤.

故選：AB

7U

13.將函數(shù)的圖象向左平移7個單位長度，再將所得圖象上所有點的橫坐標擴大為原來的2倍,

得到函數(shù)gG）的圖象，則下列說法正確的有（）

A.函數(shù)8（“）的最小正周期為2萬

4乃2萬

4k兀----,4k兀+——

函數(shù)g（“）

B.的單調遞增區(qū)間為L33

_2萬

C.直線"3是函數(shù)g（x）圖象的一條對稱軸

函數(shù)g（x）圖象的一個對稱中心為點不。

D.

BC

利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出函數(shù)gG）的解析式，利用正弦型函數(shù)的周期公式可判斷A選項的正誤;

利用正弦型函數(shù)的單調性可判斷B選項的正誤；利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷CD選項的正誤.

【詳解】

,/x_--71"sinx+g

將函數(shù)J(x尸smx的圖象向左平移6個單位長度，可得到函數(shù)k6J的圖象,

再將所得圖象上所有點的橫坐標擴大為原來的2倍，可得到函數(shù)gGX陪的圖象

對于A選項，函數(shù)gW的最小正周期為2,A選項錯誤；

Ikn<Ikn+—(keZ)4k兀一"-Wx<4k兀+”-(keZ)

對于B選項，由2262，解得33

(、4br--—,4^+—(keZ)

所以，函數(shù)J的單調遞增區(qū)間為L33」，B選項正確;

對于CD選項,

_21

所以，直線X3是函數(shù)g(x)圖象的一條對稱軸，C選項正確,

仔可g(x)

點I3不是函數(shù)J圖象的一個對稱中心，D選項錯誤.

故選：BC.

三、填空題

八71

f(X)=SZ772X4-出cosx--xe0,一

14.函數(shù)4(L2」)的最大值是

1

化簡三角函數(shù)的解析式，

f(X)=1-cos2X+y/3cosx--=-cos2X+V5cosx+—=

可得“44

-(cosx-^y-)2+1

X€[0,—]

由2」，可得cosxc[rA0J,

G

cosx=——

當2時，函數(shù)/(X)取得最大值1.

/(x)=COSf<z)x-工［3>0)/(x)</f—

15.設函數(shù).I6J，若對任意的實數(shù)X都成立，則①的最小值為

2

3

因為佝少用對任意的實數(shù)x都成立，所以小)取最大值/同

7T7T2

-0)一一=2kli(k6Z),:.co=Sk+-(keZ)

所以463

2

因為3>°,所以當左=°時，"取最小值為

16.若函數(shù)/(x)=sin(x+0)+cosx的最大值為2,則常數(shù)*的一個取值為—

—2k7r+—,keZ

2(2均可)

根據(jù)兩角和的正弦公式以及輔助角公式即可求得/(")=Jc°s2"+(sin“+l)sm(x+'),可得

4卡夕+酬夕+1)2=2,即可解出.

【詳解】

f(x)=cos0sinx+(sincp+l)cosx=Jcos20+(sin°+l)sin(x+8)

因為

所以質歷而=2,解得sin0=l,故可取夕二：

兀271,一

—2k九+一,kwZ

故2(2均可).

17.某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖所示.。為圓孔及輪廓圓弧43所在圓的圓

心，力是圓弧絲與直線/G的切點，6是圓弧與直線8C的切點，四邊形頌；為矩形，BC1DG,垂足為

3

C,tanNOD?5,BHHDGt上acm,DE或cm,4到直線龐和玨'的距離均為7cm,圓孔半徑為1

cm,則圖中陰影部分的面積為cm2.

3

tanZOZ)C=-

利用5求出圓弧Z8所在圓的半徑，結合扇形的面積公式求出扇形的面積，求出直角

△04”的面積，陰影部分的面積可通過兩者的面積之和減去半個單位圓的面積求得.

【詳解】

設03=04=r，由題意NM=NN=7,EF=12,所以NE=5,

因為/尸=5,所以//GP=45°,

因為BH//DG,所以乙4Ho=45；

因為〃G與圓弧相切于A點，所以。4_L/G,

即△04"為等腰直角三角形；

ACC八6>2=5--rDQ=1-—r

在直角△。。。中，2.2,

+_33V2?572

tanZ.ODC=——=-21-----尸=25-----r

因為°。5,所以22

解得八=2及：

A5,=-x2>/2x2V2=4

等腰直角△3〃的面積為2；

5,+S2--^=4+—

所以陰影部分的面積為22.

.57

4H---

故答案為2

18.如圖，在三棱錐尸-/a'的平面展開圖中，AOI,4B=AD=6ABVAC,ABVAD,/G4F30°,

貝Ucos/FCB=.

4

在A/CE中，利用余弦定理可求得C￡,可得出C尸，利用勾股定理計算出8C、BD,可得出8/，然

后在ABC產中利用余弦定理可求得cosN/C8的值.

【詳解】

vABLAC，AB=6，/C=l，

由勾股定理得BC=YIAB2+AC2=2,

同理得BD=V6,BF=BD=V6,

在A/CE中，ZC=1,AE=AD=6NC/E=30°,

=4C2+ZE2—2/CZECOS30。=l+3-2xlxgxJ=1

由余弦定理得2

；.CF=CE=1,

在△8CF中，BC=2,BF=屈,CF=1,

。產+BC?-BF:1+4-61

cosZFCB=

由余弦定理得2CFBC2x1x2~~4

故答案為4

1

sinx+---

19.關于函數(shù)/'(x)=sinx有如下四個

①/'(x)的圖象關于y軸對稱.

②/'(x)的圖象關于原點對稱.

TC

③/■(1)的圖象關于直線產5對稱.

④/'(x)的最小值為2.

其中所有真命題的序號是.

②③

利用特殊值法可判斷命題①的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷命題②的正誤；利用對稱性的定義可判

斷命題③的正誤；取一乃<X<°可判斷命題④的正誤.綜合可得出結論.

【詳解】

兀

f2

對于命題①，r4

所以，函數(shù)/（“）的圖象不關于歹軸對稱，命題①錯誤；

對于命題②，函數(shù)/（"）的定義域為kk'S'eZ},定義域關于原點對稱,

/(-x)=sin(-x)+--~r=-sinx--；-二一sinx+—=—/(x)

sin(—x)sinxIsinxJ

所以，函數(shù)/(X)的圖象關于原點對稱，命題②正確；

對于命題③,

_71

所以，函數(shù)/（“）的圖象關于直線對稱，命題③正確:

f(x)=sinx+-----<0<2

對于命題④，當一乃<》<0時，sinx<0,貝ijsinx

命題④錯誤.

故②③.

20.《九章算術》是中國古代的數(shù)學名著，其中《方田》一章給出了弧田（由圓弧和其所對弦所圍成）面

積的計算公式：弧田面積-5（弦X矢+矢之）.公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于圓弧的最高點

8JI

到弦的距離.如圖，弧田是由圓弧恭和其所對弦N8圍成的圖形，若弧田的弧標長為了，弧所在的圓

的半徑為4,則利用九章算術中的弧出面積公式計算出來的面積與實際面積之差為.

設圓弧力8所對圓心角的弧度為a,由題意求得3.再運用扇形面積公式公式和三角形面積公式求

得弧田實際的面積，利用九章算術中的弧田面積公式計算面積，可得答案.

【詳解】

.8兀2兀

ax4=—a=—

設圓弧力8所對圓心角的弧度為a,由題可知3解得3

L次義4=3兀Lsin女X42=40

故扇形的面積為233,三角形的面積為23故弧田實際的面

臣-4G

積為3

作分別交N3,凝于點D,C,則工8=4括，00=2,

1

—X06x2+22)=4百+2

所以利用九章算術中的弧田面積公式計算出來的面積為2

86+2—等

則所求差值為

86+2-則

故答案為3

21.拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為

邊，向外構造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（此等邊三角形

稱為拿破侖三角形）的頂點.”已知△力4c內接于單位圓，以BC,AC,為邊向外作三個等邊三角

形，其外接圓圓心依次記為"，B',C'.若乙4c3=30。，則△HB'C'的面積最大值為.

3+28

6

nc。L,,WB"=-(/+〃)

設3C=a,ZC=b,求出/8C4=90,從而可得3,在A/BC中，設/氏4c=a,

由正弦定理用a表示出這樣/+〃就表示為a的函數(shù)，然后由降幕公式，兩角差的正弦公式化函

數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，結合正弦函數(shù)性質可得最大值，從而得面積最大值.

【詳解】

解：設BC=a,4C=b,由題意以"，8C,。邊向外作等邊三角形△的￡,BCD,ABF其外接圓

圓心分別為8',0',

連接CB',CA'并延長分別交EA,BD于P,。

CB'=-CP=-x—b=^-bCA'=-a

則3323,同理3,

△ZCE/8C。都是等邊三角形，則NPC4=N0C8=30°,又N/C8=30°,則N4C8'=90°,所以

A'B'2=CB'2+CA'2=^(a2+b2)

S=LA'BA?AB'=?A舊2=&/+/)

是正三角形，所以其面積為22412,

△NBC內接于單位圓，即其外接圓半徑為r=1,則a=2rsinN氏4c=2sin/84C,同理

6=2sinNZ8C,設/6ZC=a,則乙8。=180°-30°—a=150°—a,

a2+〃=4(sin2ZBAC+sin2Z.ABC)=4[sin2a+sin?(150。-a)]

1A.212百.)

=4回/a+('cosa+'qna)?]=4彳sin-a+wcos-a+萬sinacosa

22L7

r.22c6?=l+6x--cos2。+VJsin2a=4+VJsin2a-3cos2a

=7sina+cosa+2A/3sinacosa2

]y/i

=4+2百(5加2”彳。。520)=4+2氐皿2a-60。)，

0°<a<150°，-60°<2a-60°<240°，

所以當a=75。時，/+〃取得最大值4+2百，

—X(4+2V3)=3+2A^

所以△459的面積最大值為126.

3+2百

四、雙空題

tan(e-?)=

22.(2020?浙江高考真題試卷)已知tan(9=2,則cos26=

_3]_

~53

,八九、

tan(^-—)

利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos28,根據(jù)兩角差正切公式得

【詳解】

cos2。一sin?0_1-tan20_l-223

cos20=cos26—sin2。=

cos2+sin201+tan201+225,

tan(e-()=tan0—12—11

1+tan01+239

3]_

5

故53

23.在A/BC中，AABC=90°(AB=4,8c=3,點。在線段/C上，若/8Z)C=45°,則

BD=.cosZABD=

12加772

510

AB京土而"加.

在A48Q中，正弦定理有:sinNADB

I------rsinZ5yiC=—=-,cosZ5JC=—=-8。=生叵

AC=yiAB~+BC2=5,AC5/C5,所以5

cosNABD=cos(Z5Z)C-ZBAC)=cos—cos/.BAC+sm—smZ.BAC

4410

asinCsin(/+C)=2百csinAsin2—

24.△力3c內角A,8,C的對邊分別為a,bc2,則角

；若的面積為則邊長的值為.

B的值為a+c=6,A/BC26,b

71

T2V3

tad=@

根據(jù)已知等式及三角形內角的性質，應用正弦定理的邊角互化可得23,即可求角氏再根據(jù)三角

形面積公式求改，由余弦定理求邊長人即可.

【詳解】

asinCsin(4+C)=2百csinAsin2一sinAsinCsin(J+C)=2GsinCsin4sin2g

由2知:

?.?sinZsinCrO,A+C=》—B

c-=2限淮0＜乙乙tan1近

sin5=2V3sin2—2sin-

2,即222,又22,故23,

571即昨

?76,

—acsinB=2A/3

2,即比‘8,而a+c=6,

?.(a+c)~=ci+2uc+c=36,有/+/=20

222

由余弦定理知：b=a+c-2accosB=20-S=nt則6=2百

兀

故3,2百.

五、解答題

25.△/4C中，sin?/—sirA?-siMesin咫inC

（1）求4；

（2）若叱3,求△/8C周長的最大值.

2萬

⑴3.（2）3+2?

（1）利用正弦定理角化邊，配湊出cos%的形式，進而求得A；

（2）利用余弦定理可得到（"C+"）一"C'"'=9,利用基本不等式可求得/C+N8的最大值，進而

得到結果.

【詳解】

222

（1）由正弦定理可得：BC-AC-AB=AC-ABt

AC2+AB2-BC2]_

/.cosA=

2ACAB2,

./_2乃

12221

（2）由余弦定理得：BC=AC+AB-2AC-ABcosA=AC+AB+AC-AB=9t

即（力。+/8）2—工。?/3=9

AC+AB2

-AC-AB<

2（當且僅當AC=4B時取等號）,

:.9=（AC+AB^-ACAB>（AC+AB^-AC+AB

2

解得：AC+AB<2百（當且僅當NC=Z8時取等號）,

:.“BCJ^^.L=AC+AB+BC<3+2A/3；周長的最大值為3+2后.

2/兀八/5

COS(―+J)+COSJ=—

26.△46C的內角4B,。的對邊分別為a,b,c,已知24

(1)求力;

b-c=-a

(2)若3,證明：△力比■是直角三角形.

A,——兀

(1)3；(2)證明見解析

A7i.,35

cos7+/+cosA=—1-cos9A+cos4=一

(1)根據(jù)誘導公式和同角三角函數(shù)平方關系，12)4可化為4,

即可解出；

222b—C=--Cl.

(2)根據(jù)余弦定理可得從+c-a=bc,將3代入可找到“，仇。關系，

再根據(jù)勾股定理或正弦定理即可證出.

【詳解】

2「乃八/5.25

cos—+A+cos?l=-sm2A+cosA=-

(1)因為12J4,所以4,

1-cos2Z+cos4=一

即4,

cosA=—

解得2,又°<4<)，

A,=—式

所以3.

A_兀.b2+c2-a21

A=~cosA=---------=—

(2)因為3,所以2bc2,

即/+c，2-/=6c①，

又3②，將②代入①得，"+/一39-。)=兒,

即2/+2c2-5bc=0,而6>c,解得b=2c,

所以"=

故〃="+。2,

即△力3c是直角三角形.

27.△力3c的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c.己知所150°.

(1)若天G。，加2幣,求4c的面積；

V2

(2)若sin/l+S'sin(?=2,求c

⑴石；⑵15°.

(1)已知角8和6邊，結合凡。關系，由余弦定理建立C的方程，求解得出a，c,利用面積公式，即可得

出結論：

(2)將〃=30。-。代入已知等式，由兩角差的正弦和輔助角公式，化簡得出有關C角的三角函數(shù)值，結

合°的范圍，即可求解.

【詳解】

(1)由余弦定理可得6?=28=/+c2-2ac.c°sl50°=7c二

-c廠zS=-acsinB=s/3

.,.c=2,a=2j3,.\△/BC的面積2；

(2)A+C=30°,

sin4+GsinC=sin(30°-C)+V3sinC

=；cosC+等sinC=sin(C+30°)=#

???0°<C<30°,.-.30°<C+30°<60。，

.?.。+30。=45。,，。=15。

28.在中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知。=3,c=0,8=45。.

A

(1)求sinC的值：

4

cosZADC=——

(2)在邊比■上取一點〃，使得5,求tan/CMC的值.

sinC=tanNDAC——

(1)5.(2)11.

(1)利用余弦定理求得力，利用正弦定理求得sinC.

(2)根據(jù)cos//。。的值，求得sin/NDC的值，由求得cosC的值，從而求得

sin/D4C,cosN°'C的值，進而求得tan/D4c的值.

【詳解】

h2-a2+c2-laccosB=9+2-2x3xy/2x5

所以°=

(1)由余弦定理得26

h.「csin5旦

------=>smC=--------

由正弦定理得sinCsin8b5

cosAADC=~—^ADCe\—,7rIsinZADC-Vl-cos2Z.ADC=—

(2)由于5,12J,所以5.

NZOCejg,/cos。=Jl-sin?C=2^

由于12),所以I2),所以5

sinADAC=sin(乃-ADAC)=sin(N/DC+ZC)

所以

3=2亞_x__(__4|_、小Ix27—5____

=sinZADC-cosC+cosZADC-sinC55\5J525

/DACef0,f[cosADAC=Vl-sin2ADAC=

由于12人所以25

sinZDAC2

tanZDAC=

所以cosZDACTT

29.在①。，=百，②csin"=3,③°=?這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三

角形存在，求C的值；若問題中的三角形不存在，說明理由.

c=￡

問題：是否存在△/8C,它的內角48，C的對邊分別為且sin/=Gsin8,6,?

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

詳見解析

解法一：由題意結合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得