北京安慧北里中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

北京安慧北里中學(xué)2021年高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)時(shí)命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)時(shí)該命題不成立，那么可推得 （

） A．當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立 B．當(dāng)n=6時(shí)該命題成立 C．當(dāng)n=8時(shí)該命題不成立 D．當(dāng)n=8時(shí)該命題成立參考答案：A略2.若那么下列各式中正確的是（

）A．

B.

C.

D.參考答案：C略3.右圖是某年中央電視臺(tái)舉辦的挑戰(zhàn)主持人大賽上，七位評(píng)委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（

）A．85，1.6

B.84，4

C．84，1.6

D．85，4參考答案：A4.如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，俯視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的體積是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A5.在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示．若將運(yùn)動(dòng)員按成績(jī)由好到差編為1﹣35號(hào)，再用系數(shù)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績(jī)?cè)趨^(qū)間[139，151]上的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)是(

)A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：B【考點(diǎn)】莖葉圖．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】對(duì)各數(shù)據(jù)分層為三個(gè)區(qū)間，然后根據(jù)系數(shù)抽樣方法從中抽取7人，得到抽取比例為，然后各層按照此比例抽取．【解答】解：由已知，將個(gè)數(shù)據(jù)分為三個(gè)層次是[130，138]，[139，151]，[152，153]，根據(jù)系數(shù)抽樣方法從中抽取7人，得到抽取比例為，所以成績(jī)?cè)趨^(qū)間[139，151]中共有20名運(yùn)動(dòng)員，抽取人數(shù)為20×=4；故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了莖葉圖的認(rèn)識(shí)以及利用系統(tǒng)抽樣抽取個(gè)體的方法；關(guān)鍵是正確分層，明確抽取比例．6.如圖所示，D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，則向量等于

A.－＋B.－－C、－D、＋參考答案：A7.正方體ABCD–A1B1C1D1中，E、F分別是AB、BB1的中點(diǎn)，則A1E和C1F所成的角是（

）（A）arcsin

（B）arccos

（C）

（D）參考答案：A8.執(zhí)行下圖的程序框圖，如果輸入的，那么輸出的(

).

..

.參考答案：A略9.某機(jī)械零件由2道工序組成，第一道工序的廢品率為a，第二道工序的廢品率為b，假設(shè)這兩道工序出廢品是彼此無關(guān)的，那么產(chǎn)品的合格率為

(

)A．a(chǎn)b-a-b+1

B．1-a-b

C．1-ab

D．1-2ab

參考答案：A略10.在△ABC中，分別是內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，若，則△ABC（

）一定是銳角三角形

.一定是鈍角三角形

.一定是直角三角形

.可能是銳角三角形,也可能是鈍角三角形參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點(diǎn)和拋物線，過拋物線C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若，則_________．參考答案：－1或2【分析】首先得到拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，表示出韋達(dá)定理的形式，得到，，，；根據(jù)，由向量數(shù)量積運(yùn)算可構(gòu)造出關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】由已知可得拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：

焦點(diǎn)坐標(biāo)為：設(shè)直線的方程為：由得：設(shè)，，則，，，又，即解得：或本題正確結(jié)果：－1或2【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠通過直線與拋物線方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理的形式，利用韋達(dá)定理表示出向量數(shù)量積的各個(gè)構(gòu)成部分，從而得到關(guān)于變量的方程.12.在中，若，則外接圓半徑．運(yùn)用類比方法，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長(zhǎng)度分別為，則其外接球的半徑=_______________________參考答案：13.如圖,△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上則AD的長(zhǎng)度等于__________參考答案：

14.對(duì)于命題：，則是

．參考答案：15.雙曲線（a＞0，b＞0）的一條漸近線的傾斜角為，離心率為e，則的最小值為．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；基本不等式．【分析】由雙曲線漸近線的方程可知，=，離心率e=，從而利用基本不等式即可求得的最小值．【解答】解：∵雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線的傾斜角為，∴=，又離心率e=，∴e2=1+=4，∴===+≥2=2=．即的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查基本不等式，屬于中檔題．16.若，則的最大值為____▲____．參考答案：3

略17.一組數(shù)據(jù)的平均值是5，則此組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知：函數(shù)的周期為，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為0．

（1）求函數(shù)的表達(dá)式；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）在△ABC中，若參考答案：解析：（1）

3分

即

5分

的最小值為m,

即

7分

（2）

而∠C∈(0，π),

∴∠C=

在Rt△ABC中，

14分19.新個(gè)稅法于2019年1月1日進(jìn)行實(shí)施.為了調(diào)查國(guó)企員工對(duì)新個(gè)稅法的滿意程度，研究人員在A地各個(gè)國(guó)企中隨機(jī)抽取了1000名員工進(jìn)行調(diào)查，并將滿意程度以分?jǐn)?shù)的形式統(tǒng)計(jì)成如下的頻率分布直方圖，其中.（1）求a，b的值并估計(jì)被調(diào)查的員工的滿意程度的中位數(shù)；（計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù)）（2）若按照分層抽樣從[50,60)，[60,70)中隨機(jī)抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人的分?jǐn)?shù)在[50,60)的概率.參考答案：（1）見解析（2）【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的面積之和為1得到參數(shù)值，再由中位數(shù)的求法公式得到結(jié)果；（2）依題意，知分?jǐn)?shù)在的員工抽取了2人，分?jǐn)?shù)在的員工抽取了6人，列出相應(yīng)的所有情況，以及至少有1人的分?jǐn)?shù)在的時(shí)間個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式得到結(jié)果.【詳解】（1）依題意，，所以.又，所以，.所以中位數(shù)為.（2）依題意，知分?jǐn)?shù)在的員工抽取了2人，記為，分?jǐn)?shù)在的員工抽取了6人，記為1，2，3，4，5，6，所以從這8人中隨機(jī)抽取2人所有的情況為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28種.其中滿足條件的為，，，，，，，，，，，，，共13種，設(shè)“至少有1人的分?jǐn)?shù)在”的事件為，則.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了分層抽樣的概念，古典概型的公式，對(duì)于古典概型，要求事件總數(shù)是可數(shù)的，滿足條件的事件個(gè)數(shù)可數(shù)，使得滿足條件的事件個(gè)數(shù)除以總的事件個(gè)數(shù)即可.20.已知下列三個(gè)方程：至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根.求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案：由得,又,所以,

當(dāng)時(shí),1<,即為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是1<.

由,得,即為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是.

若為真,則真且真,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.

ks5u(Ⅱ)是的充分不必要條件,即,且,

設(shè)A=,B=,則,又A==,B==},則0<,且所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.略21.（本小題共15分）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離之和等于，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線過點(diǎn)且與曲線交于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）求曲線的軌跡方程；（Ⅱ）是否存在△面積的最大值，若存在，求出△的面積；若不存在，說明理由.參考答案：（Ⅰ）由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡C是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為的橢圓．故曲線的方程為．……………

5分（Ⅱ）存在△面積的最大值.因?yàn)橹本€過點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為或（舍）．則整理得．…………………7分由．設(shè)．解得

，．則．因?yàn)椋?1分設(shè)，，．則在區(qū)間上為增函數(shù)．所以．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即．所以的最大值為．………………15分22.如圖1，已知四邊形BCDE為直角梯形，，，且，A為BE的中點(diǎn)將沿AD折到位置(如圖2)，連結(jié)PC，PB構(gòu)成一個(gè)四棱錐P-ABCD．（Ⅰ）求證；（Ⅱ）若PA⊥平面ABCD．①求二面角的大??；②在棱PC上存在點(diǎn)M，滿足，使得直線AM與平面PBC所成的角為45°，求的值．參考答案：（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）①120°，②或．【分析】（Ⅰ）可以通過已知證明出平面PAB，這樣就可以證明出；（Ⅱ）①以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可以求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面PBC的法向量為、平面PCD的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求出二面角的大??；②求出平面PBC的法向量，利用線面角的公式求出的值.【詳解】證明：（Ⅰ）在圖1中，，，為平行四邊形，，，，當(dāng)沿AD折起時(shí)，，，即，，又，平面PAB，又平面PAB，．解：（Ⅱ）①以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)