2021年山西省忻州市原平育才高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

2021年山西省忻州市原平育才高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.從一點(diǎn)P引三條兩兩垂直的射線PA、PB、PC，且PA:PB:PC＝1:2:3，則二面角P-AC-B的正弦值為

A.

B.

C.

D.

參考答案：B2.等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，且，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D3.已知平面?，?，直線l，m，且有l(wèi)⊥?，m??，則下列四個(gè)命題正確的個(gè)數(shù)為（

）．①若?∥?，則l⊥m； ②若l∥m，則l∥?；③若?⊥?，則l∥m； ④若l⊥m，則l⊥?；（A）1 （B）2 （C）3 （D）4參考答案：A4.設(shè)隨機(jī)變量ξ的概率分布列為，k=1，2，3，4…6，其中c為常數(shù)，則P（ξ≤2）的值為（）A． B． C．D．參考答案：B【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】由，k=1，2，3，4…6，知c×（）=1，解得c=，由此能求出P（ξ≤2）=P（ξ=1）+P（ξ=2）的值．【解答】解：∵，k=1，2，3，4…6，∴c×（）=1，解得c=，∴P（ξ≤2）=P（ξ=1）+P（ξ=2）==．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．5.若函數(shù)f（x）=﹣9lnx在區(qū)間[a﹣1，a+1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．1＜a≤2 B．a(chǎn)≥4 C．a(chǎn)≤2 D．0＜a≤3參考答案：A【考點(diǎn)】6A：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．【分析】首先求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，然后結(jié)合數(shù)軸分析求出m的范圍即可．【解答】解：∵，∴函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=x﹣，∵x＞0，∴由f′（x）=x﹣＜0，得0＜x＜3．∵函數(shù)在區(qū)間[a﹣1，a+1]上單調(diào)遞減，∴，解得1＜a≤2．故選A．6.已知，表示兩條不同的直線，，，表示三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①∩=，，，則；②，，，則；③，，，則；④，，，則其中正確命題的序號(hào)為（

）A．①②

B．②③

C.③④

D．②④參考答案：C①，，，則可以垂直,也可以相交不垂直，故①不正確；②，則與相交、平行或異面，故②不正確；③若，則，③正確；④，，可知與共線的向量分別是與的法向量，所以與所成二面角的平面為直角，，故④正確，故選C.

7.已知a＞0，b＞0，，若不等式2a+b≥4m恒成立，則m的最大值為(

)A．10 B．9 C．8 D．7參考答案：B【考點(diǎn)】基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】利用2a+b=4（2a+b）（），結(jié)合基本不等式，不等式2a+b≥4m恒成立，即可求出m的最大值．【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴2a+b＞0∵，∴2a+b=4（2a+b）（）=4（5+）≥36，∵不等式2a+b≥4m恒成立，∴36≥4m，∴m≤9，∴m的最大值為9，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了恒成立問題與最值的求解的相互轉(zhuǎn)化，解題的關(guān)鍵是配湊基本不等式成立的條件．8.過橢圓()的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為

（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：B9.已知雙曲線C：(a>0,b>0)的焦距為10，點(diǎn)P(2,l)在C的一條漸近線上，則C的方程為A.

B.C.

D.參考答案：D10.若不論為何值，直線與曲線總有公共點(diǎn)，則的取值范圍是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.觀察不等式：，，，由此猜測(cè)第個(gè)不等式為

．參考答案：略12.若函數(shù)，則曲線在點(diǎn)（）處的切線方程為

。參考答案：略13.已知關(guān)于x的不等式＞0在[1，2]上恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為___________參考答案：【分析】對(duì)m進(jìn)行分類討論，、時(shí)分別分析函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)m的取值范圍進(jìn)行進(jìn)一步分類討論，求出該函數(shù)在區(qū)間上的最小值，令最小值大于0，即可求得m范圍.【詳解】①當(dāng)時(shí)，函數(shù)外層單調(diào)遞減，內(nèi)層二次函數(shù)：當(dāng)，即時(shí)，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減，，解得：；當(dāng)，即時(shí)，無意義；當(dāng)，，即時(shí)，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)先遞減后遞增，函數(shù)先遞增后遞減，則需，無解；當(dāng)，即時(shí)，二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，函數(shù)單調(diào)遞增，，無解.②當(dāng)時(shí)，函數(shù)外層單調(diào)遞增，，二次函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，解得：.綜上所述：或.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的恒成立問題，若大于0恒成立，則最小值大于0，若小于0恒成立則最大值小于0，注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，區(qū)分存在性問題與恒成立問題.14.已知不等式|x-a|﹥b的解集是{x|x﹥9或x﹤-3}，則a=＿＿＿

b=＿＿＿參考答案：略15.在曲線ρ＝上，極角為－的點(diǎn)的直角坐標(biāo)是___▲_____；參考答案：略16.為了調(diào)查某產(chǎn)品的銷售情況，銷售部門從下屬的92家銷售連鎖店中抽取30家了解情況．若采用系統(tǒng)抽樣法，則抽樣間隔和隨機(jī)剔除的個(gè)體分別為．參考答案：3，2【考點(diǎn)】系統(tǒng)抽樣方法．【分析】從92家銷售連鎖店中抽取30家了解情況，用系統(tǒng)抽樣法，因?yàn)?2÷30不是整數(shù)，所以要剔除一些個(gè)體，根據(jù)92÷30=3…2，得到抽樣間隔和隨機(jī)剔除的個(gè)體數(shù)分別為3和2．【解答】解：∵92÷30不是整數(shù)，∴必須先剔除部分個(gè)體數(shù)，∵92÷30=3…2，∴剔除2個(gè)，間隔為3．故答案為3，2．17.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是橢圓上的一點(diǎn)，Q是PF1的中點(diǎn)，若，則

.參考答案：6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知直線l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）． （1）證明：直線l過定點(diǎn)； （2）若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍； （3）若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程． 參考答案：【考點(diǎn)】恒過定點(diǎn)的直線；基本不等式在最值問題中的應(yīng)用． 【專題】計(jì)算題． 【分析】（1）直線l的方程可化為y=k（x+2）+1，直線l過定點(diǎn)（﹣2，1）． （2）要使直線l不經(jīng)過第四象限，則直線的斜率和直線在y軸上的截距都是非負(fù)數(shù)，解出k的取值范圍． （3）先求出直線在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距，代入三角形的面積公式，再使用基本不等式可求得面積的最小值． 【解答】解：（1）直線l的方程可化為y=k（x+2）+1， 故無論k取何值，直線l總過定點(diǎn)（﹣2，1）． （2）直線l的方程可化為y=kx+2k+1，則直線l在y軸上的截距為2k+1， 要使直線l不經(jīng)過第四象限，則， 解得k的取值范圍是k≥0． （3）依題意，直線l在x軸上的截距為﹣，在y軸上的截距為1+2k， ∴A（﹣，0），B（0，1+2k）， 又﹣＜0且1+2k＞0， ∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k） =（4k++4）≥（4+4）=4， 當(dāng)且僅當(dāng)4k=，即k=時(shí)，取等號(hào)， 故S的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為x﹣2y+4=0． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線過定點(diǎn)問題，直線在坐標(biāo)系中的位置，以及基本不等式的應(yīng)用（注意檢驗(yàn)等號(hào)成立的條件）． 19.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足：a1=，an+1=．（1）證明{}為等差數(shù)列，并求通項(xiàng)an；（2）若數(shù)列{bn}滿足bn?an=3（1﹣），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．【分析】（1）由a1=，an+1=，兩邊取倒數(shù)可得：=+，﹣=，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（2）bn?an=3（1﹣），可得bn=2n﹣．再利用“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．【解答】（1）證明：由a1=，an+1=，兩邊取倒數(shù)可得：=+，﹣=，∴{}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為．∴=+（n﹣1）=，∴an=．（2）解：∵bn?an=3（1﹣），∴=3（1﹣），解得bn=2n﹣．∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和=（2+4+…+2n）﹣+…+．=﹣+…+=n（n+1）﹣+…+．設(shè)Tn=++…+，∴=+…++，∴=1++…+﹣=﹣，∴Tn=4﹣．∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和=n2+n﹣4+．20.四邊形的頂點(diǎn)，，，，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（）此四邊形是否有外接圓，若有，求出外接圓的方程，若沒有，請(qǐng)說明理由．（）記的外接圓為，過上的點(diǎn)作圓的切線，設(shè)與軸、軸的正半軸分別交于點(diǎn)、，求面積的最小值．參考答案：（）外接圓方程為 （）（）設(shè)外接圓為，圓心，半徑為，∴，∴，解出，，，∴且在外接圓上，符合要求．（）設(shè)切線斜率為，直線斜率為，∵圓的切線垂直于切點(diǎn)半徑，∴，∵，∴，∴切線為，整理得：，∵點(diǎn)在圓