圓錐曲線的綜合經(jīng)典例題(有答案)

經(jīng)典例題精析類型一：求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1.求中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)為且被直線截得的弦AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.思路點(diǎn)撥：先確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)的位置〔定位〕，選擇相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用待定系數(shù)法確定、〔定量〕.解析：方法一：因?yàn)橛薪裹c(diǎn)為，所以設(shè)橢圓方程為，,由，消去得，所以解得故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為方法二：設(shè)橢圓方程,,,因?yàn)橄褹B中點(diǎn),所以，由得,〔點(diǎn)差法〕所以又僅供學(xué)習(xí)參考故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.舉一反三：該焦點(diǎn)與長(zhǎng)軸上較近的端點(diǎn)的距離為【答案】依題意設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為()，并有，解之得，,∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為2．根據(jù)以下條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.〔1〕與雙曲線有共同的漸近線，且過點(diǎn)；〔2〕與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)解析：〔1〕解法一：設(shè)雙曲線的方程為由題意，得，解得，所以雙曲線的方程為解法二：設(shè)所求雙曲線方程為〔〕，僅供學(xué)習(xí)參考將點(diǎn)代入得，所以雙曲線方程為即〔2〕解法一：設(shè)雙曲線方程為－=1由題意易求又雙曲線過點(diǎn)，∴又∵，∴，故所求雙曲線的方程為.解法二：設(shè)雙曲線方程為，將點(diǎn)代入得，所以雙曲線方程為.總結(jié)升華：先根據(jù)條件確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的焦點(diǎn)的位置〔定位〕，選擇相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用待定系數(shù)法確定、.在第〔1〕小題中首先設(shè)出共漸近線的雙曲線系方程.然后代點(diǎn)坐標(biāo)求得方法簡(jiǎn)便.第〔2〕小題實(shí)軸、虛軸沒有唯一給出.故應(yīng)答兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)求雙曲線的方程，關(guān)鍵是求、，在解題過程中應(yīng)熟悉各元素〔、、、及準(zhǔn)線〕之間的關(guān)系，并注意方程思想的應(yīng)用.(2)假設(shè)雙曲線的漸近線方程，可設(shè)雙曲線方程為〔〕.舉一反三：【變式】求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上且分別滿足以下條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.〔1〕一漸近線方程為，且雙曲線過點(diǎn)〔2〕虛軸長(zhǎng)實(shí)與軸長(zhǎng)的比為，焦距為10..僅供學(xué)習(xí)參考【答案】〔1〕依題意知雙曲線兩漸近線的方程是,故設(shè)雙曲線方程為，∵點(diǎn)在雙曲線上，∴，解得，∴所求雙曲線方程為.(〔2〕由設(shè),,那么)依題意，解得.∴雙曲線方程為或.3．求滿足以下條件的〔1〕過點(diǎn)；〔2〕焦點(diǎn)在直線：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對(duì)應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：上思路點(diǎn)撥：從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一次項(xiàng)系數(shù)；從實(shí)際分析，一般需結(jié)合圖形確定開口方向和一次項(xiàng)系數(shù)兩個(gè)條件，否那么，應(yīng)展開相應(yīng)的討論解析：〔1〕∵點(diǎn)在第二象限，∴拋物線開口方向上或者向左當(dāng)拋物線開口方向左時(shí)，設(shè)所求的拋物線方程為〔〕，∵過點(diǎn)，∴，∴，∴，開口方向上時(shí)，當(dāng)拋物線設(shè)所求的拋物線方程為〔〕，∵過點(diǎn)，∴，僅供學(xué)習(xí)參考∴，∴，∴所求的拋物線的方程為或，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是，.〔2〕令得，令得，∴拋物線的焦點(diǎn)為或當(dāng)焦點(diǎn)為時(shí)，，∴，此時(shí)拋物線方程；焦點(diǎn)為時(shí)，，∴，此時(shí)拋物線方程為∴所求的拋物線的方程為或，對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是，.總結(jié)升華：這里易犯的錯(cuò)誤就是缺少對(duì)開口方向的討論，先入為主，設(shè)定一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程后求解，以致失去一解.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程關(guān)鍵是根據(jù)圖象確定拋物線開口方向，選擇適當(dāng)?shù)姆匠绦问?，?zhǔn)確求出焦參數(shù)P.舉一反三：【變式1】分別求滿足以下條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.〔1〕焦點(diǎn)為F(4,0)；〔2〕準(zhǔn)線為；〔3〕焦點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1；〔4〕過點(diǎn)〔1，－2〕；〔5〕焦點(diǎn)在直線x-3y+6=0上.【答案】〔1〕所求拋物線的方程為y=16x2；〔2〕所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x=2y；2〔3〕所求拋物線的方程y=2±4x或x2=±4y；僅供學(xué)習(xí)參考〔4〕所求拋物線的方程為或；〔5〕所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y=2－24x或x2=8y.【變式2】拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，過頂點(diǎn)且傾角為的弦長(zhǎng)為，求拋物線的方程.【答案】設(shè)拋物線方程為()，又弦所在直線方程為由∴，解得兩交點(diǎn)坐標(biāo),，解得.∴拋物線方程為.類型二：圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形4．、是橢圓〔〕的兩焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且，求的面積.思路點(diǎn)撥：如圖求的面積應(yīng)利用，即.關(guān)鍵是求.由橢圓第一定義有，易求之.,由余弦定理有解析：設(shè),,依題意有，即.僅供學(xué)習(xí)參考∴.舉一反三：【變式1】設(shè)為雙曲線上的一點(diǎn)，是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，假設(shè)，那么的面積為〔〕A．B．C．D．【答案】依據(jù)雙曲線的定義有，由又得、，，那么，即，所以，應(yīng)選A.【變式2】雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)6，過左焦點(diǎn)的弦交左半支于、兩點(diǎn)，且，設(shè)右焦點(diǎn)，求的周長(zhǎng).【答案】：由雙曲線的定義有:，，兩式左、右分別相加得(即.∴.故的周長(zhǎng).【變式3】橢圓的焦點(diǎn)是,直線是橢圓的一條準(zhǔn)線.①求橢圓的方程；②設(shè)點(diǎn)P在橢圓上,且,求.【答案】?jī)H供學(xué)習(xí)參考①.②設(shè)那么，又.【變式4】雙曲線的方程是.〔1〕求這雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和漸近線方程；〔2〕設(shè)和是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，求的大小【答案】〔1〕由得，∴，，.焦點(diǎn)、，離心率，漸近線方程為.〔2〕，∴∴僅供學(xué)習(xí)參考【變式5】中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一個(gè)橢圓與雙曲線有共同焦點(diǎn)和，且，又橢圓長(zhǎng)半軸與雙曲線實(shí)半軸之差為4，離心率之比.〔1〕求橢圓與雙曲線的方程；〔2〕假設(shè)為這兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求的余弦值.【答案】〔1〕設(shè)橢圓方程為()，雙曲線方程，那么，解得∵,∴,.故所求橢圓方程為，雙曲線方程為.〔2〕由對(duì)稱性不妨設(shè)交點(diǎn)在第一象限.設(shè)、.由橢圓、雙曲線的定義有:解得由余弦定理有.類型三：離心率5．橢圓上的點(diǎn)和左焦點(diǎn)，橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，當(dāng)，〔O為橢圓中心〕時(shí)，求橢圓的離心率.思路點(diǎn)撥：因?yàn)?，所以此題應(yīng)建立、的齊次方程，使問題得以解決.僅供學(xué)習(xí)參考那么，即.∵，∴，即，∴又∵.，∴.總結(jié)升華：求橢圓的離心率，即求的比值，那么可由如下方法求.〔1〕可直接求出、；〔2〕在不好直接求出、的情況下，找到一個(gè)關(guān)于、的齊次等式或、用同一個(gè)量表示；〔3〕假設(shè)求的取值范圍，那么想方法找不等關(guān)系.舉一反三：【變式1】如圖，和分別是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且那么雙曲線的離心率為〔〕是等邊三角形，A．B．C．D．【答案】連接，那么是直角三角形，且，令，那么，，僅供學(xué)習(xí)參考即，，所以，應(yīng)選D.【變式2】橢圓〔〕與x軸正半軸交于A點(diǎn)，與y軸正半軸交于B點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)是左焦點(diǎn)，且，求橢圓的離心率.法一：,,∵又,∴,,，代入上式，得，利用代入，消得,即由，解得,∵,∴.法二：在ΔABF中，∵，，∴，即下略〕【變式3】如圖，橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,過其右焦點(diǎn)F作斜率為1的直線,交橢圓于A、B兩點(diǎn),假設(shè)橢圓上存在一點(diǎn)C,使.求橢圓的離心率.僅供學(xué)習(xí)參考【答案】設(shè)橢圓的方程為〔〕，焦距為,那么直線l的方程為:,由，消去得,設(shè)點(diǎn)、那么,∵＋,∴C點(diǎn)坐標(biāo)為.∵C點(diǎn)在橢圓上,∴.∴又∴∴∴【變式4】設(shè)、為橢圓的離心率為_____.，且兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)是以為直徑的圓與橢圓的交點(diǎn)，假設(shè)，那么橢圓【答案】如圖，點(diǎn)滿足.在中，有：∵，∴,令此橢圓方程為那么由橢圓的定義有,,僅供學(xué)習(xí)參考∴又∵，∴，，∴∴，∴，即.6．、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為此橢圓上一點(diǎn)，且.求此橢圓離心率的取值范圍；解析：如圖，令,,,那么在中，由正弦定理，∴，令此橢圓方程為(),那么,,∴即〔〕，∴∵,∴,,且為三角形內(nèi)角，∴，∴,僅供學(xué)習(xí)參考∴,∴.即此橢圓離心率的取值范圍為.舉一反三：【變式1】橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2是兩個(gè)焦點(diǎn)，假設(shè)橢圓上存在一點(diǎn)P，使，求其離心率的取值范圍.【答案】△FPF中，，|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，12由余弦定理：4c=|PF1|+|2PF2|-2|2PF1||PF2|cos120°①2又|PF1|+|PF2|=2a②聯(lián)立①②得4c2=4a2-|PF1||PF2|，∴【變式2】橢圓的焦點(diǎn)為，，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為，假設(shè)，那么該橢圓離心率的取值范圍是〔〕Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】由得，即，解得，故離心率.所以選D.【變式3】橢圓中心在坐標(biāo)系原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過橢圓左焦點(diǎn)F的直線交橢圓P、僅供學(xué)習(xí)參考Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ，求其離心率e的取值范圍．【答案】e∈[,1)【變式4】雙曲線(a＞1,b＞0)的焦距為2c,直線過點(diǎn)(a,0)和(0,b),且點(diǎn)(1,0)到直線的距離與點(diǎn)(-1,0)到直線的距離之和s≥c．求雙曲線的離心率e的取值范圍．【答案】直線的方程為bx+ay-ab=0．由點(diǎn)到直線的距離公式,且a＞1,得到點(diǎn)(1,0)到直線的距離．同理得到點(diǎn)(-1,0)到直線的距離=．．由s≥c,得≥c,即5a≥2c2．≥2e2．于是得5即4e4-25e2+25≤0．解不等式,得≤e2≤5．由于e＞1,所以e的取值范圍是．類型五：軌跡方程7．中，,,為動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)、邊上兩中線長(zhǎng)的和為定值15.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.思路點(diǎn)撥：充分利用定義直接寫出方程是求軌跡的直接法之一.應(yīng)給以重視僅供學(xué)習(xí)參考解法一：設(shè)動(dòng)點(diǎn),且,那么、邊上兩中點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為,.∵,∴,即.從上式知，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn),的距離之和為常數(shù)30，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn)且,,的橢圓，挖去點(diǎn).∴動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是().解法二：設(shè)的重心，,動(dòng)點(diǎn),且，那么.∴點(diǎn)的軌跡是以,為焦點(diǎn)的橢圓〔挖去點(diǎn)〕，且,,.其方程為().又,代入上式，得()為所求.總結(jié)升華：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，首先要分析形成軌跡的點(diǎn)和條件的內(nèi)在聯(lián)系，選擇最便于反映這種聯(lián)系的坐標(biāo)形式，建立等式，利用直接法或間接法得到軌跡方程.舉一反三：【變式1】求過定點(diǎn)且和圓:的軌跡方程.【答案】設(shè)動(dòng)圓圓心,動(dòng)圓半徑為,.〔1〕動(dòng)圓與圓外切時(shí)，〔2〕動(dòng)圓與圓內(nèi)切時(shí)，，，1〕、〔2〕有∴動(dòng)圓圓心M的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線，且,,.故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.【變式3】圓的圓心為M，圓的圓心為M，一動(dòng)21圓與這兩個(gè)圓外切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程.【答案】設(shè)動(dòng)圓圓心P〔x，y〕，動(dòng)圓的半徑為R，由兩圓外切的條件可得：，.∴.∴動(dòng)圓圓心P的