太理水利工程計算及設(shè)計第二章-線性代數(shù)方程組-課件

六、三對角陣的三角分解——追趕法追趕法是適用于三對角線方程組的有效解法。三對角方程組形式：AX=D三對角陣的三角分解1PPT課件其系數(shù)陣是三對角陣將A陣分解為L陣和U陣三對角陣的三角分解2PPT課件三對角陣的三角分解算式為解三對角線方程組的追趕法的步驟（1）將A陣按式（2-89）分解，得到L、U陣。（2）向前回代求解LY=D，得（3）向后回代求解UX=Y，得到（2-89）追趕3PPT課件題7用追趕法解三對角方程組解4PPT課件由LY=D，得5PPT課件由UX=Y，得6PPT課件七、方程組的逆矩陣解法與矩陣求逆（一）方程組的逆矩陣解法對方程的兩端左乘以逆矩陣A-1得解為方程組的逆矩陣解法7PPT課件方程組的逆矩陣解法（二）矩陣求逆

用計算機求n×n階非奇異方陣A的逆矩陣A-1。式中，B1，B2，…，Bn分別為8PPT課件

求n×n階非奇異方陣A的逆矩陣A-1，等價于求解具有相同系數(shù)陣（被求逆的矩陣）且右端項分別為的n個方程組，即求解下述方程組最后求得的A-1為（2-94）方程組的逆矩陣解法9PPT課件第二節(jié)線性代數(shù)方程組的迭代解法10PPT課件

迭代法就是用某種極限過程去逐步逼近線性方程組精確解的方法。迭代法具有需要計算機的存儲單元較小，程序設(shè)計簡單，原始系數(shù)矩陣在計算過程中始終不變等優(yōu)點，但存在收斂性和收斂速度問題。迭代法在解決問題（特別是大型稀疏系數(shù)陣問題）時，是一種有效的方法。11PPT課件雅可比迭代法高斯——賽德爾迭代法逐次超松弛法迭代解法12PPT課件一、雅可比迭代法（一）迭代算法設(shè)有n階方程組 可改寫為即AX=B雅可比迭代法13PPT課件任一方程可寫為進而寫成如下的迭代格式（2-97）式（2-97）就是雅可比迭代算法。雅可比迭代法14PPT課件雅可比迭代法式（2-97）展開為15PPT課件（二）迭代的矩陣形式

方程組AX=B中的系數(shù)矩陣可表示為三個矩陣的代數(shù)和矩陣，即

A=D–L-U其中

雅可比迭代法16PPT課件故式（2-97）即為（2-99）式（2-99）就是雅可比迭代的矩陣形式。其中雅可比迭代法17PPT課件題8用雅可比迭代法求解下列方程組解按式（2-97）形式的雅可比算法，有18PPT課件計算結(jié)果見下表：

k01234567

X100.720.9711.0571.08531.09511.0983…

X200.831.0701.15711.18531.19511.1983…

X300.841.1501.24821.28281.29411.2980…原線性代數(shù)方程組的精確解為19PPT課件

二、高斯—賽德爾迭代法

高斯—賽德爾迭代是對雅可比迭代的一個簡單改進，從而提高了迭代收斂的速度（一）迭代算法N階方程組可改寫為如下形式高斯—賽德爾迭代法20PPT課件（2-100）可寫成如下的迭代形式可簡寫成式（2-100）就是高斯—賽德爾迭代算法高斯—賽德爾迭代法21PPT課件

，（二）迭代的矩陣形式其中式（2-101）是高斯—賽德爾迭代的矩陣形式。（2-101）高斯—賽德爾迭代法22PPT課件

，（二）迭代的矩陣形式（書上）式（2-100）可寫成亦即故其中（2-101）式（2-101）是高斯—賽德爾迭代的矩陣形式。高斯—賽德爾迭代法23PPT課件題9用高斯-賽德爾迭代法求解下列方程組解按式（2-100）得到的高斯—賽德爾迭代算法，有24PPT課件計算結(jié)果見下表：

k01234567

X100.721.043081.093131.099131.099891.099991.1

X200.9021.167191.195721.199471.199931.199991.2

X300.16441.282051.297771.299721.299961.31.325PPT課件（一）迭代算法

三、逐次超松弛法（或SOR法）逐次超松弛法又是對高斯—賽德爾法的一個改進。高斯—賽德爾迭代算法逐次超松弛法26PPT課件

這里r是用來加速收斂的權(quán)因子，稱為松弛因子，r=1時，即為賽德爾迭代公式。式（2-102）在r＞1時為超松弛迭代（簡稱SOR），在r＜1時為松弛迭代。通常取1＜r＜2。

修改為（2-102）逐次超松弛法27PPT課件式（2-102）還可等價地表示為（2-103）

式（2—102）和（2-103）就是逐次超松弛迭代算法（r＞1）。逐次超松弛法28PPT課件

，（二）迭代的矩陣形式（2-104）式（2-104）是逐次超松弛法的矩陣形式。直接根據(jù)式（2-103）寫整理得逐次超松弛法（2-103）29PPT課件

超松弛因子通常在1.4到1.9之間。松馳因子的選取對迭代格式的收斂速度影響極大。實際計算時，可以根據(jù)系數(shù)矩陣的性質(zhì)，結(jié)合經(jīng)驗通過反復(fù)計算來確定松馳因子。使收斂最快的松弛因子稱為最佳松弛因子（）。逐次超松弛法30PPT課件舉例用SOR方法解線性方程組方程精確解為X=（-1，-1，-1，-1）T

解

:取x(0)=(0,0,0,0)T,取不同的松弛因子，得到的滿足誤差ε<10-5的迭代次數(shù)如下表所示。逐次超松弛法31PPT課件松弛因子迭代次數(shù)松弛因子迭代次數(shù)1.01.11.21.31.422171211141.51.61.71.81.917233353109

本例說明，松弛因子選擇的好，會使SOR迭代法的收斂大大加速。本例中1.3是最佳松弛因子。逐次超松弛法32PPT課件四、向量和矩陣的范數(shù)的概念向量X的范數(shù)是滿足下列條件的實數(shù)。迭代法的收斂條件與收斂準(zhǔn)則33PPT課件三個常用的向量范數(shù)：

設(shè)X=(x1,x2,…,xn)T，則有

列范數(shù)譜范數(shù)行范數(shù)迭代法的收斂條件與收斂準(zhǔn)則34PPT課件

矩陣的范數(shù)是定義在Rn×n上的非負的實值函數(shù)，它滿足下列條件的實數(shù)。迭代法的收斂條件與收斂準(zhǔn)則35PPT課件三個常用的矩陣范數(shù)：迭代法的收斂條件與收斂準(zhǔn)則矩陣每一列元素絕對值之和取最大值矩陣每一行元素絕對值之和取最大值36PPT課件（一）一般迭代法的收斂準(zhǔn)則與收斂條件

對方程組AX=B，一般（線性）迭代法是按公式以任意初始向量X（0）開始，反復(fù)進行計算。當(dāng)m→∞時，迭代向量序列有時收斂于方程組的精確解，有時則不然。如向量序列收斂于方程組的精確解，就稱該迭代法收斂；反之，則謂不收斂或發(fā)散。（2-112）定義迭代法的收斂條件與收斂準(zhǔn)則

五、迭代法的收斂條件與收斂準(zhǔn)則37PPT課件收斂準(zhǔn)則

收斂準(zhǔn)則是指使迭代終止的條件。通常使用的收斂準(zhǔn)則有絕對準(zhǔn)則和相對準(zhǔn)則兩種。絕對準(zhǔn)則相對準(zhǔn)則或或這里是方程的余差向量，ε是給定的控制誤差。迭代法的收斂條件與收斂準(zhǔn)則38PPT課件

定理2迭代格式（2-112）收斂的充分必要條件是迭代矩陣K的譜半徑(K)<1。

定理1若迭代格式（2-112）的迭代矩陣K的范數(shù)小于1（即），則該格式求出的向量序列將收斂于方程組的唯一解a，且有誤差估計式迭代法收斂定理

以上兩定理有較大的理論意義，但實際用起來不甚方便，為此后面引入更為實用的判別迭代格式收斂的充分條件。迭代法的收斂條件與收斂準(zhǔn)則39PPT課件

定理1

若線性代數(shù)方程組AX=B的系數(shù)陣A按行（或列）嚴格對角占優(yōu)，即則雅可比迭代和賽德爾迭代收斂。

定理2

若線性代數(shù)方程組AX=B的系數(shù)陣A是實對稱正定陣，則賽德爾迭代收斂。

定理3

對任何系數(shù)陣A，要使逐次超松弛法收斂，必須選取松弛因子r為（0，2）內(nèi)的正