二節(jié)相似矩陣

二節(jié)相似矩陣第1頁(yè)，課件共20頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、相似矩陣的概念和性質(zhì)定義4.2設(shè)A,B為n階矩陣。如果存在一個(gè)n階可逆矩陣P,使得(4.7)則稱矩陣A與B相似，記作“相似”是矩陣間的一種關(guān)系，它具有如下性質(zhì)：(1)反身性：對(duì)任意方陣A,都有。因?yàn)?2)對(duì)稱性：若，則。因(3)傳遞性：若，則第2頁(yè)，課件共20頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相似矩陣的特征值相同。相似矩陣具有如下重要性質(zhì)：性質(zhì)1性質(zhì)2若，且A可逆，則B也可逆，且性質(zhì)3若，則，其中m是正整數(shù)。性質(zhì)4性質(zhì)6性質(zhì)5相似矩陣的行列式相等。相似矩陣的秩相等。相似矩陣的跡相等。第3頁(yè)，課件共20頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2已知矩陣如果A與B相似，求x,y的值。解法1因?yàn)?，所以A,B有相同的行列式和跡。于是tr(A)=tr(B),即①又可得解得代入①得第4頁(yè)，課件共20頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解法2相似矩陣有相當(dāng)?shù)奶卣鞫囗?xiàng)式。由有即計(jì)算兩個(gè)行列式，得到比較等式兩邊同次冪的系數(shù)，得解得第5頁(yè)，課件共20頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、矩陣可相似對(duì)角化的條件如果矩陣A可以與一個(gè)對(duì)角矩陣相似，則稱矩陣A可相似對(duì)角化(可對(duì)角化)。定理4.7

n階矩陣A相似于對(duì)角矩陣的充分必要條件是A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量。推論若n階矩陣A有n個(gè)不同的特征值，則矩陣A可與對(duì)角矩陣相似。第6頁(yè)，課件共20頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3在4.1例6中，我們已經(jīng)求得矩陣的特征值對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為而特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為且線性無關(guān)。第7頁(yè)，課件共20頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月令則例4設(shè)矩陣判斷A是否可對(duì)角化？解矩陣A的特征多項(xiàng)式第8頁(yè)，課件共20頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(第2、3列加到第1列上)由此得A的特征值第9頁(yè)，課件共20頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于特征值解齊次線性方程組得A的對(duì)應(yīng)于的一個(gè)特征向量對(duì)于特征值解齊次線性方程組可得其基礎(chǔ)解系由于2是A的二重特征值，對(duì)應(yīng)于的特征向量?jī)H有一個(gè)。對(duì)于矩陣A，不能求出三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，因此A不能相似對(duì)角化。第10頁(yè)，課件共20頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理4.8

n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是對(duì)于A的每一個(gè)重特征值特征矩陣的秩為例5判斷下列矩陣A是否相似于對(duì)角矩陣，如能，則求出P，使解由于第11頁(yè)，課件共20頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可得A的特征值為(三重)。對(duì)于，齊次線性方程組的系數(shù)矩陣因此A不可相似對(duì)角化?？梢钥闯觯核札R次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有2個(gè)線性無關(guān)的向量。第12頁(yè)，課件共20頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(2)A的特征多項(xiàng)式因此，A

的特征值為(二重)，對(duì)于解齊次線性方程組可求得其基礎(chǔ)解系為對(duì)于解齊次線性方程組第13頁(yè)，課件共20頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月可求得基礎(chǔ)解系為由于A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故A可對(duì)角化。令則第14頁(yè)，課件共20頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6設(shè)試問A是否可與對(duì)角矩陣相似，并求解A的特征多項(xiàng)式所以A的特征值為(二重)。第15頁(yè)，課件共20頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于，解齊次線性方程組可得基礎(chǔ)解系對(duì)于，解齊次線性方程組可得基礎(chǔ)解系由于A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，故A可與對(duì)角矩陣相似。令第16頁(yè)，課件共20頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月則所以由此得易求因此第17頁(yè)，課件共20頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7設(shè)矩陣的特征方程有一個(gè)一個(gè)二重根，求的值，并討論A是否可相似對(duì)角化。解矩陣A的特征多項(xiàng)式第18頁(yè)，課件共20頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若是特征方程的二重根，則有解得當(dāng)時(shí)，A的特征值為2,2,6，矩陣的秩為1，第19頁(yè)，課件共20頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月故對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量有兩個(gè)，從而A可相似對(duì)角化。若不是特征方程的二重根，則