中國礦業(yè)大學(xué)《高等數(shù)學(xué)》課件-第一章

中國礦業(yè)大學(xué)（北京）高等數(shù)學(xué)第一章分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù)—研究對象—研究方法—研究橋梁函數(shù)與極限中國礦業(yè)大學(xué)理學(xué)院

張漢雄

第一章二、映射三、函數(shù)一、集合第一節(jié)映射與函數(shù)元素a

屬于集合M,記作元素a

不屬于集合M,記作一、集合1.定義及表示法定義1.

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集,記作

.

(或).注:

M

為數(shù)集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0與負(fù)數(shù)的集.簡稱集簡稱元表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整數(shù)集合或有理數(shù)集

p與q

互質(zhì)實(shí)數(shù)集合

x

為有理數(shù)或無理數(shù)開區(qū)間閉區(qū)間無限區(qū)間點(diǎn)的

鄰域其中,a

稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.半開區(qū)間去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:是B的子集

,或稱B包含A,2.集合之間的關(guān)系及運(yùn)算定義2

.則稱A若且則稱A

與B

相等,例如,顯然有下列關(guān)系:,,若設(shè)有集合記作記作必有定義3

.

給定兩個(gè)集合A,B,并集交集且差集且定義下列運(yùn)算:余集直積特例:記為平面上的全體點(diǎn)集或二、映射某校學(xué)生的集合學(xué)號的集合按一定規(guī)則查號某班學(xué)生的集合某教室座位的集合按一定規(guī)則入座引例1.引例2.定義4.設(shè)X,Y

是兩個(gè)非空集合,若存在一個(gè)對應(yīng)規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對應(yīng),則稱

f

為從X

到Y(jié)

的映射,記作元素

y

稱為元素x

在映射

f下的像,記作元素

x稱為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱為映射f

的定義域;Y

的子集稱為f

的值域

.注意:1)映射的三要素—定義域,對應(yīng)規(guī)則,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.對映射若,則稱f

為滿射;若有則稱f

為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f

為雙射或一一映射.引例2,3引例2引例2例1.海倫公式(滿射)

定義域三、函數(shù)1.函數(shù)的概念定義5.設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D

上的函數(shù),記為稱為值域函數(shù)圖形:自變量因變量(對應(yīng)規(guī)則)(值域)(定義域)例如,反正弦主值

定義域

函數(shù)的表示方法:解析法、圖像法、列表法使表達(dá)式或?qū)嶋H問題有意義的自變量集合.定義域值域又如,絕對值函數(shù)定義域值域?qū)o實(shí)際背景的函數(shù),書寫時(shí)可以省略定義域.對實(shí)際問題,書寫函數(shù)時(shí)必須寫出定義域；例4.

已知函數(shù)解:及寫出f(x)的定義域及值域,并求f(x)的定義域值域2.函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱使稱說明:

還可定義有上界、有下界、無界.(2)單調(diào)性為有界函數(shù).在I

上有界.使若對任意正數(shù)M,均存在則稱f(x)

無界.稱為有上界稱為有下界當(dāng)稱為I

上的稱為I

上的單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).(見P11)(3)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有例如,

偶函數(shù)雙曲余弦記又如,奇函數(shù)雙曲正弦記再如,奇函數(shù)雙曲正切記說明:

給定則偶函數(shù)奇函數(shù)(4)周期性且則稱為周期函數(shù)

,若稱

l

為周期(一般指最小正周期

).周期為周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄利克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無理數(shù)3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1)反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單射,則存在一新映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f

的反函數(shù).,其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):使其中2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.例如,對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對稱.指數(shù)函數(shù)(2)復(fù)合函數(shù)則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復(fù)合函數(shù)

,①②u

稱為中間變量.注意:

構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.例如,

函數(shù)鏈:但可定義復(fù)合函數(shù)時(shí),雖不能在自然域R下構(gòu)成復(fù)合函數(shù),可定義復(fù)合函數(shù)當(dāng)改兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如,可定義復(fù)合函數(shù):約定:為簡單計(jì),書寫復(fù)合函數(shù)時(shí)不一定寫出其定義域,

默認(rèn)對應(yīng)的函數(shù)鏈順次滿足構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件.4.初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù)

.例如,并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).又如,

雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù).(自學(xué),P17–P20)非初等函數(shù)舉例:符號函數(shù)當(dāng)x>0當(dāng)x=0當(dāng)x<0取整函數(shù)當(dāng)

設(shè)函數(shù)

x

換為f(x)例5.解:內(nèi)容小結(jié)1.集合及映射的概念定義域?qū)?yīng)規(guī)律3.函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性4.初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)

作業(yè)

P214(5),(8),(10);6;8;9;13;16;17;18

2.函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素第二節(jié)且備用題證明證:

令則由消去得時(shí)其中a,b,c

為常數(shù),且為奇函數(shù).為奇函數(shù).1.

設(shè)2.

設(shè)函數(shù)的圖形與均對稱,求證是周期函數(shù).證:由的對稱性知于是故是周期函數(shù),周期為

第一章二、收斂數(shù)列的性質(zhì)一、數(shù)列極限的定義第二節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束數(shù)列的極限數(shù)學(xué)語言描述:一、數(shù)列極限的定義引例.設(shè)有半徑為

r

的圓,逼近圓面積S.如圖所示,可知當(dāng)

n無限增大時(shí),無限逼近S

(劉徽割圓術(shù))

,當(dāng)n

>

N時(shí),用其內(nèi)接正

n

邊形的面積總有劉徽目錄上頁下頁返回結(jié)束定義:自變量取正整數(shù)的函數(shù)稱為整標(biāo)函數(shù)，記作稱為數(shù)列。若數(shù)列及常數(shù)a有下列關(guān)系:當(dāng)n>

N

時(shí),總有記作此時(shí)也稱數(shù)列收斂

,否則稱數(shù)列發(fā)散

.幾何解釋:即或則稱該數(shù)列的極限為a,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束將依照自然數(shù)n的順序排列得到的序列例如,趨勢不定收斂發(fā)散機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.已知證明數(shù)列的極限為1.

證:欲使即只要因此,取則當(dāng)時(shí),就有故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.已知證明證:欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可由N

與

有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說明:

取機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.設(shè)證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當(dāng)n>N

時(shí),就有故的極限為

0.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、收斂數(shù)列的性質(zhì)證:

用反證法.及且取因故存在N1,從而同理,因故存在N2,使當(dāng)n>N2時(shí),有1.收斂數(shù)列的極限唯一.使當(dāng)n>N1時(shí),假設(shè)從而矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng)n>N

時(shí),故假設(shè)不真!滿足的不等式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

證明數(shù)列是發(fā)散的.

證:

用反證法.假設(shè)數(shù)列收斂,則有唯一極限a

存在.取則存在N,但因交替取值1與－1,內(nèi),而此二數(shù)不可能同時(shí)落在長度為1的開區(qū)間使當(dāng)n>N

時(shí),有因此該數(shù)列發(fā)散.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.收斂數(shù)列一定有界.證:

設(shè)取則當(dāng)時(shí),從而有取則有由此證明收斂數(shù)列必有界.說明:

此性質(zhì)反過來不一定成立.例如,雖有界但不收斂.有數(shù)列機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束3.收斂數(shù)列的保號性.若且時(shí),有證:對a>0,取推論:若數(shù)列從某項(xiàng)起(用反證法證明)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束4.收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限.設(shè)在數(shù)列中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列的子數(shù)列（或子列）。設(shè)在數(shù)列中，第一次抽取第二次在后抽取這樣無休止的抽取下去，得到一個(gè)子數(shù)列顯然*********************證:設(shè)數(shù)列是數(shù)列的任一子數(shù)列.若則當(dāng)時(shí),有現(xiàn)取正整數(shù)K=N,于是當(dāng)時(shí),有從而有由此證明*********************機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.他撰寫的《重差》對《九章算術(shù)》中的方法和公式作了全面的評注,指出并糾正了其中的錯(cuò)誤,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論上作出了杰出的貢獻(xiàn).他的“割圓術(shù)”求圓周率“割之彌細(xì),所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想.

的方法:柯西(1789–1857)法國數(shù)學(xué)家,他對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)

校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應(yīng)用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠(yuǎn).對數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展.復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書7本,

第一章一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限第三節(jié)自變量變化過程的六種形式:二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容:函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限1.時(shí)函數(shù)極限的定義引例.

測量正方形面積.面積為A)邊長為(真值:邊長面積直接觀測值間接觀測值任給精度,要求確定直接觀測值精度:定義1.

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時(shí),有則稱常數(shù)

A

為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,或即當(dāng)時(shí),有若記作極限存在函數(shù)局部有界(P36定理2)這表明:幾何解釋:例1.證明證:故對任意的當(dāng)時(shí),因此總有例2.證明證:欲使取則當(dāng)時(shí),必有因此只要例3.

證明證:故取當(dāng)時(shí),必有因此例4.

證明:當(dāng)證:欲使且而可用因此只要時(shí)故取則當(dāng)時(shí),保證.必有2.保號性定理定理1.若且

A>0,證:

已知即當(dāng)時(shí),有當(dāng)

A>0時(shí),取正數(shù)則在對應(yīng)的鄰域上(<0)則存在(A<0)(P37定理3)若取則在對應(yīng)的鄰域上若則存在使當(dāng)時(shí),有推論:(P37定理3′)分析:定理2.

若在的某去心鄰域內(nèi),且則證:

用反證法.則由定理1,的某去心鄰域,使在該鄰域內(nèi)與已知所以假設(shè)不真,(同樣可證的情形)思考:

若定理2中的條件改為是否必有不能!存在如假設(shè)A<0,條件矛盾,故3.左極限與右極限左極限:當(dāng)時(shí),有右極限:當(dāng)時(shí),有定理3.(P39題*11)例5.

給定函數(shù)討論時(shí)的極限是否存在.解:

利用定理3.因?yàn)轱@然所以不存在.定義2

.設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時(shí)有定義,若則稱常數(shù)時(shí)的極限,幾何解釋:記作直線y=A

為曲線的水平漸近線.A

為函數(shù)二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限例6.

證明證:取因此注:就有故欲使只要直線y=A仍是曲線

y=f(x)

的漸近線.兩種特殊情況:當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有幾何意義:例如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)極限的或定義及應(yīng)用2.函數(shù)極限的性質(zhì):保號性定理與左右極限等價(jià)定理思考與練習(xí)1.若極限存在,2.設(shè)函數(shù)且存在,則例3

作業(yè)

P371;4;*5(2);*6(2);*9Th1Th3Th2是否一定有第四節(jié)？

第一章二、無窮大三、無窮小與無窮大的關(guān)系一、無窮小第四節(jié)無窮小與無窮大

第一章二、極限的四則運(yùn)算法則三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則一、無窮小運(yùn)算法則第五節(jié)極限運(yùn)算法則二、兩個(gè)重要極限一、極限存在準(zhǔn)則第六節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束極限存在準(zhǔn)則

第一章兩個(gè)重要極限

第一章都是無窮小,第七節(jié)引例.但可見無窮小趨于0的速度是多樣的.無窮小的比較二、函數(shù)的間斷點(diǎn)一、函數(shù)連續(xù)性的定義第八節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

第一章可見,函數(shù)在點(diǎn)一、函數(shù)連續(xù)性的定義定義:在的某鄰域內(nèi)有定義,則稱函數(shù)(1)在點(diǎn)即(2)極限(3)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在;且有定義,存在;機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束continue若在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù),則稱它在該區(qū)間上連續(xù),或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)

.例如,在上連續(xù).(有理整函數(shù))又如,

有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù).在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的集合記作只要都有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束對自變量的增量有函數(shù)的增量左連續(xù)右連續(xù)當(dāng)時(shí),有函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)有下列等價(jià)命題:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.

證明函數(shù)在內(nèi)連續(xù).證:即這說明在內(nèi)連續(xù).同樣可證:函數(shù)在內(nèi)連續(xù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則

a=

,b=

.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例3.

設(shè)

f(x)

定義在區(qū)間上,,若f(x)在連續(xù),解:且對任意實(shí)數(shù)證明f(x)

對一切

x

都連續(xù)

.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束在在二、函數(shù)的間斷點(diǎn)(1)函數(shù)(2)函數(shù)不存在;(3)函數(shù)存在,但

不連續(xù):設(shè)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,則下列情形這樣的點(diǎn)之一函數(shù)f(x)在點(diǎn)雖有定義,但雖有定義,且稱為間斷點(diǎn)

.在無定義

;機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束間斷點(diǎn)分類:第一類間斷點(diǎn):及均存在,若稱若稱第二類間斷點(diǎn):及中至少一個(gè)不存在,稱若其中有一個(gè)為振蕩,稱若其中有一個(gè)為為可去間斷點(diǎn)

.為跳躍間斷點(diǎn)

.為無窮間斷點(diǎn)

.為振蕩間斷點(diǎn)

.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束為其無窮間斷點(diǎn).為其振蕩間斷點(diǎn).為可去間斷點(diǎn).例4.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束判斷下列函數(shù)間斷點(diǎn)的類型顯然為其可去間斷點(diǎn).(4)(5)為其跳躍間斷點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例5.

確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.解:

間斷點(diǎn)為無窮間斷點(diǎn);故為跳躍間斷點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束有無窮間斷點(diǎn)及可去間斷點(diǎn)解:為無窮間斷點(diǎn),所以為可去間斷點(diǎn),極限存在例6.

設(shè)函數(shù)試確定常數(shù)a

及b.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例7.

求的間斷點(diǎn),并判別其類型.解:

x=–1為第一類可去間斷點(diǎn)

x=1為第二類無窮間斷點(diǎn)

x=0為第一類跳躍間斷點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)左連續(xù)右連續(xù)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類型在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考與練習(xí)1.討論函數(shù)x=2是第二類無窮間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)的類型.2.設(shè)時(shí)提示:為連續(xù)函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束答案:x=1是第一類可去間斷點(diǎn),3.P65題*8定義.若則稱

是比高階的無窮小,若若若若或設(shè)是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱

是比低階的無窮小;則稱

是的同階無窮小;則稱

是關(guān)于的k階無窮小;則稱

是

的等價(jià)無窮小,記作例如

,

當(dāng)～時(shí)～～又如

，故時(shí)是關(guān)于x的二階無窮小,～且例1.

證明:當(dāng)時(shí),～證:～例2.

證明:證:因此即有等價(jià)關(guān)系:說明:

上述證明過程也給出了等價(jià)關(guān)系:～～定理1.證:即即例如,～～故定理2.

設(shè)且存在,則證:例如,設(shè)對同一變化過程,,為無窮小,說明:無窮小的性質(zhì),(1)和差取大規(guī)則:由等價(jià)可得簡化某些極限運(yùn)算的下述規(guī)則.若=o(),(2)和差代替規(guī)則:例如,例如,(見下頁例3)

例3.求解:原式例4.求解:例5.

證明:當(dāng)時(shí),證:利用和差代替與取大規(guī)則說明內(nèi)容小結(jié)1.無窮小的比較設(shè),

對同一自變量的變化過程為無窮小,且是的高階無窮小是的低階無窮小是的同階無窮小是的等價(jià)無窮小是的k階無窮小2.等價(jià)無窮小替換定理思考與練習(xí)Th2P59題1,2

作業(yè)

P593;4

(2),(3),(4);5

(3)

常用等價(jià)無窮小:第八節(jié)一、數(shù)列極限存在準(zhǔn)則

1.兩邊夾準(zhǔn)則

(準(zhǔn)則1)證:

由條件(2),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),令則當(dāng)時(shí),有由條件(1)即故機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1.證明證:利用兩邊夾準(zhǔn)則.且由機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.單調(diào)有界數(shù)列必有極限

(準(zhǔn)則2

)(證明略)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.設(shè)證明數(shù)列極限存在.證:利用二項(xiàng)式公式,有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束大大正又比較可知機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束根據(jù)準(zhǔn)則2可知數(shù)列記此極限為e,e為無理數(shù),其值為即有極限.原題目錄上頁下頁返回結(jié)束又故極限存在，例3.設(shè),且求解：設(shè)則由遞推公式有∴數(shù)列單調(diào)遞減有下界，故利用極限存在準(zhǔn)則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.

設(shè)證:顯然證明下述數(shù)列有極限.即單調(diào)增,又存在“拆項(xiàng)相消”法思考與練習(xí)1.已知,求時(shí),下述作法是否正確?說明理由.設(shè)由遞推式兩邊取極限得不對!此處機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束*3.柯西極限存在準(zhǔn)則(柯西審斂原理)數(shù)列極限存在的充要條件是:存在正整數(shù)N,使當(dāng)時(shí),證:“必要性”.設(shè)則時(shí),有使當(dāng)因此“充分性”證明從略.有柯西目錄上頁下頁返回結(jié)束二、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系及夾逼準(zhǔn)則1.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理1.有定義且有說明:此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在.法1

找一個(gè)數(shù)列不存在.法2

找兩個(gè)趨于的不同數(shù)列及使(P37定理4)例5.

證明不存在.p63

證:

取兩個(gè)趨于0的數(shù)列及有由定理1知不存在.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則定理2.且(與數(shù)列的夾逼準(zhǔn)則證明類似,此處略.)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束圓扇形AOB的面積二、兩個(gè)重要極限證:當(dāng)即亦即時(shí)，顯然有△AOB

的面積＜＜△AOD的面積故有注注目錄上頁下頁返回結(jié)束注當(dāng)時(shí)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.

求解:例7.

求解:

令則因此原式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例8.

求解:

原式=例9.

已知圓內(nèi)接正n

邊形面積為證明:證:說明:計(jì)算中注意利用機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.證:當(dāng)時(shí),設(shè)則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)則從而有故說明:

此極限也可寫為時(shí),令機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例10.

求解:

令則說明

：若利用機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束則原式例11.求解:

原式=機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束的不同數(shù)列內(nèi)容小結(jié)2.函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的應(yīng)用

利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在法1

找一個(gè)數(shù)列且使法2

找兩個(gè)趨于及使不存在.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.極限存在準(zhǔn)則3.兩個(gè)重要極限或注:

代表相同的表達(dá)式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束時(shí),有一、無窮小運(yùn)算法則定理1.

有限個(gè)無窮小的和還是無窮小.證:

考慮兩個(gè)無窮小的和.設(shè)當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)因此這說明當(dāng)時(shí),為無窮小量.說明:

無限個(gè)無窮小之和不一定是無窮小!例如，類似可證:有限個(gè)無窮小之和仍為無窮小.定理2.

有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.

證:

設(shè)又設(shè)即當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)時(shí),就有故即是時(shí)的無窮小.推論1

.

常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論2

.

有限個(gè)無窮小的乘積是無窮小.例1.求解:

利用定理2可知說明:

y=0是的漸近線.二、極限的四則運(yùn)算法則則有證:因則有(其中為無窮小)于是由定理1可知也是無窮小,再利用極限與無窮小的關(guān)系定理,知定理結(jié)論成立.定理3.

若推論:

若且則(P46定理5)利用保號性定理證明.說明:

定理3可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減的情形.提示:

令定理4

.若則有提示:

利用極限與無窮小關(guān)系定理及本節(jié)定理2證明.說明:

定理4可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形.推論1.(C

為常數(shù))推論2.(n

為正整數(shù))例2.

設(shè)

n次多項(xiàng)式試證證:(詳見書P44)定理5.

若且B≠0,則有定理6

.

若則有提示:

因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù),故此定理可由定理3,4,5直接得出結(jié)論.

x=3時(shí)分母為0!例3.

設(shè)有分式函數(shù)其中都是多項(xiàng)式,試證:證:說明:

若不能直接用商的運(yùn)算法則.例4.

若例5.

求解:

x=1時(shí),分母=0,分子≠0,但因例6

.

求解:分子分母同除以則“抓大頭”原式